2011高考数学二轮复习考案(13)不等式1 新人教A版

第第 1313 章章 不等式不等式 学法导航学法导航 1 不等式的概念和性质是本部分内容的基础 要高度重视不等式的概念和性质 弄清每一个性质和结论 做到深刻理解并能够灵活应用 2 熟练掌握不等式的解法即含有参数的不等式的解法 解不等式是研究函数和方程的重要工具 在学习 中不仅要注重不等式在研究函数与方程的工具作用 更要重视不等式 方程 函数三者之间的相互转化 3 均值不等式应用范围非常广泛 可与高中数学大部分章节的知识进行综合考查 但在高考中的考查却 不外乎大小判断 求最值 求取值范围等 因此 把握均值不等式应用的前提以及均值不等式的构造是复 习这个知识点的关键 4 重视不等式的综合应用 不等式单独命题较少 常在函数 数列 立体几何 解析几何和应用题解题 过程中涉及 加强不等式的应用能力是提高解综合问题的关键 因此 在复习时应加强这方面知识和能力 的训练 提高应用意识 5 注重思想方法的复习和应用 解决不等式问题中经常用到的思想方法有 等价转化思想 分论讨论思 想 函数与方程的思想 化归思想等 总之 学习本章应做到立足基础 培养能力 有的放矢 重点突出 学会建模 提高素质 专题综合专题综合 在 考试大纲 中 虽然没有对利用不等式解决实际问题和不等式在函数 方程 数列 解析几何 平面向量 导数 极限和概率与统计等方面的综合应用提出具体要求 但在解答高考题时 无处不涉及到 不等式的有关知识 特别是综合性强的题更要以不等式作 工具 来解决 不等式的综合应用主要涉及以 下三个方面 1 建立函数关系 利用均值不等式求最值 根据题设条件建立函数关系式 并创设基本不等式应用 背景 在应用均值不等式求最值时要注意的是 一正二定三等 即求和 积 的最小值 最大值 时 必须使其积 和 为定值 并且要注意各项是否为正 确保等号成立的条件是否成立 即各项是否能相等 2 建立不等式求参数的取值范围 常见的问题有 l 在集合问题中的应用 2 在方程 组 的解的讨论中的应用 3 在函数 导数和数列问题中的应用 4 在平面向量 解析几何和立体几何 中的应用 5 在概率与统计中的应用等等 解决这类问题的基本方法是根据条件列出相关的不等式 组 解不等式 或利用函数单调性 均值不等式求其值域 3 利用不等式解决实际问题 不等式的应用题大致可分为两类 一类是建立不等式求参数的取值范围 或解决一些实际应用问题 另一类是建立函数关系 利用均值不等式或函数的单调性求最值问题 应用不 等式解题的关键是建立不等关系 解不等式应用问题步骤 审题 建立不等模型 利用不等式有关知识解 题 解决问题的具体模式如下 现实世界中的实际问题 数学抽象 不等式模型 实际问题的解 还原实际 不等式的解 1 1 不等式与方程不等式与方程 例 1 2007 广东 已知a是实数 函数 axaxxf 322 2 如果函数 xfy 在区间 1 1 上有零点 求a的取值范围 解 若0a 23f xx 显然在 1 1 上没有零点 所以 0a 令 2 48382440aaaa 解得 37 2 a 当 37 2 a 时 yf x 恰有一个零点在 1 1 上 当 05111 aaff 即15a 时 yf x 在 1 1 上也恰有一个零点 当 yf x 在 1 1 上有两个零点时 则 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 或 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 解得5a 或 35 2 a 综上所求实数a的取值范围是 1a 或 35 2 a 2 2 不等式与数列不等式与数列 例 2 2008 安徽卷 21 设数列 n a满足 3 01 0 1 nn aacac cNc 为实数 证明 0 1 n a 对任意 nN 成立的充分必要条件是 0 1 c 设 1 0 3 c 证明 1 1 3 n n acnN 设 1 0 3 c 证明 222 12 2 1 1 3 n aaannN c 解 1 必要性 12 0 1aac 又 2 0 1 011ac 即 0 1 c 充分性 设 0 1 c 对 nN 用数学归纳法证明 0 1 n a 当1n 时 1 0 0 1 a 假设 0 1 1 k ak 则 3 1 111 kk acaccc 且 3 1 110 kk acacc 1 0 1 k a 由数学归纳法知 0 1 n a 对所有 nN 成立 2 设 1 0 3 c 当1n 时 1 0a 结论成立 当2n 时 32 1111 1 1 1 1 nnnnnn acacacaaa 1 0 3 C 由 1 知 1 0 1 n a 所以 2 11 13 nn aa 且 1 10 n a 