2012届高三数学一轮复习基础导航 9.2二元一次不等式（组）和简单的线性规划问题

用心 爱心 专心1 9 29 2 二元一次不等式 组 和简单的线性规划问题二元一次不等式 组 和简单的线性规划问题 考纲要求 1 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2 了解二元一次不等式的几何意义 能用平面区域表示二元一次不等式组 3 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解决 基础知识 1 二元一次不等式表示的平面区域0AxByc 1 在平面直角坐标系中 方程表示直线0AxByc 0AxByc 2 在平面直角坐标系中 不等式表示直线某一侧所0AxByc 0AxByc 有点组成的平面区域 2 作二元一次不等式表示的平面区域的方法0AxByc 直线定界 画直线 注意实线和虚线之分 如果二元一次不等式有等0AxByc 号 则画成实线 否则画成虚线 特殊点定域 取特殊点代入二元一次不等式 00 P xy 如果满足 则点所在的平面区域就是0AxByc 0AxByc 00 P xy 表示的平面区域 否则是点所在的平面区域的另一侧的平面区0AxByc 00 P xy 域 3 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题 统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解叫做可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使 x y 目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 线性规划问题一般用图解法 其步骤如下 1 根据题意 设出变量 x y 2 列出线性约束条件 3 确定线性目标函数 zf x y 4 画出可行域 即各约束条件所示区域的公共区域 5 利用线性目标函数作平行直线系 yf x z 为参数 6 观察图形 找到直线在可行域上使取得欲求最值的位置 yf x z 为参数 z 以确定最优解 给出答案 用心 爱心 专心2 例题精讲 例 1 设 式中变量满足条件 求的最大值和最2zxy x y 46 24 xy xy z 小值 解 由已知 变量满足的每个不等式都表示一个平面区域 因此 所表示的区域 x y 为如图中的四边形 ABCD 当过点 C 时 取最小值 当 2zxy z 过点 A 时 取最大值2zxy z 即当时 3 1xy min 7z 当时 5 1xy max 11z 例 2 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t的乙型卡车 有 9 名驾驶员此车队每天至少要运 360 t矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次 乙型卡车每辆每天可往返 8 次甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元 乙型卡车每辆每天的 成本费为 160 元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆 车队所花成本费最低 分析 弄清题意 明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数 找出它们的约束条件 列出目标函数 用图解法求其整数最优解 解 设每天派出甲型车x辆 乙型车y辆 车队所花成本费为z元 那么 9 10 66 8360 4 7 xy xy xxN yyN z 252x 160y 作出不等式组所表示的平面区域 即可行域 如图 作出直线l0 252x 160y 0 把直线l向右上方平移 使其经过可行域上的整点 且 使在y轴上的截距最小观察图形 可见当直线 252x 160y t经过点 2 5 时 满足上述 要求 此时 z 252x 160y取得最小值 即x 2 y 5 时 zmin 252 2 160 5 1304 答 每天派出甲型车 2 辆 乙型车 5 辆 车队所用成本费最低 9 2 二元一次不等式 组 和简单的线性规划问题强化训练 7 4 5x 4y 30 x y 9 o y x 用心 爱心 专心3 基础精练 1 满足条件 20 230 5350 yx xy xy 的可行域中共有整点的个数为 A 3 B 4 C 5 D 6 2 点P x y 在直线 4x 3y 0 上 且x y 满足 14 x y 7 则点P到坐标原点距 离的取值范围是 A 0 5 B 0 10 C 5 10 D 5 15 3 设二元一次不等式组 2190 80 2140 xy xy xy 所表示的平面区域为M 使函数y ax a 0 a 1 的图象过区域M的a的取值范围是 A 1 3 B 2 C 2 9 D 9 1010 4 如果点 P 在平面区域 220 210 30 xy xy xy 上 点Q在曲线x2 y 2 2 1 上 那么 PQ 的最小值为 A 1 B 1 C 2 1 D 1 5 4 522 5 在 家电下乡 活动中 某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇 现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用 400 元 可装洗衣机 20 台 每辆乙型货 车运输费用 300 元 可装洗衣机 10 台 若每辆车至多只运一次 则该厂所花的最少运输 费用为 A 2 000 元 B 2 200 