平行四边形知识点及证明题

第第 18 章章 平行四边形 矩形 菱形 正方形知识点总结平行四边形 矩形 菱形 正方形知识点总结 一 正确理解定义一 正确理解定义 1 定义 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性 它既是平行四边形的一条性质 又是一个 判定方法 2 表示方法 表示方法 用 表示平行四边形 例如 平行四边形 ABCD 记作 ABCD 读作 平行四边形 ABCD 2 熟练掌握性质 熟练掌握性质 平行四边形的有关性质和判定都是从 边 角 对角线边 角 对角线 三个方面的特征进行简述的 1 角 角 平行四边形的邻角互补邻角互补 对角相等对角相等 2 边 边 平行四边形两组对边对边分别平行且相等平行且相等 3 对角线 对角线 平行四边形的 对角线互相平分 4 面积 面积 平行四边形的对角线将四边形分成 4 个面积相等的三角S 底高ah 形 3 平行四边形的判别方法 平行四边形的判别方法 定义 定义 两组对边两组对边分别平行平行的四边形是平行四边形 方法方法 1 两组对角两组对角分别相等相等的四边 形是平行四边形 方法方法 2 两组对边两组对边分别相等相等的四边形是平行四边形 方法方法 3 对角线互相平分对角线互相平分的四边 形是平行四边形 方法方法 4 一组平行且相等一组平行且相等的四边形是平行四边形 二 二 几种特殊四边形的有关概念 几种特殊四边形的有关概念 1 矩形 矩形 有一个角是直角直角 的平行四边形平行四边形 是矩形 它是研究矩形的基础 它既可以看作是矩 形的性质 也可以看作是矩形的判定方法 对于这个定义 要注意把握 平行四边形 一 个角是直角 两者缺一不可 2 菱形 菱形 有一组邻边相等邻边相等 的平行四边形平行四边形 是菱形 它是研究菱形的基础 它既可以看作是菱 形的性质 也可以看作是菱形的判定方法 对于这个定义 要注意把握 平行四边形 一 组邻边相等 两者缺一不可 3 正方形 正方形 有一组邻边相等邻边相等且有一个直角直角 的平行四边形平行四边形 叫做正方形 它是最特殊的平行四 边形 它既是平行四边形 还是菱形 也是矩形 它兼有这三者的特征 是一种非常完美的图 形 2 几种特殊四边形的有关性质 几种特殊四边形的有关性质 知新教育伴你成长 1 矩形 矩形 边 对边平行且相等 角 对角相等 邻角互补 对角线 对角线互相平分且相等 对称性 轴对称图形 对边中点连线所在直线 2 条 2 菱形 菱形 边 四条边都相等 角 对角相等 邻角互补 对角线 对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角 对称性 轴对称图形 对角线所在直线 2 条 3 正方形 正方形 边 四条边都相等 角 四角相等 对角线 对角线互相垂直平分且相等 对角线与边的夹角为 450 对称性 轴对称图 形 4 条 3 几种特殊四边形的判定方法 几种特殊四边形的判定方法 1 矩形的判定 矩形的判定 满足下列条件之一的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 四个角都相 等 2 菱形的判定 菱形的判定 满足下列条件之一的四边形是矩形 有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 四条边都相 等 3 正方形的判定 正方形的判定 满足下列条件之一的四边形是正方形 有一组邻边相等邻边相等 且有一个直角直角 的平行四边形平行四边形 有一组邻边相等邻边相等 的矩形矩形 对角线互相垂直对角线互相垂直 的矩形矩形 有一个角是直角直角 的菱形菱形 对角线相等对角线相等 的菱形菱形 4 几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 1 识别矩形的常用方法 识别矩形的常用方法 先说明四边形 ABCD 为平行四边形 再说明平行四边形 ABCD 的任意一个角为直角 先说明四边形 ABCD 为平行四边形 再说明平行四边形 ABCD 的对角线相等 说明四边形 ABCD 的三个角是直角 2 识别菱形的常用方法 识别菱形的常用方法 先说明四边形 ABCD 