1 13 1 nn aca 211 121 13 1 3 1 3 1 3 nn nnn acacacac 1 1 3 n n acnN 3 设 1 0 3 c 当1n 时 2 1 2 02 1 3 a c 结论成立 当2n 时 由 2 知 1 1 3 0 n n ac 21 212 1 1 1 3 1 2 3 3 1 2 3 nnnn n acccc 2222221 122 1 2 3 3 3 n nn aaaaanccc 2 1 3 2 11 1 31 3 n c nn cc 3 3 不等式与解析几何不等式与解析几何 例 3 2008 年全国 理科 21 文科 22 高考 设椭圆中心在坐标原点 A 2 0 B 0 1 是它的两个顶点 直 线 0 kkxy与 AB 相交于点 D 与椭圆相较于 E F 两点 若 DFED6 求 k 的值 求四边形AEBF面积的最大值 解 依题设得椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 直线ABEF 的方程分别为22xy 0 ykx k 如图 设 001122 D xkxE xkxF xkx 其中 12 xx 且 12 xx 满足方程 22 14 4kx 故 21 2 2 14 xx k D F B y x A O E 由6EDDF 知 0120 6 xxxx 得 0212 2 1510 6 77 7 14 xxxx k 由D在AB上知 00 22xkx 得 0 2 12 x k 所以 2 210 12 7 14 k k 化简得 2 242560kk 解得 2 3 k 或 3 8 k 解法一 根据点到直线的距离公式和 式知 点EF 到AB的距离分别为 2 11 1 2 222 1214 5 5 14 xkxkk h k 2 22 2 2 222 1214 5 5 14 xkxkk h k 又 2 215AB 所以四边形AEBF的面积为 12 1 2 SAB hh 2 14 12 5 2 5 14 k k AA 2 2 12 14 k k 2 2 144 2 14 kk k 2 2 当21k 即当 1 2 k 时 上式取等号 所以S的最大值为2 2 解法二 由题设 1BO 2AO 设 11 ykx 22 ykx 由 得 2 0 x 21 0yy 故四边形AEBF的面积为 BEFAEF SSS 22 2xy 2 22 2 xy 22 2222 44xyx y 22 22 2 4 xy 2 2 当 22 2xy 时 上式取等号 所以S的最大值为2 2 4 4 不等式与概率统计不等式与概率统计 例 4 2006 辽宁卷 现有甲 乙两个项目 对甲项目每投资十万元 一年后利润是 1 2 万元 1 18 万 元 1 17 万元的概率分别为 1 6 1 2 1 3 已知乙项目的利润与产品价格的调整有关 在每次调整中价格下 降的概率都是 01 pp 设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整 记乙项目产品价格在一年内 的下降次数为 对乙项目每投资十万元 取 0 1 2 时 一年后相应利润是 1 3 万元 1 25 万元 0 2 万元 随机变量 1 2 分别表示对甲 乙两项目各投资十万元一年后的利润 I 求 1 2 的概率分布和数学期望 1 E 2 E II 当 12 EE 时 求p的取值范围 分析分析 解决问题的关键是准确求出事件的分布列 解解 I 1 的概率分布为 1 1 21 181 17 p1 6 1 2 1 3 E 1 1 2 1 6 1 18 1 2 1 17 1 3 1 18 由题设得 2 Bp 则 的概率分布为 012 P 2 1 p 2 1 pp 2 p 故 2 的概率分布为 2 1 31 250 2 P 2 1 p 2 1 pp 2 p 2 的数学期望为 E 2 2 1 3 1 p 1 25 2 1 pp 2 0 2p 2 0 11 3pp II 由 12 EE 得 2 0 11 31 18pp 0 4 0 3 0pp 0 40 3p 0 p 1 12 EE 时 0 0 3 p 点评点评 本题考查二项分布 分布列 数学期望 方差和不等式等基础知识 以及运用概率知识解决实际 问题的能力 不等式与概率与统计的综合考查 是高考出现的新亮点 2006 年北京卷的第 18 题也是这种题 这是一种新的命题趋向 应引起足够的重视 5 5 不等式与函数不等式与函数 例 5 2009 全国卷 理 设函数 32 33f xxbxcx 在两个极值点 12 xx 且 12 10 1 2 xx I 求bc 满足的约束条件 并在下面的坐标平面内 画出满足这些条件的点 b c的区域 II 证明 2 1 10 2 f x 分析 I 