2012届高三物理第二轮专题讲座4- 圆周运动 新人教版

用心 爱心 专心 1 圆周运动圆周运动 温故自查 1 线速度 1 物理意义 描述质点沿圆周运动的快慢 2 方向 质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的 方向 3 大小 v s是t时间内通过的弧长 切线 2 角速度 1 物理意义 描述质点绕圆心转动的快慢 2 大小 rad s 是连结质点和圆心的半径在t时间内转过的角度 3 周期T 频率f 做圆周运动的物体运动一周所用的 叫周期 做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数 叫做频率 也叫转速 4 v f T的关系 时间 考点精析 描述圆周运动的物理量有线速度 角速度 周期 频率 向心加速度五个物理量 线速度描 述质点沿圆周运动的快慢 角速度描述质点绕圆心转动的快慢 周期和频率表示质点做圆周 运动的快慢 向心加速度描述线速度方向变化的快慢 其中T f 三个量是密切相关的 任意一个量确定 其它两个量就是确定的 其关系为 当T f 一定时 线速度v还与r有关 r越大 v越大 r越小 v越小 用心 爱心 专心 2 向心加速度是按效果命名的 总是指向圆心 方向时刻在变化 是一个变加速度 当 一 定时 a与r成正比 当v一定时 a与r成反比 关系式为a 2r 注意对公式中 v r的理解 严格地说 v是相对圆心的速度 r是物体运动轨迹的曲率半径 温故自查 匀速圆周运动的向心力 是按作用效果命名的 其动力学效果在于向心加速度 即只改变线 速度方向 不会改变线速度的大小 表达式 对于做匀速圆周运动的物体其向心力应由其所受合外力提供 m 2r 考点精析 1 向心力的作用效果 产生向心加速度以不断改变物体的线速度方向 维持物体做圆周运 动 2 向心力的来源 向心力可以是重力 弹力 摩擦力等各种力 也可以是各力的合力或某力的分力 总之 只 要达到维持物体做圆周运动效果的力 就是向心力 向心力是按力的作用效果来命名的 对 各种情况下向心力的来源应明确 如 水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体 如图 a 和水平地面上匀速转弯的汽车 其摩擦力是向心力 圆锥摆 如图 b 和以规定速度转弯的 火车 向心力是重力与弹力的合力 用心 爱心 专心 3 3 圆周运动中向心力的分析 1 匀速圆周运动 物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力 向心力大小不变 方向始终与速度方向垂直且指向圆心 这是物体做匀速圆周运动的条件 2 变速圆周运动 在变速圆周运动中 合外力不仅大小随时间改变 其方向也不沿半径指 向圆心 合外力沿半径方向的分力 或所有外力沿半径方向的分力的矢量和 提供向心力 使 物体产生向心加速度 改变速度的方向 合外力沿轨道切线方向的分力 使物体产生切向加 速度 改变速度的大小 4 圆周运动中的动力学方程 无论是匀速圆周运动 还是非匀速圆周运动 向心力和向心加速度关系仍符合牛顿第二定律 即 温故自查 1 定义 做匀速圆周运动的物体 在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下 就做逐渐 圆心的运动 叫做离心运动 远离 2 离心运动的应用和危害 利用离心运动制成离心机械 如 离心干燥器 洗衣机的脱水筒等 用心 爱心 专心 4 汽车 火车转弯处 为防止离心运动造成的危害 一是限定汽车和火车的转弯速度不能太 二是把路面筑成外高内低的斜坡以 向心力 大 增大 考点精析 物体做离心运动的条件 1 做圆周运动的物体 由于本身具有惯性 总是想沿着切线方向运动 只是由于向心力作 用 使它不能沿切线方向飞出 而被限制着沿圆周运动 如图中B情形所示 2 当产生向心力的合外力消失 F 0 物体便沿所在位置的切线方向飞出去 如图中A所 示 3 当提供向心力的合外力不完全消失 而只是小于应当具有的向心力F mr 2 即合外 力不足以提供所需的向心力的情况下 物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动 