2011年高考数学一轮复习必备 二项式定理（1）

第第 8484 课时 第十章课时 第十章 排列 组合和概率排列 组合和概率 二项式定理 二项式定理 1 1 课题 二项式定理 1 一 复习目标 一 复习目标 1 掌握二项式定理和二项展开式的性质 并能用它们讨论整除 近似计算等相关问题 2 能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数 求满足条件的项或系数 二 知识要点 二 知识要点 1 二项式定理 2 二项展开式的性质 1 在二项展开式中 与首末两端 等距离 的两项的二项式系数 2 若n是偶数 则 的二项式系数最大 若n是奇数 则 的二项式系数最大 3 所有二项式系数的和等于 4 奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和 三 课前预习 三 课前预习 1 设二项式 n x x 1 3 3 的展开式的各项系数的和为P 所有二项式系数的和为S 若272 SP 则 n A A4 B5 C6 D8 2 当 Nn且2 n时 qp n 52221 142 其中Nqp 且50 q 则q的值为 A A0 B1 C2 D与n有关 3 在 62 1 2 x x 的展开式中常数项是60 5 T 中间项是 3 4 160 xT 4 在 10 3 3 3 x x 的展开式中 有理项的项数为第 3 6 9 项 5 求 62 321 xx 展开式里 5 x的系数为 168 6 在 7 1 ax的展开式中 3 x的系数是 2 x的系数与 4 x的系数的等差中项 若实数1 a 那么 a 5 10 1 四 例题分析 四 例题分析 例 1 求 9 23 x 展开式中系数绝对值最大的项 解 9 23 x 展开式的通项为 rrrrrrr r xCxCT 9 9 9 91 3 2 2 3 设第1 r项系数绝对值最大 即 rrrrrr rrrrrr CC CC 101 9 19 9 81 9 19 9 3232 3232 所以 rr rr 3220 21833 43 r且Nr 3 r或4 r 故系数绝对值最大项为 3 4 48988xT 或 4 5 489888xT 例 2 已知 nx x 12 2lglg 展开式中最后三项的系数的和是方程0 7272lg 2 yy的正数解 它的中 间项是 2lg24 10 求x的值 解 由0 7272lg 2 yy得07372 2 yy 1 y 舍去 或73 y 由题意知 7324 12 n n n n n n CCC 6 n 已知条件知 其展开式的中间项为第 4 项 即2000101602 2lg24 2lg lg3 2lg lg333 6 xx xxC 012lglg2lglg2 xx 1lg x或5lg2lg1lg x 10 1 x或5 x 经检验知 它们都符合题意 例 3 证明983 22 n n 能被64整除 Nn 证明 221111 11 111221121 1111 389989 81 898881 89 8888 88 nnnnnn nn nnnnnn nnnn nnnCCn CCCC 1 1 21 1 1 88 n n n n n CC 是整数 983 22 n n 能被 64 整除 五 课后作业 五 课后作业 1 若 4 4 3 3 2 210 4 32 xaxaxaxaax 则 2 31 2 420 aaaaa 的值为 A A1 B 1 C0 D2 2 由 1003 23 x展开所得的x的多项式中 系数为有理数的共有 B A50 项 B17 项 C16 项 D15 项 3 1 2 210 xx的展开式中 10 x的系数为 179 用数字作答 4 9 2 x x a 的展开式中 3 x的系数为 4 9 常数a的值为 4 5 求 11 1999除以8的余数 解 7 1250 8872000 1 200020002000 2000 12000200020002000 12000 1999 10 11 82 11 91 11 10 10 11 92 11 101 11 110 11 1111 Zkkk CCC CCCC 由上面展开式可知 199911除以 8 的余数是 7 6 1 求 7 21 x 展开式中系数最大项 2 求 7 21 x 展开式中系数最大项 解 1 设第1 r项系数最大 则有 11 77 11 77 22 22 rrrr rrrr CC CC 即 8 1 7 7 7 2 6 1 7 2 7 7 rrrr rrrr 即 rr rr 8 2 7 21 3 16 3 13 r且Zrr 7 0 5 r 所以系数最大项为 5555 76 6722xxCT 2 展开式共有 8 项 系数最大项必为正项 即在第一 三 五 七这四项中取得 故系数最大项必在中 间或偏右 故只需比较 5 T和 7 T两项系数大小即可 又因为 4444 75 560 2 xxCT 6666 77 448 2 xxCT 所以系数最大的项是第五项为 4444 75 560 2 xxCT 7 设 1 1 Nnmxxxf nm 若展开式中关于x的一次项系数和为 11 试问nm 为何 值时 含 2 x项的系数取得最小值 解 由题意知11 11 nm CC 即11 nm 又展开式中含 2 x项的系数 22 1 1 1 2 mn CCm mn n 22 1149 1155 24 nnn 当5 n或6 n时 含 2 x项的系数最小 最小值为25 此时6 5 mn 或6 5 nm 8 设 n x x 3 2 展开式中第 2 项的系数与第 4 项的系数的比为 4 45 试求 2 x项的系数 解 第1 r项 2 3 2 1 3 2 3 2 rn rrnr n rrnr nr xC x xCT 45 4 3 2 3 2 333 11 n n n n C C 即 45 4 2 1 9 64 nnn n 0283 2 nn 7 n或4 n 舍负 令2 2 3 2 rn