导数中分类讨论的三种常见类型

1 导数中分类讨论的三种常见类型 高中数学中 分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径 而所谓分类讨论 就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时 对 研究对象按照某种标准进行分类 然后对每一类的对象进行分别的研究并得出 结论 最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释 几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解 而能正确运用分类讨论思 想解决问题的不到一半 不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对 于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类 下面根 据导数中 3 种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论 1 导函数根的大小比较导函数根的大小比较 实例实例 1 求函数 的单调区间 32 11 32 a f xxxaxa xR 分析 分析 对于三次或三次以上的函数求单调区间 基本上都是用求导法 所以对 函数进行求导可以得到导函数 32 11 32 a f xxxaxa 观察可知导函数可以因式分解为 2 1fxxa xa 由此可知方程有两个实根 2 11fxxa xaxax 0fx 由于的范围未知 要讨论函数 1 xa 2 1x a 的单调性 需要讨论两个根的大小 所以这里分 32 11 32 a f xxxaxa 三种情况进行讨论 1a 1a 1a 当时 随的变化情况如下 1a f x fxx x a a 1a 1 1 fx 0 0 f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 所以 函数的单调递增区间为和 单调递减区间为 f x a 1 1a 当时 在上恒成立 所以函数的单调递增区间为1a 0fx R f x 没有单调递减区间 当时 随的变化情况如下 1a f x fxx 2 x 1 1 1 a a a fx 0 0 f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 所以 函数的单调递增区间为和 单调递减区间为 f x 1 a 1 a 综上所述 当时 函数的单调递增区间为和 单调递减区间1a f x a 1 为 1a 当时 函数的单调递增区间为 没有单调递减区间 1a f x 当时 函数的单调递增区间为和 单调递减区间1a f x 1 a 为 1 a 点评 点评 这道题之所以要分情况讨论 是因为导函数两个根的大小不确定 而两 根的大小又会影响到原函数的单调区间 而由于 所以要分 aR 1a 三种情况 这里注意不能漏了的情况 1a 1a 1a 2 导函数的根的存在性讨论导函数的根的存在性讨论 实例实例 2 求函数的单调区间 32 f xxaxx 分析 分析 这道题跟实例 1 一样 可以用求导法讨论单调区间 对函数 进行求导可以得到导函数 观察可以发 32 f xxaxx 2 321fxxax 现 该导函数无法因式分解 故无法确定方程是否有实根 因 2 3210 xax 此首先得考虑一下方程是否有解 所以我们可以求出根判别式 2 412a 若即 方程没有实根 即 2 4120a 33a 2 3210 xax 在上恒成立 所以在上单调递增 0fx R f xR 若即 方程有两个相等的实根 2 4120a 3a 2 3210 xax 即在上恒成立 所以在上单调递增 12 3 a xx 0fx R f xR 3 若即 则方程有两个不同实根 2 4120a 33aa 或 2 3210 xax 由求根公式可解得 显然 2 1 3 3 aa x 2 2 3 3 aa x 12 xx 此时 随的变化情况如下 f x fxx x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 综上所述 当时 的单调递增区间为 没有单调33a f x 递减区间 当时 的单调递增区间为和33aa 或 f x 2 3 3 aa 单调递减区间为 2 3 3 aa 22 33 33 aaaa 点评 点评 实例 2 和实例 1 都是求三次函数的单调区间 但是两道题分类讨论的情 况不一样 实例 2 主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知 所以需要讨 