如图中C所 示 命题规律 同轴转动或皮带传动过程中 确定线速度 角速度 向心加速度之间的关系 考例 1 某种变速自行车 有六个飞轮和三个链轮 如图所示 链轮和飞轮的齿数如下表 所示 前 后轮直径约为 660mm 人骑该车行进速度为 4m s 时 脚踩踏板做匀速圆周运动的 角速度最小值约为 用心 爱心 专心 5 名称链轮飞轮 齿数N 个 483828151618212428 A 1 9rad s B 3 8rad s C 6 5rad s D 7 1rad s 解析 车行驶速度与前 后车轮边缘的线速度相等 故后轮边缘的线速度为 4m s 后轮的 角速度 飞轮与后轮为同轴装置 故飞轮的角速度 1 12rad s 飞轮与链轮是用链条连接的 故链轮与飞轮线速度相同 所以 1r1 2r2 r1 r2分别 为飞轮和链轮的半径 因此周长L N L 2 r N为齿数 L为两邻齿间的弧长 故 r N 所以 1N1 2N2 答案 B 总结评述 皮带传动 齿轮传动装置 两轮边缘各点的线速度大小相等 根据 v r a v2 r即可讨论两轮的角速度和边缘的向心加速度的关系 在同一轮上 各点的 用心 爱心 专心 6 角速度相同 根据v r a 2r即可讨论轮上各点的线速度和向心加速度的关系 如图所示 甲 乙 丙三个轮子依靠摩擦传动 相互之间不打滑 其半径分别为r1 r2 r3 若 甲轮的角速度为 1 则丙轮的角速度为 解析 对甲轮边缘的线速度v1 r1 1 对乙轮边缘的线速度v2 r2 2 对丙轮边缘的线速度v3 r3 3 由各轮边缘的线速度相等得 r1 1 r2 2 r3 3 答案 A 用心 爱心 专心 7 命题规律 物体在水平面内做匀速圆周运动 确定轨道平面 确定圆心位置 确定向心力的 方向 根据牛顿运动定律 求向心力或向心加速度 线速度 角速度 考例 2 如图所示 质量M 0 64kg 的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上 M用细绳 通过光滑的定滑轮与质量为m 0 3kg 的物体相连 假定M与轴O的距离r 0 2m 与平台的 最大静摩擦力为 2N 为使m保持静止状态 水平转台做圆周运动的角速度 应在什么范围 g 10m s2 解析 m保持静止状态时 M做圆周运动的半径不变 M的向心力由绳的拉力和静摩擦力的 合力提供 由于静摩擦力的大小 方向不定 所以存在临界问题 当 最小时 M受到的最大静摩擦力的方向与拉力的方向相反 则有mg Ffm 代入数据得 1 2 80rad s 当 增大时 静摩擦力减小 当 4 84rad s 时 静摩擦力为零 用心 爱心 专心 8 当 继续增大时 M受到的静摩擦力方向反向 与拉力方向相同 静摩擦力与拉力的合力提 供做圆周运动的向心力 当 最大时有mg Ffm M r 代入数据得 2 6 25rad s 因此 的取值范围为 2 80rad s 6 25rad s 答案 2 80rad s 6 25rad s 一个圆盘在水平面内匀速转动 角速度是 4 rad s 盘面上距圆盘中心 0 10m 的位置有一个质 量为 0 10kg 的小物体能够随圆盘一起运动 如下图所示 1 求物体做匀速圆周运动时所受向心力的大小 2 关于物体的向心力 甲 乙两人有不同意见 甲认为该向心力等于圆盘对物体的静摩擦 力 指向圆心 乙认为物体有向前运动的趋势 摩擦力方向和相对运动趋势的方向相反 即向后 而不是和运动方向垂直 因此向心力不可能是静摩擦力 你的意见是什么 说明理 由 解析 1 根据牛顿第二运动定律得 F m 2r 0 1 42 0 1N 0 16N 2 甲的意见是正确的 用心 爱心 专心 9 静摩擦力的方向与物体相对接触面运动的趋势方向相反 设想一下 如果在运动过程中 转 盘突然变得光滑了 物体将沿轨迹切线方向滑动 这就如同在光滑的水平面上 一根细绳一 端固定在竖直立柱上 一端系一小球 让小球做匀速圆周运动 突然剪断细绳一端 小球将 沿轨迹切线方向飞出 这说明物体在随转盘匀速转动的过程中 相对转盘有沿半径向外的运 动趋势 答案 1 0 16 N 2 同意甲的意见 命题规律 1 