平面向量与解三角形单元检测题

1 平面向量与解三角形单元检测题平面向量与解三角形单元检测题 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 10 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 50 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 设 x y R 向量 a x 1 b 1 y c 2 4 且 a c b c 则 a b A B C 2 D 10 5105 2 在 ABC 中 N 是 AC 边上一点 且 P 是 BN 上的一点 若AN uuu r 1 2NC uuu r m 则实数 m 的值为 AP uu u r AB uu u r 2 9AC uuu r A B C 1 D 3 1 9 1 3 3 已知点 A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 4 则向量在方向上的投影为 AB CD A B C D 3 2 2 3 15 2 3 2 2 3 15 2 4 在直角坐标系 xOy 中 2 1 3 k 若三角形 ABC 是直角三角形 则 AB AC k 的可能值个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 5 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 a 3 a b 则 b 等于 13 A 5 B 4 C 3 D 1 6 在四边形 ABCD 中 1 2 4 2 则该四边形的面积为 AC BD A B 2 C 5 D 10 55 7 如图所示 非零向量 a b 且 BC OA C 为垂足 若 a 0 则 O O O 8 在 ABC 中 sin2A sin2B sin2C sin Bsin C 则 A 的取值范围是 A 0 B C 0 D 6 6 3 3 9 设 ABC 的内角 A B C 所对边分别为 a b c 若 b c 2a 3sin A 5sin B 则角 C A B C D 3 2 3 3 4 5 6 10 在平面直角坐标系中 若 O 为坐标原点 则 A B C 三点在同一直线上的等价条件 为存在唯一的实数 使得 1 成立 此时称实数 为 向量关于和 OC OA OB OC OA 的终点共线分解系数 若已知 P1 3 1 P2 1 3 且向量与向量 a 1 1 垂直 则 OB OP3 向量关于和的终点共线分解系数 为 OP3 OP1 OP2 A 3 B 3 C 1 D 1 2 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 5 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 25 分分 请把正确答案填在题中横线上请把正确答案填在题中横线上 11 在平面直角坐标系 xOy 中 已知 1 t 2 2 若 ABO 90 则实数OA uur OB uu u r t 的值为 12 已知 a 1 2 b 1 若 a 与 b 的夹角为钝角 则实数 的取值范围是 13 已知正方形 ABCD 的边长为 2 E 为 CD 的中点 则 AE BD 14 设 e1 e2为单位向量 且 e1 e2的夹角为 若 a e1 3e2 b 2e1 则向量 a 在 b 方 3 向上的射影为 15 若非零向量 a b 满足 a b 2a b b 0 则 a 与 b 的夹角为 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 小题小题 共共 75 分分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 16 已知 ABC 的角 A B C 所对的边分别是 a b c 设向量 m a b n sin B sin A p b 2 a 2 1 若 m n 求证 ABC 为等腰三角形 2 若 m p 边长 c 2 角 C 求 ABC 的面积 3 17 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 sin Asin B sin Bsin C cos 2B 1 1 求证 a b c 成等差数列 2 若 C 求的值 2 3 a b 18 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 所对的边 且 a c bcos C 1 2 1 求角 B 的大小 2 若 S ABC 求 b 的最小值 3 19 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 若 acos2 ccos2 b C 2 A 2 3 2 1 求证 a b c 成等差数列 2 若 B 60 b 4 求 ABC 的面积 20 ABC 为一个等腰三角形形状的空地 腰 AC 的长为 3 百米 底 AB 的长为 4 百米 现 决定在空地内筑一条笔直的小路 EF 宽度不计 将该空地分成一个四边形和一个三角形 设 分成的四边形和三角形的周长相等 面积分别为 S1和 S2 1 若小路一端 E 为 AC 的中点 求此时小路的长度 2 若小路的端点 E F 两点分别在两腰上 求的最小值 1 2 S S 21 已知 ABC 的角 A B C 所对的边分别是 a b c 且满 足 sinsin2coscosC sincos BCB AA 1 证明 2bca 2 如图 点 O 是 ABC 外一点 设 0 AOB OA 2OB 2 当时 求平面四边形 OACB 面积的最最大值 bc 3 参考答案 参考答案 1 B 由题意可知Error 解得Error 故 a b 3 1 a b 10 2 选 