2012届高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性教案 新课标

1 4 4 函数的奇偶性函数的奇偶性 一 知识点一 知识点 1 1 定义 定义 设 y f x 定义域为 A 如果对于任意 A 都有 称 y f x 为x fxf x 偶函数 设 y f x 定义域为 A 如果对于任意 A 都有 称 y f x 为奇x fxf x 函数 如果函数是奇函数或偶函数 则称函数 y 具有奇偶性 f x f x 2 2 性质 性质 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称 y f x 是偶函数y f x 的图象关于轴对称 y y f x 是奇函数y f x 的图象关于原点对称 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反 奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同 若函数 f x 的定义域关于原点对称 则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和 2 1 2 1 xfxfxfxfxf 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 两函数的定义域D1 D2 D1 D2要关于原点对称 对于F x f g x 若g x 是偶函数 则F x 是偶函数 若g x 是奇函数且f x 是奇函数 则F x 是奇函数 若g x 是奇函数且f x 是偶函数 则F x 是偶函数 3 3 函函数数奇奇偶偶性性的的判判断断 看定义域是否关于原点对称 看f x 与f x 的关系 二二 例例题题选选讲讲 例例1 1 判判断断下下列列函函数数的的奇奇偶偶性性 1 1 2 2 11 xxxf x x xxf 1 1 1 3 3 4 4 22 1 2 x x xf 0 1 0 1 xxx xxx xf 解 解 1 定义域为 对称于原点 又 为奇函数 11 11 xfxxxxxf xf 2 由得定义域为 关于原点不对称 所以没有奇 偶性 0 1 1 x x 1 1 xf 3 由且得定义域为 对称于原点01 2 x022 x 1 00 1 2 得 知是奇函数 x x xf 2 1 1 2 xf x x xf xf 4 定义域为 对称于原点 0 0 当时 所以0 x0 x 1 xfxxxf 当时 所以 故是奇函数0 x0 x 1 xfxxxf xf 例例 2 2 已知 已知 g x g x 为奇函数 为奇函数 且 且 f 3 f 3 求 求 f 3 f 3 x xgxxxf2 1 log 2 2 8 41 解 解 8 41 2 3 310 log 3 3 2 gf 将两式相加 结合 将两式相加 结合 g x g x 为奇函数 可得 为奇函数 可得 3 2 2 3 310 log 3 gf 3 3 8 1 822 8 41 3 33 ff 变式 已知函数变式 已知函数 f x f x 当 当 x 0 x 0 时 时 f x x2 2x 1f x x2 2x 1 若若 f x f x 为为 R R 上的奇函数 能否确定其解析式 请说明理由 上的奇函数 能否确定其解析式 请说明理由 若若 f x f x 为为 R R 上的偶函数 能否确定其解析式 请说明理由 上的偶函数 能否确定其解析式 请说明理由 解 解 可确定可确定 不可确定不可确定 处没有定义 处没有定义 0 12 0 0 0 12 2 2 xxx x xxx xf 0 x 例例 3 3 函数 函数的定义域为的定义域为 D D 且对于任意的 且对于任意的 都有 都有 xf 0 xxDxx 21 1 1 求 求的值 的值 2 2 判断 判断的奇偶性并证明 的奇偶性并证明 2121 xfxfxxf 1 f xf 3 3 如果 如果 且 且在在上是增函数 求上是增函数 求的取的取1 4 f3 62 13 xfxf xf 0 x 值范围 值范围 解 解 1 1 令 令可得 可得 1 21 xx0 1 f 2 2 令 令可得 可得 再令 再令可得 可得 1 21 xx0 1 fxxx 21 1 xfxf 所以 所以 为偶函数为偶函数 xf 3 3 2 4 4 44 fff 3 4 16 416 fff 原不等式可化为 原不等式可化为 64 62 13 fxxf 3 又又在在上是增函数上是增函数 xf 0 64 62 13 0 xx 解得 解得 或或或或 3 1 3 7 x3 3 1 x53 x 变式一 定义在实数集上的函数变式一 定义在实数集上的函数 f x f x 对任意 对任意 x x y Ry R 有 有 f x y f x y 2f x f y f x y f x y 2f x f y 且且 f 0 0f 0 0 求证 求证 f 0 1f 0 1 求证 求证 y f x y f x 是偶函数 是偶函数 证 证 令 x y 0 则 f 0 f 0 2f2 0 f 0 0 f 0 1 令 x 0 则 f y f y 2f 0 f y f y f y y f x 是偶函数 变式二 设函数变式二 设函数是奇函数 且当是奇函数 且当时是增函数 若时是增函数 若 f 1 0f 1 0 求 求 0 xxfy 0 x 不等式不等式的解集 的解集 0 2 1 xxf 解解 由可得 0 2 1 xxf1 2 1 1 2 1 0 xxxx或 或 由前一不等式可解得 0 4 171 4 171 2 1 xx或 或 由后一不等式可解得 x 故原不等式的解集为 0 4 171 4 171 2 1 xxx或 或 例例 4 4 已知函数 已知函数是奇函数 是奇函数 1 1 求 求 m m 的值 的值 2 2 当 当时 时 0 pm x p xxf 2 1 x 求求的最大值与最小值 的最大值与最小值 xf 解 解 1 因为是奇函数 所以 即 xf0 xfxf 得 m 0 0 m x p xm x p x 2 因为 当 p0 时 知在上是减函数 在上是增函数 xf p 0 p A 当时 在上是增函数 10 p xf 2 1 pfxf p fxf 1 1 2 2 2 minmax 4 B 当时 是在上的一个极小值点 且21 ppx xf 2 1 2 1 ff ppfxfpfxf2 1 1 minmax C 当时 是在上的一个极小值点