元 C 2 400 元 D 2 800 元 6 已知约束条件 340 210 380 xy xy xy 若目标函数z x ay a 0 恰好在点 2 2 处取得最大 值 则a的取值范围为 A 0 a B a C a D 0 a 1 3 1 3 1 3 1 2 7 能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 用心 爱心 专心4 8 已知实数x y满足 2 2 yx yx x 3 3 则目标函数z x 2y的最小值是 9 若线性目标函数z x y在线性约束条件 30 20 xy xy ya 下取得最大值时的最优解只 有一个 则实数a的取值范围是 10 求由约束条件26 00 xy xy x 5 5 确定的平面区域的面积S和周长c 11 某班计划用少于 100 元的钱购买单价分别为 2 元和 1 元的大小彩球装点联欢晚会的会 场 根据需要 大球数不少于 10 个 小球数不少于 20 个 请你给出几种不同的购买方 案 12 某研究所计划利用 神七 宇宙飞船进行新产品搭载实验 计划搭载新产品 A B 要 根据该产品的研制成本 产品重量 搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排 通 过调查 有关数据如表 用心 爱心 专心5 产品 A 件 产品 B 件 研制成本与搭载 费用之和 万元 件 2030 计划最大资 金额 300 万元 产品重量 千克 件 105 最大搭载 重量 110 千克 预计收益 万元 件 8060 试问 如何安排这两种产品的件数进行搭载 才能使总预计收益达到最大 最大收益 是多少 拓展提高 1 某人有楼房一幢 室内面积共 180m 拟分隔成两类房间作为旅游客房 大房间每 2 间面积为 18 可住游客 5 名 每名游客每天住宿费为 40 元 小房间每间面积为 15 可住 游客 3 名 每名游客每天住宿费为 50 元 装修大房间每间需要 1000 元 装修小房间每间 需要 600 元 如果他们只能筹 8000 元用于装修 且游客能住满客房 它应隔出大房间和小 房间各多少间 能获最大利益 基础精练参考答案 1 B 解析 画出可行域 由可行域知有 4 个整点 分别是 0 0 0 1 1 1 2 2 2 B 解析 因x y满足 14 x y 7 用心 爱心 专心6 则点P x y 在 14 xy xy 7 7 所确定的区域内 且原点也在这个区域内 又点0在直线 4x 3y 0 上 430 14 xy xy 解得 430 6 8 3 4 14 xy AB xy 解解得得 P到坐标原点的距离的最小值为 0 又 AO 10 BO 5 故最大值为 10 其取值范围是 0 10 3 C 解析 画出可行域如图由 80 2190 xy xy 得交点 A 1 9 2140 2190 xy xy 由由 得交点B 3 8 当y ax的图象过点A 1 9 时 a 9 当y ax的图象过点B 3 8 时 a 2 2 a 9 4 A 解析 由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界 点P到Q的距离最 小为到 0 2 的最小值减去圆的半径 1 由图可知 圆心 0 2 到直线x 2y 1 0 的距离d 0 2 2 1 12 2 2 5 此时点P恰好是 1 0 符合题意 PQ min d 1 1 5 5 B 解析 设需使用甲型货车x辆 乙型货车y辆 运输费用z元 根据题意 得 线性约束 条件 2010100 04 08 xy x y 用心 爱心 专心7 求线性目标函数z 400 x 300y的最小值 解得当 4 2 x y 时 zmin 2 200 6 C 解析 画出已知约束条件的可行域为 ABC内部 包括边 界 如图 易知当a 0 时 不符合题意 当a 0 时 由目 标函数z x ay得y x 则由题意得 3 kAC 1 a z a 1 a 0 故a 综上所述 a 1 3 1 3 7 0 01 220 x y xy 解析 由阴影部分知x 0 0 y 1 又 2 0 0 2 0 故 2x y 2 0 所求二元一次不等式组为 0 01 220 x y xy 8 9 解析 如图作出阴影部分为可行域 由 2 3 36 yxx xx 得得即A 3 6 经过分 析可知直线 z x 2y经过A点时z取最小值为 9 9 a 2 解析 作出可行域如图 由图可知直线y x与y x 3 平行 若最大值只有一个 则直线y a必须在直 线y 2x与y x 3 的交点 1 2 的下方 故a 2 10 解析 由约束条件作出其所确定的平面区域 阴影部分 其四个顶点为O 0 0 B 3 0 A 0 5 P 1 4 过P点作y轴的垂线 垂足为C 则AC 5 4 1 PC 1 0 1 OC 4 OB 3 AP 2 用心 爱心 专心8 PB 2 4 0 2 1 3 25 得S ACP AC PC 1 2 1 2 S梯形COBP CP OB OC 8 1 2 所以S S ACP S梯形COBP 17 2 c OA AP PB OB 8 2 25 11 解析 设可购买大球x个 小球y个 依题意有 2100 10 20 xy x y xN xN 其整数解为 102030 203030 xxx yyy 35 29 x y 都符合题目要求 满足 2x y 100 0 即可 12 解析 设搭载产品A x件 产品B y件 预计总收益z 80 x 60y 则 2030300 105110 xy xy xN yN 作出可行域 如图 作出直线l0 4x 3y 0 并平移 由图象得 当直线经过M点时z能取得最大值 2330 222 xy xy 解得 9 4