为平行四边形 再说明平行四边形 ABCD 的任一组邻边相等 先说明四边形 ABCD 为平行四边形 再说明对角线互相垂直 说明四边形 ABCD 的四条相等 3 识别正方形的常用方法 识别正方形的常用方法 先说明四边形 ABCD 为平行四边形 再说明平行四边形 ABCD 的一个角为直角且有一组邻边 相等 先说明四边形 ABCD 为平行四边形 再说明对角线互相垂直且相等 先说明四边形 ABCD 为矩形 再说明矩形的一组邻边相等 先说明四边形 ABCD 为菱形 再说明菱形 ABCD 的一个角为直角 5 几种特殊四边形的面积问题 几种特殊四边形的面积问题 设矩形 ABCD 的两邻边长分别为 a b 则 S 矩形 ab 设菱形 ABCD 的一边长为 a 高为 h 则 S 菱形 ah 若菱形的两对角线的长分别为 a b 则 S 菱形 1 2 ab 设正方形 ABCD 的一边长为 a 则 S 正方形 若正方形的对角线的长为 a 则 S 正方形 2 a 2 1 2 a 平行四边形矩形菱形正方形 图形 性质 1 对边 且 2 对角 邻角 3 对角线 1 对边 且 2 对角 且四个角都是 3 对角线 1 对边 且四条边都 2 对角 3 对角线 且每 条对角线 1 对边 且四条边都 2 对角 且四个角都是 3 对角线 且每条对角 线 面积 证明题证明题 1 1 如图 在菱形 ABCD 中 A 60 AB 4 O 为对角线 BD 的中点 过 O 点作 OE AB 垂足为 E 1 求 ABD 的度数 2 求线段BE的长 2 2 如图 菱形的对角线与相交于点 点 分别为边 的中点 连接 ABCDACBDOEFABADEF 求证 四边形是菱形 OEOFAEOF 3 在正方形在正方形 ABCD 中 中 AC 为对角线 为对角线 E 为为 AC 上一点 连接上一点 连接 EB ED 1 求证 求证 BEC DEC 2 延长 延长 BE 交交 AD 于于 F 当 当 BED 120 时 求时 求 EFD 的度数 的度数 4 已知 如图 在正方形 ABCD 中 点 E F 分别在 BC 和 CD 上 AE AF 1 求证 BE DF 2 连接 AC 交 EF 于点 O 延长 OC 至点 M 使 OM OA 连接 EM FM 判断四边形 AEMF 是什么特殊四 边形 并证明你的结论 证明 1 5 如图 四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形 点 G E 分别是边 AB BC 的中点 AEF 90o 且 EF 交正方形外角 的平分线 CF 于点 F 1 证明 BAE FEC 2 证明 AGE ECF 3 求 AEF 的面积 6 已知梯形中 如图所示 的平分线交于点 联结 ABCDBCAD ADAB BAD AEBCEDE 1 在图中 用尺规作的平分线 保留作图痕迹 不写作法 并证明四边形是菱形 BAD AEABED 2 若 求证 60ABCBEEC2 DCED 7 2010 湖北省黄石市 如图 正方形中 分别是边上的点 且求证ABCDEF ABBC AEBF AFDE 8 如图 将矩形纸片沿折叠 使点与点重合 点落在点处 为折痕 ABCDEFACDGEF 1 求证 FGCEBC 2 若 求四边形 阴影部分 的面积 84ABAD ECGF 9 如图 在 ABC 中 D 是 BC 边的中点 E F 分别在 AD 及其延长线上 CE BF 连接 BE CF 1 求证 BDF CDE 2 若 AB AC 求证 四边形 BFCE 是菱形 10 如图 在矩形 ABCD AB AD 中 将 ABE 沿 AE 对折 使 AB 边落在对角线 AC 上 点 B 的对应点为 F 同 时将 CEG 沿 EG 对折 使 CE 边落在 EF 所在直线上 点 C 的对应点为 H 1 证明 AF HG 图 1 2 证明 AEF EGH 图 1 3 如果点 C 的对应点 H 恰好落在边 AD 上 图 2 求此时 BAC 的大 小 11 如图 梯形 ABCD 中 AB CD AC 平分 BAD CE AD 交 AB 于点 E 求证 四边形 AECD 是菱形 12 求证 矩形的对角线相等 13 如图 在 ABCD 中 EF