根据物体在竖直平面内做圆周运动的临界条件 确定物体在最高点或最低点 的速度大小或物体受力情况 2 根据物体在竖直平面内做圆周运动的速度 由牛顿运动定律确定物体所受合力或物体所 受的压力或拉力 考例 3 如图所示 LMPQ是光滑轨道 LM水平 长为 5 0m MPQ是一半径为R 1 6m 的半 圆 QOM在同一竖直线上 在恒力F作用下 质量m 1kg 的物体A由静止开始运动 当达到 M时立即停止用力 欲使A刚好能通过Q点 则力F大小为多少 取g 10m s2 解析 物体A经过Q点时 其受力情况如图所示 由牛顿第二定律得mg FN 物体A刚好过Q点时有FN 0 4m s 对物体从L到Q全过程 由动能定理得 FxLM 2mgR mv2 解得F 8N 答案 8N 用心 爱心 专心 10 总结评述 1 正确理解A物体 刚好能通过Q点 的含义是解决本题的关键 常用来表 达临界状态的词语还有 恰好 恰能 至少 至多 等 同学们在审题时必须高度注 意 小球沿圆弧M P Q通过最高点Q时 应服从圆周运动的规律 即应从向心力与线速度 的关系求解小球经过Q点的临界速度 2 圆周运动常与机械能守恒定律 动能定理 电荷在磁场中的偏转等知识相联系 构成综 合性较强的题目 如图所示的 S 形玩具轨道 该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成 固定在竖直平面内 轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接而成 圆半径比细管内径大得多 轨道底端与水 平地面相切 弹射装置将一个小球 可视为质点 从a点水平弹射向b点并进入轨道 经过轨 道后从P点水平抛出 已知小物体与地面ab段间的动摩擦因数 0 2 不计其他机械能损 失 ab段长L 1 25m 圆的半径R 0 1m 小物体质量m 0 01kg 轨道质量为 M 0 15kg g 10m s2 求 1 若v0 5m s 小物体从P点抛出后的水平射程 2 若v0 5m s 小物体经过轨道的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向 3 设小球进入轨道之前 轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力 当v0至少为多大时 用心 爱心 专心 11 可出现轨道对地面的瞬时压力为零 解析 1 小物体运动到P点时的速度大小为v 对小物体由a点运动到P点过程应用动能 定理得 小物体自P点做平抛运动 设运动时间为t 水平射程为s 则 2 设在轨道最高点时管道对小物体的作用力大小为F 取竖直向下为正方向F mg 联立代入数据解得F 1 1N 方向竖直向下 3 分析可知 要使小球以最小速度v0运动 且轨道对地面的压力为零 则小球的位置应该 在 S 形轨道的中间位置 设此时速度为v1 解得 v0 5m s 用心 爱心 专心 12 答案 1 0 4 m 2 1 1N 方向竖直向下 3 5m s 命题规律 生活中的圆周运动随处可见 和分析一般圆周运动类似 对物体正确的受力分析 确定向心力 轨迹圆是求解的关键 考例 4 铁路转弯处的弯道半径r是由地形决定的 弯道处要求外轨比内轨高 其内外轨 高度差h的设计不仅与r有关 还取决于火车在弯道处的行驶速率 下面表格中是铁路设计 人员技术手册中弯道半径r及与之对应的内外轨道的高度差h g取 10m s2 弯道半径r m 660330220165132110 内外轨高度差h mm 50100150200250300 1 根据表中数据 试导出h和r的关系表达式 并求出当r 440m 时 h的设计值 2 铁路建成后 火车通过弯道时 为保证绝对安全 要求内外轨道均不向车轮施加侧向压 力 又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L 1435mm 结合表中数据 算出我国火车的转 弯速率v 以 km h 为单位 结果取整数 设轨道倾角 很小时 tan sin 解析 1 分析表中数据可得 每组h与r的乘积都等于常数 C 660 50 10 3m2 33m2 因此 hr C 得h 当r 