B 如图 因为 所以 AN uuu r 1 2NC uuu r AN uuu r 1 3AC uuu r AP uu u r m m 因为 B P N 三点共线 所以 m 1 所以 m AB uu u r 2 9AC uuu r AB uu u r 2 3AN uuu r 2 3 1 3 3 A 解析 2 1 5 5 所以在方向上的投 AB CD AB CD 4 B 解析 若 A 90 则 6 k 0 k 6 AB AC 若 B 90 则 0 6 k 5 0 k 1 AB BC AB AC AB 若 C 90 则 0 k2 k 3 0 无解 AC CB AC AB AC 综上 k 可能取 6 1 两个数 故选 B 5 B 解析 向量 a 与 b 的夹角为 120 a 3 a b 13 则 a b a b cos 120 b a b 2 a 2 2a b b 2 3 2 所以 13 9 3 b b 2 则 b 1 舍去 或 b 4 6 C 解析 因为 0 所以 AC BD AC BD 故四边形 ABCD 的面积 S 2 5 1 2 AC BD 1 255 7 A 解析 即 所以 0 所以 2 0 B O B O O O O O O O 即 2 a 2 a b 0 又 0 解得 a 2 8 C 解析 根据正弦定理 由 sin2A sin2B sin2C sin Bsin C 得 a2 b2 c2 bc 根据余弦定理 cos A 222 2 bca bc 2 bc bc 1 2 又 0 A 0 A 故选 C 3 9 B 解析 由 3sin A 5sin B 得 3a 5b 又因为 b c 2a 所以 a b c b 5 3 7 3 4 所以 cos C 因为 C 0 所以 C a2 b2 c2 2ab 5 3b 2 b2 7 3b 2 2 5 3b b 1 2 2 3 10 D 解析 设 x y 则由 a 知 x y 0 于是 x x OP3 OP3 OP3 设 1 x x 3 1 1 1 3 4 1 3 2 OP3 OP1 OP2 Error 于是 4 1 3 2 0 1 11 5 解析 3 2 t 由题意知 0 所以 2 3 2 2 t ABOBOA uu u ruu u ruur OB AB uu u r uu u r 0 t 5 12 因为 a 与 b 的夹角为钝角 所以 cos 0 且 cos 1 1 2 所以 a b 0 且 a 与 b 不反向 由 a b 0 得 1 2 0 故 1 2 由 a 与 b 共线得 2 故 a 与 b 不可能反向 所以 的取值范围为 1 2 13 2 解析 由题意知 AE BD AD DE AD AB AD 1 2AB AD AB 2 2 4 0 2 2 AD 1 2AD AB 1 2AB 14 解析 a 在 b 方向上的射影为 a cos a b 5 2 a b b a b e1 3e2 2e1 2e 6e1 e2 5 b 2e1 2 2 1 a b b 5 2 15 120 解析 2a b b 0 2a b b2 0 a b b2 设 a 与 b 的夹角为 又 a b 1 2 cos 120 a b a b 1 2b2 a b 1 2 16 解 1 证明 m n asin A bsin B 即 a b 其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径 a 2R b 2R 故 a b 即 ABC 为等腰三角形 2 由题意可知 m p 0 即 a b 2 b a 2 0 a b ab 由余弦定理可知 4 a2 b2 ab a b 2 3ab 即 ab 2 3ab 4 0 ab 4 舍去 ab 1 故 S absin C 4 sin 1 2 1 2 33 17 1 证明 由 sin Asin B sin Bsin C 1 2sin2B 1 得 sin A sin C 2sin B 0 因为 所以 a c 2b 0 sin a Asin b Bsin c C 所以 2b a c 即 a b c 成等差数列 5 2 解 由余弦定理 c2 a2 b2 2ab cos C 及 2b a c c 2 3 得 a 2b 2 a2 b2 2ab 即 a2 4b2 4ab a2 b2 ab 1 2 也即 3b2 5ab 所以 a b 3 5 18 解 1 由正弦定理可得 sin A sin C sin Bcos C 1 2 又因为 A B C 所以 sin A sin B C 可得 sin Bcos C cos Bsin C sin C sin Bcos C 又 sin C 0 1 2 即 cos B 所以 B 1 2 3 2 因为 S ABC 所以acsin 所以 ac 4 3 1 2 3 3 由余弦定理可知 b2 a2 c2 ac 2ac ac ac 当且仅当 a c 时等号成立 所以 b2 4 即 b 2 所以 b 的最小值为 2 19 解析 1 acos2 ccos2 a c b C 2 A 2 1 cos C 2 1 cos A 2 3 2 即 a 1 cos C c 1 cos A 3b 由正弦定理得 sin A sin Acos C sin C cos Asin C 3sin B 即 sin A sin C sin A C 3sin B sin A sin C 2sin B 由正弦定理得 a c 2b 故 a b c 成等差数列 2 由 B 60 b 4 及余弦定理得 42 a2 c2 2accos 60 a c 2 3ac 16 又由 1 知 a c 2b 代入上式得 4b2 3ac 16 解得 ac 16 ABC 的面积 S acsin B acsin 60 4 1 2 1 23 20 解 1 E 为 AC 中点时 则 AE EC 3 4 F 不在 BC 上 故 F 在 AB 上 3 2 3 2 3 2 可得 AF 在三角形 ABC 中 cos A 7 2 2 3 在三角形 A