论根的存在性问题 而实例 1 是因为导函数所对应的方程可以因式分解 所以 可以确定方程的根肯定是存在的 因此不用再讨论 而需要讨论的是求出来两 个根的大小关系 实例 2 则相反 实例 2 在方程有两个不同实根的情况下求出 来的两根大小已知 所以不用再讨论 通过这两道实例可以知道 在分情况讨 论的时候弄清楚讨论的必要性是很重要的 不能以偏概全 3 导函数的根与给定区间的关系导函数的根与给定区间的关系 实例实例 3 已知函数 函数 若 2 lnf xxx 2 g xf xxax 0a 时 的最小值是 3 求实数的值 是自然对数的底数 0 xe g xae 分析 分析 由题意可以求得 且函数的定义域为 已知 lng xaxx g x 0 的是函数在上的最小值是 3 而函数最值的讨论通常是以单调性的 g x 0 e 讨论为基础 所以可以先考虑函数在上的单调性 因此对进行 g x 0 e g x 求导 得到导函数 因为 所以令解得 11ax gxa xx 0a 0gx 则 随的变化情况如下 1 x a g x gxx 4 x 1 0 a 1 a 1 a gx 0 g x 单调递减极小值单调递增 这是在上的单调性 而要讨论其在上的单调性 这里涉及到 g x 0 0 e 跟的大小 也即是是在给定区间内还是在区间外的问题 可以知道 e 1 a 1 a 题目中并没有条件可以让我们确定 跟的大小关系 所以这里需要分情况e 1 a 讨论 若即 则在上单调递减 令 1 e a 1 0a e g x 0 e min 1g xg eae 解得 舍去 13ae 4 a e 若即 则在上单调递减 在上单调递增 所以 1 e a 1 a e g x 1 0 a 1 e a 令 解得 满足条件 min 1 1 lng xga a 1 ln3a 2 ae 综上所述 所求实数的值为 a 2 e 点评 点评 这道题实质上就是讨论函数在给定区间上的单调性 在这道例题中 导 函数存在唯一的实根 所以可以确定原函数在定义域上的单调性 g x 0 而要讨论其在区间的单调性 则涉及到 跟的大小关系 也就是确定导 0 ee 1 a 函数等于零的点跟给定区间的关系 这道题中如果把的范围改为 问题aaR 就稍微复杂一点 首先得考虑导函数根是否存在 可以发 11ax gxa xx 现 如果 则不存在导函数等于零的点 此时 函0a 11 0gxa xx 数在上单调递减 而如果 则导函数存在唯一的实根 其中 g x 0 e0a 1 a 又包含了两种情况 和 如果 那么 0a 0a 0a 0a 1 0 a 此时 函数在上单调递减 至 1 0 a 11 0 ax gxa xx g x 0 e 于的情况 讨论如实例 3 0a 分类讨论思想是对研究对象进行分类 简化所要研究的对象 它是解决问 5 题的一种逻辑方法 也是锻炼人思维模式的方法 但在分类讨论时要明确讨论 的对象以及按什么标准进行分类 做到不重复 不遗漏 导数中的分类讨论在 历年高考中也是经常出现 主要是在研究函数的单调性 极值与最值中应用比 较多 导数问题中分类讨论的方法导数问题中分类讨论的方法 摘要摘要 近年 高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论 而考生的在这一题中的得分率并不高 主要原因有两个 一是看不懂题意 二是不会分类 讨论 而分类讨论在高考中处于重要的 地位 分类讨论思想是历年高考的必考内容 它不仅是高考的重点与热点 而且是高考的难点 每年在中高档题甚至在低档题中都设置 分类讨论问题 通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力 本人在几年 的教学生涯中 对这类问题作了一定的探讨 并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引 起分类讨论的原因 关键词 关键词 单调区间 极值 分类 最值 取值范围 为了更好的解决导数中分类讨论的问题 笔者建议按照下列步骤来解决导数解答题 1 求导 xf 2 令 0 xf 3 求出 0 的根 xf 4 作出导数的图像或等价于导数的图像 一般是二次函数或一次函数的图像 5 由图像写出函数的单调区间 极值 或最值 规范了步骤后 在解题过程中涉及到的分类讨论一般有 方程 0 的类型引起的讨论 xf 根的存在引起的讨论 根的大小引起的讨论 画图像时开口或斜率的讨论 根与给定区间 或定义域的端点的大小的讨论 下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐 述 例例 1 若函数 若函数 a 0 求函数的单调区间 求函数的单调区间 x x axxfln 2 解 0 212 2 2 