440m 时 有h 0 075m 75mm 用心 爱心 专心 13 2 若转弯时 内外轨对车轮均没有侧向压力 火车的受力如图甲所示 由牛顿第二定律得 mgtan 代入数据解得v 15m s 54km h 答案 1 75mm 2 54km h 总结评述 近几年 人们对交通运输的快捷提出了更高的要求 为了提高运输力 国家对 铁路不断进行提速 这就要求铁路转弯处对应的速率也要提高 由题中表达式v 可知 提高速度可采用两种方法 1 适当增加内外轨的高度差h 2 适当增加轨道半径r 如图所示 医学上常用离心分离机加速血液的沉淀 其 下沉 的加速度可这样表示 而普通方法靠 重力沉淀 产生的加速度为a 式子中 0 分别为 液体密度和液体中固体颗粒的密度 r表示试管中心到转轴的距离 为转轴角速度 由以 上信息回答 用心 爱心 专心 14 1 当满足什么条件时 离心沉淀 比 重力沉淀 快 2 若距离r 0 2m 离心机转速度n 3000r min 求a a 解析 1 比较两个加速度a和a 可知 只要r 2 g 即 离心沉淀就比重力沉 淀快 用心 爱心 专心 15 命题规律 物体做圆周运动具有周期性 正确分析物体运动过程 确定物体运动的多解 考例 5 在半径为R的水平圆板中心轴正上方高为h处 水平抛出一小球 圆板匀速转 动 当圆板半径OA与初速度方向一致时开始抛出小球 如图所示 要使球与圆板只碰一次 且落点为A 则小球的初速度v0为多大 圆板转动的角速度为多大 解析 对做平抛运动的小球的运动情况分析可得在竖直方向 用心 爱心 专心 16 如图所示 小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时 光电装置被触动 控制电路会使 转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来 转筒的底面半径为R 已知轨道末端与转筒上部 相平 与转筒的转轴距离为L 且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h 开始时转筒静止 且 小孔正对着轨道方向 现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下 若正好能钻入转筒的小 孔 小孔比小球略大 小球视为质点 不计空气阻力 重力加速度为g 求 1 小球从圆弧轨道上释放时的高度H 2 转筒转动的角速度 用心 爱心 专心 17 解析 1 设小球离开轨道进入小孔的时间为t 则由平抛运动规律得 2 在小球做平抛运动的时间内 圆筒必须恰好转整数转 小球才能钻进小孔 即 t 2n n 1 2 3 用心 爱心 专心 18 命题规律 根据物体受力分析和物体运动情况 确定物体做圆周运动时的角速度 或转速 大 小范围 考例 6 如图所示 两绳系一个质量为m 0 1kg 的小球 两绳的另一端分别固定于轴的 A B两处 上面绳长L 2m 两绳都拉直时与轴夹角分别为 30 和 45 问球的角速度在 什么范围内 两绳始终张紧 解析 两绳张紧时 小球受的力如图所示 当 由 0 逐渐增大时 可能出现两个临界 值 用心 爱心 专心 19 1 BC恰好拉直 但F2仍然为零 设此时的角速度 1 则有 Fx F1sin30 m Lsin30 Fy F1cos30 mg 0 代入已知解 得 1 2 40rad s 2 AC由拉紧转为恰好拉直 但F1已为零 设此时的角速度为 2 则有 Fx F2sin45 m Lsin30 Fy F2cos45 mg 0 代入已知解 得 2 3 16rad s 可见 要使两绳始终张紧 必须满足 2 4rad s 3 16rad s 答案 2 4rad s 3 16rad s 如图所示 把一个质量m 1kg 的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上A B两个固定点相连 接 绳a b长都是 1 m AB长度是 1 6m 直杆和球旋转的角速度等于多少时 b绳上才有 张力 用心 爱心 专心 20 解析 已知a b绳长均为 1 m 即 sin 0 6 37 小球做圆周运动的轨道半径 用心 爱心 专心 21 b