这一问主要考查了二次函数 根的分布及线性规划作可行域的能力 大部分考生有思路并能够得分 2 363fxxbxc 由题意知方程 0fx 有两个根 12 xx 1 10 x 且 2 1 2 x 则有 10f 00 f 1020ff 故有 右图中阴影部分 即是满足这些条件 的点 b c的区域 II 这一问考生不易得分 有一定的区分度 主要原因是含字母较多 不易找到突破口 此题主要利用 消元的手段 消去目标 32 2222 33f xxbxcx 中的b 如果消 c会较繁琐 再利用 2 x的范围 并借 助 I 中的约束条件得 2 0 c 进而求解 有较强的技巧性 解 由题意有 2 222 3630fxxbxc 又 32 2222 33f xxbxcx 消去b可得 3 222 13 22 c f xxx 又 2 1 2 x 且 2 0 c 2 1 10 2 f x 6 6 不等式与实际问题不等式与实际问题 例 6 2009 湖北卷文 本小题满分 12 分 围建一个面积为 360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用旧墙需维修 其它三面 围墙要新建 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口 如图所示 已知旧墙的维修费用 为 45 元 m 新墙的造价为 180 元 m 设利用的旧墙的长度为 x 单位 元 将 y 表示为 x 的函数 试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 解 1 如图 设矩形的另一边长为 a m 则 2 y 45x 180 x 2 180 2a 225x 360a 360 由已知 xa 360 得 a x 360 所以 y 225x 0 360 3602 x x w w w k s 5 u c o m II 108003602252 360 225 0 2 2 x xx 10440360 360 225 2 x xy 当且仅当 225x x 2 360 时 等号成立 即当 x 24m 时 修建围墙的总费用最小 最小总费用是 10440 元 w w w k s 5 u c o m 点评点评 本题主要考查学生分析问题和解决实际问题的能力 以及数学建模的能力 专题突破专题突破 1 20061 2006 春上海春上海 若bacba R 则下列不等式成立的是 A ba 11 B 22 ba C 11 22 c b c a D cbca 答案答案 C C 2 2004 北京 已知 a b c 满足 且 那么下列选项中不一定成立的是 A B C D 0 caac 答案答案 C C 3 3 对于实数 下命题正确的是 A 若 ab 0 d c 0 则 ab cd 答案答案 C C 4 4 已知集合 2 560Ax xx 集合 213Bxx 则集合AB A 23xx B 23xx C 23xx D 13xx 解解 选 C 23Axx 2 1Bx xx 或 23ABxx 5 5 设f x 1 2 3 2 2 log 1 2 x ex xx 则不等式f x 2 的解集为 A 3 1 2 B 10 C 10 1 2 D 1 2 解解 由已知得 1 2 22 x x e 或 2 3 2 log 1 2 x x 即 1 2 1 x x e 或 2 2 19 x x 也即 2 10 x x 或 2 2 10 x x 解 得12x 或10 x 故选 C 6 6 下列结论正确的是 A 当 2 lg 1 lg 10 x xxx时且 B 1 0 2xx x 当时 C x xx 1 2 时当的最小值为 2D 当 x xx 1 20 时无最大值 答案答案 2005 福建 设bababa 则 62 22 R的最小值是 A 22 B 3 35 C 3 D 2 7 答案 8 不等式11x 的解集是 答案 0 2 9 2009 浙江理 若实数 x y满足不等式组 2 24 0 xy xy xy 则23xy 的最小值是 w w w k s 5 u c o m 答案 4 解析 通过画出其线性规划 可知直线 2 3 yxZ 过点 2 0时 min234xy 10 山东卷 16 若不等式 3x b 4 的解集中的整数有且仅有 1 2 3 则b的取值范围 答案 5 7 11 2005 北京 经过长期观测得到 在交通繁忙的时段内 某公路段汽车的车流量y 千辆 小时 与汽 车的平均速度v 千米 小时 之间的函数关系为 2 920 0 31600 v yv vv 1 在该时段内 当汽车的平均速度 为多少时 车流量最大 最大车流量为多少 精确到1 0千 辆 小时 2 若要求在该时段内车流量超过10 千辆 小时 则汽车的平均速度应在什么范围