2 x x xax xx axf 令 0 即 注意这里方程的类型需要讨论 注意这里方程的类型需要讨论 xf02 2 xax 作出的图像 由图像可知 20 xa 则若2 xxg 在 0 2 上为减函数 在 2 上为增函数 xf 若 0810 aa 则 由 得02 2 xax 6 0 a a x 2 811 1 a a x 2 811 2 作出的图像 由图像可知2 2 xaxxh 在 xf上为增函数上为减函数 在 0 22 xx 综上所述 在 0 2 上为减函数 在 2 上为增函数时0 a xf 在时 0 xfa 上为减函数 a a 2 811 0 在 上为增函数 a a 2 811 例例 2 08 全国高考全国高考 已知函数已知函数 f x x3 ax2 x 1 a R 讨论函数 讨论函数 f x 的单调区间的单调区间 解 123 2 axxxf 令 注意这里根的存在需要讨论 注意这里根的存在需要讨论 0123 2 axxxf 124 2 a 若 即 0124 2 a33 a 则上为增函数在Rxf 若33 0124 2 aaa或即 由得 0123 2 axxxf 3 3 2 1 aa x 3 3 2 2 aa x 上为增函数在 xf或 3 3 2 aa 3 3 2 aa 在上为减函数 3 3 3 3 22 aaaa 综上所述 时 33 a上为增函数在Rxf 时 或33 aa在 xf或 3 3 2 aa 3 3 2 aa 7 上为增函数 在上为减函数 3 3 3 3 22 aaaa 例例 3 3 20102010 北京 北京 已知函数已知函数 x In 1 In 1 x k 0 0 fx 2 2 x k 求f 的单调区间 x 解 1 1 1 1 1 1 x x kkxx kx x xf 令 0 即 这里需要对方程 这里需要对方程的类型讨论 的类型讨论 xf0 1 kkxx01 kkx 若 k 0 则 x x xf 1 在 1 0 上为增函数 在 0 上为减函数 xf 若 k 0 由得 0 1 kkxx 这里需要对两个根的大小进行讨论 这里需要对两个根的大小进行讨论 11 1 0 k xx或 若 k 1 则 在 1 上为增函数 x x xf 1 2 xf 若 则在或上为增函数 10 k xf 0 1 1 1 k 在上为减函数 1 1 0 k 若 则在或上为增函数 1 k xf 1 1 1 k 0 在上为减函数 0 1 1 k 综上所述 若 k 0 在 1 0 上为增函数 在 0 上为减函数 xf 若 在或上为增函数 10 k xf 0 1 1 1 k 在上为减函数 1 1 0 k 若 k 1 在 1 上为增函数 xf 若 在或上为增函数 1 k xf 1 1 1 k 0 在上为减函数 0 1 1 k 例例 4 2009 北京理改编 设函数北京理改编 设函数 求函数 求函数 f x的单调区间的单调区间 kx xexf 8 解 1 kxekxeexf kxkxkx 令 即 这里需要对方程 这里需要对方程的类型讨论 的类型讨论 0 x f01 kx01 kx 若 则 在 上为增函数01 x f xf 若 k 0 则由得 这里需要对这里需要对的的01 kx k x 1 1 kxy 斜率讨论斜率讨论 若 k 0 则在上为减函数 在上为增函数 xf 1 k 1 k 若 k0 则在上为减函数 在上为增函数 xf 1 k 1 k 若 k 0 则在上为增函数 在上为减函数 xf 1 k 1 k 例例 5 海南 海南 2011 四校联考 四校联考 3 2 2 32ln2 x p xpxgxxxf 若对任意的范围的取值恒成立 求实数pxgxfx 2 1 解 的定义域为 0 xf x p pxxxgxfxh 2 ln2 设 2 2 22 x pxpx xh 设 令 对方程类型的讨论 对方程类型的讨论 022 0 2 pxpxxh即设 若 p 0 则0 22 2 x x xh设 不符合要求上为增函数在则 2 1 2 1 min hxhxh 若 p 0 由得022 2 pxpx 对两根的大小 定义域的端点 给定区间的端点大小的讨论 对两根的大小 定义域的端点 给定区间的端点大小的讨论 p p xx 2 1 或 9 若 符合题意则即 1 1 2 p p p 0 1 min hxh 若 不符合题意则即 01 1 2 p p p 022 1 min phxh 若 符合题意则即 12 0 2 1 p p p 022 1 min phxh 若 符合题意则即 2 0 2 p p p 02 1 min hxh 若 符合题意则即 2 1 2 0 p p p 022 1 min phxh 若 不符合题意则即 2 2 2 1 p p p 022 1 ph 若 不符合题意则即 2 2 2 p p p 02 1 h