2011届全国各地高考数学试题汇编 空间向量在立体几何中的应用2

专心 爱心 用心 1 空间向量在立体几何中的应用题组二空间向量在立体几何中的应用题组二 一 选择题一 选择题 1 浙江省菱湖中学浙江省菱湖中学 20112011 届高三上学期期中考试理 届高三上学期期中考试理 三棱锥 S ABC 中 SA 底面 ABC SA 4 AB 3 D 为 AB 的中点 ABC 90 则点 D 到面 SBC 的距离等于 A 12 5 B 9 5 C 6 5 D 3 5 答案 C 2 河南省长葛第三实验高中 河南省长葛第三实验高中 20112011 届高三期中考试理 届高三期中考试理 向量bnamba 若 3 2 2 1 与ba2 共线 其中 n m nRnm则且 0 等于 A 2 1 B 2 1 C 2 D 2 答案 A 二 填空题二 填空题 3 浙江省桐乡一中 浙江省桐乡一中 20112011 届高三文 届高三文 如图 边长为 a 的正 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G 已知 A ED 是 AED 绕 DE 旋转过程中的一个图形 现给出下列命题 动点 A 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 三棱锥 A FED 的体积有最大值 恒有平面 A GF 平面 BCED 异面直线 E A 与 BD 不可能互相垂直 异面直线 FE 与 D A 所成角的取值范围是 2 0 其中正确命题的序号是 将正确命题的序号都填上 答案答案 三 解答题 4 河北省唐山一中河北省唐山一中 20112011 届高三文 届高三文 本题满分 12 分 已知四棱锥P ABCD的底面是正方形 PA 底面ABCD 异面直线PB与CD所成的角为 45 求 二面角B PC D的大小 直线PB与平面PCD所成的角的 大小 答案答案 4 4 解 解 AB CD PBA就是PB与CD所成的角 即 PBA 45 1 分 于是PA AB 作BE PC于E 连接ED 在 ECB和 ECD中 BC CD CE CE ECB ECD ECB ECD CED CEB 90 专心 爱心 用心 2 BED就是二面角B PC D的平面角 4 分 设AB a 则BD PB a2 PC a3 BE DE a PC BCPB 3 6 cos BED 2 1 2 222 DEBE BDDEBE BED 120 二面角B PC D的大小为 120 6 分 还原棱锥为正方体ABCD PB1C1D1 作BF CB1于F 平面PB1C1D1 平面B1BCC1 BF 平面PB1CD 8 分 连接PF 则 BPF就是直线PB与平面PCD所成 的角 10 分 BF a 2 2 PB a2 sin BPF 2 1 BPF 30 所以就是直线PB与平面PCD所成的角为 30 12 分 注 注 也可不还原成正方体 利用体积求出点B到平面PCD的距离 或用向量 法解答 5 广东省河源市龙川一中 广东省河源市龙川一中 20112011 届高三文届高三文 14 分 如图 一简单几何体的一个面 ABC 内接于圆 O AB 是圆 O 的直径 四边形 DCBE 为平行四边形 且 DC 平面 ABC 1 证明 平面 ACD 平面ADE 2 若2AB 1BC 3 tan 2 EAB 试求该几何体的体积 V 答案答案 5 5 解 证明 DC 平面 ABC BC 平面 ABC DCBC 2 分 AB 是圆 O 的直径 BCAC 且DCACC BC 平面 ADC 4 分 四边形 DCBE 为平行四边形 DE BC DE 平面 ADC 专心 爱心 用心 3 E P D C B A 6 分 又 DE 平面 ADE 平面 ACD 平面ADE 7 分 2 解法 所求简单组合体的体积 E ABCE ADC VVV 9 分 2AB 1BC 3 tan 2 EB EAB AB 3BE 22 3ACABBC 11 分 111 362 E ADCADC VSDEAC DC DE 12 分 111 362 E ABCABC VSEBAC BC EB 13 分 该简单几何体的体积1V 14 分 解法 5 将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱 8 分 如图 2AB 1BC 3 tan 2 EB EAB AB 3BE 22 3ACABBC 10 分 ACB FDEE ADF VVV 1 3 ACBADC SDCSDE 12 分 11 26 AC CB DCAC DC DE 11 3 1333 11 26 14 分 6 广西桂林十八中广西桂林十八中 20112011 届高三第四次月考试卷文 届高三第四次月考试卷文 12 分 如图 四棱锥PABCD 中 底 面 ABCD 是矩形 2PAABCD PAAB 底面 点 E 是棱 PB 的中点 1 证明 AEPBC 平面 2 若 AD 1 求二面角BECD 的大小 答案答案 专心 爱心 用心 4 E P D C B A 20 1 2 4 5 PAABCDPAABPAAB PABEPB AEPBi BCABPBABCD BCPB BCPABAEPAB AEBCii iiiBCPBBBCPB AE 解 证明 如图 由底面得又 是等腰直角三角形 而为中点 分 由题意知且在平面上的射影是AB 从而面 又面 分 由及 面PAC 得面PAC分 2 6 22 0 0 00 0 2 2 0 0 2 1 0 0 0 1 0 22 22 1 0 7 22 0 AAB AD APx y z Axyz APBCED BECnAEnAE k DC DECkx y z k DE 以为坐标原点 射线分别为的正半轴 建立空间直角坐标系分 则 设平面的法向量为由知面PAC 故可取分 设平面的法向量为则 8 0 22 2 0 0 1 22 20 0 1 0 1 29 22 2 0 22 cos 10 13 311 0012 22 3 arccos12 3 DCDE x x yk z xyz n k n k nk BECD 分 且 取则 分 分 二面角的大小是分 7 广东省河源市龙川一中广东省河源市龙川一中 20112011 届高三第一次月考理 届高三第一次月考理 本小题满分 14 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 5 AB AA1 4 点 D 是 AB 的中点 求证 AC BC1 求二面角 1 DCBB 的平面角的正切值 专心 爱心 用心 5 答案 7 证明 直三棱柱 ABC A1B1C1 底面三边长 AC 3 BC 4 AB 5 222 ACBCAB AC BC 2 分 又 AC 1 C C 且 1 BCC CC AC 平面 BCC1 又 1 BC 平面 BCC1 4 分 AC BC1 5 分 解法一 取BC中点E 过D作 1 DFBC 于F 连接EF 6 分 D是AB中点 DEAC 又AC 平面 11 BBC C DE 平面 11 BBC C 又 EF 平面 11 BBC C 1 BC 平面 11 BBC C DEEF 1 BCDE 又 1 DFBC 且DEDFD 1 BC 平面DEF EF 平面DEF 8 分 1 BCEF 又 1 DFBC EFD 是二面角 1 DBCB 的平面角 10 分 AC 3 BC 4 AA1 4 在DEF 中 DEEF 3 2 DE 2EF 3 3 2 2 tan 42 DE EFD EF 13 分 二面角 1 DBCB 的正切值为 3 2 4 14 分 解法二 以 1 CACBCC 分别为xyz 轴建立如图所示空间直角坐标系 6 分 AC 3 BC 4 AA1 4 3 0 0 A 00 B 4 0 0 0 C 3 2 0 2 D 1 0 4 4 B 3 2 0 2 CD 1 0 4 4 CB F E D C1 B1 A1 C B A D C1B1 A1 C B A z y x 专心 爱心 用心 6 平面 11 CBBC的法向量 1 10 0 n 8 分 设平面 1 DBC的法向量 2000 nxy z 则 1 n 2 n 的夹角 或其补角 的大小就是二面角 1 DCBB 的大小