2012届高考数学一轮复习 2.1 映射与函数的概念教案 新课标

1 第第 1 1 讲讲 映射与函数的概念映射与函数的概念 一 映射一 映射 映射的概念 设 是两个集合 如果按照某种对应法则 对于集合 中的任f 何一个元素 在集合 中都有惟一的元素与它对应 这样的对应关系叫做从集合 到 集合 的映射 记作 BAf 象和原象 给定一个集合 到 的映射 且 如果元素和元素对Aa Bb ab 应 那么 我们把元素叫做元素的象 元素叫做元素的原象 baab 二 函数二 函数 传统定义 如果在某变化过程中有两个变量 并且对于在某个范围内的每一xyx 个确定的值 按照某个对应法则 都有惟一确定的值和它对应 那么就是fyy 的函数 记为 x xfy 近代定义 函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射 函数的三要素 函数是由定义域 值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的 特殊的映射 函数的表示法 解析法 列表法 图象法 理解好函数概念还必须注意以下几点 理解好函数概念还必须注意以下几点 函数是一种特殊的映射 集合 都是非空的数的集合 确定函数的映射是从定义域 到值域 上的映射 允许 中的不同元素在 中有相同的 象 但不允许 中的元素在 中没有原象 两个函数只有当定义域 值域 对应法则都分别相同时 这两个函数才相同 函数的定义域 值域 对应法则统称为函数的三要素 其中对应法则是核心 是fff 使对应得以实现的方法和途径 是联系与的纽带 定义域是自变量的取值范围 xyx 是函数的一个重要组成部分 同一个函数的对应法则 由于定义域不相同 函数的图像 与性质一般也不相同 函数的图像可以是一条或几条平滑的曲线也可以是一些离散的点 一些线段等 的含义与的含义不同 表示自变量时所得的函数值 它是一个常 af xf afax 量 是的函数 通常它是一个变量 xfx 定义法 用数学概念的基本定义解决相关问题的方法 称之为定义法 利用定义解题的关键是把 握住定义的本质特征 例 1 已知函数f x 的定义域为 1 5 在同一直角坐标系下 函数y f x 的图象与直 线x 1 的交点个数为 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 0 个或 1 个 2 解析 f x 的定义域为 1 5 而 1 1 5 点 1 f 1 在函数y f x 的图象上 而点 1 f 1 又在直线x 1 上 直线x 1 与函数y f x 的图象必有一个交点 1 f 1 根据函数的定义知 函数是一个特殊的映射 即对于定义域 1 5 中的任何一个元素 在 其值域中有唯一确定的元素f 1 与之对应 故直线x 1 与y f x 的图象有且只有一个交 点 选 B 三 典型例题三 典型例题 题型一题型一 映射与函数的概念映射与函数的概念 例例 1 1 判断下列各组中两个函数是否为同一函数 判断下列各组中两个函数是否为同一函数 解析 1 函数的定义域 对应法则均相同 所以是同一函数 2 y x 1 但x 1 故两函数定义域不同 所以它们不是同一函数 3 函数f x 的定义域为 x x 0 而g x 的定义域为 x x 1 或x 0 它们的定义域不同 所以它们不是同一函数 4 去掉绝对值号可知f x 与g x 是同一函数 总结评述 总结评述 当一个函数的对应法则和定义域确定后 其值域随之得到确定 故函数的 三要素 定义域 值域 对应法则 可简化为两要素 定义域 对应法则 所以两个函数当且 仅当定义域和对应法则相同时为同一函数 练习 下列各组函数中 表示相同函数的是 D xxgxxfAln2 ln 2 xxgaaaxfB x a 1 0 log 1 1 1 1 2 xxxgxxfC 33 1 0 logxxgaaxfD x a a 例例 2 2 下列对应是否为从 A 到 B 的映射 能否构成函数 不 不 1 1 1 x yxfRBRA 是 是 a bafNn n bbBNaaA 1 1 2 1 2 是 不 作矩形的外接圆内的圆平面内的矩形平面 3fBA 3 4 B R f x 不 不 0 xxAxy 2 总结评述 欲判断对应总结评述 欲判断对应f f A A B B是否是从是否是从A A到到B B的映射 必须做两点工作 的映射 必须做两点工作 明确集合明确集合 A A B B中的元素 中的元素 根据对应法则判断根据对应法则判断A A中的每个元素是否在中的每个元素是否在B B中能找到惟一确定的对应元中能找到惟一确定的对应元 素 素 例例 3 3 0606 年浙江卷 年浙江卷 函数 f 1 2 3 1 2 3 满足 f f x f x 这样的函数个数 D A 1 B 4 C 8 D 10 练习练习 都有 MxNMfNM 使对任意的映射设集合 6 5 4 3 2 1 0 1 x f x xf x 是奇数 这样的映射 f 共有 个 A 22 B 15 C 50 D 27 解 分步为 1 0 1 找象 当 x 为偶数时 f x 必为奇数 当 x 为奇数时 f x 可奇可偶 所以当 x 0 时 f x 只取 3 5 中一个 当 x 1 或 1 f x 可取 2 3 4 5 6 中任意一个 由乘法原理知 这个的映射的个数共有 5 5 2 50 题型二题型二 求定义域求定义域 例例 4 4 1 求下列函数的定义域 的定义域 xx x xxxf 0 2 1 65 2 已知函数的定义域是 求函数的定义域 f x a b 31 31 F xfxfx 3 已知函数 f 2x 的定义域是 1 1 求 f log2x 的定义域 解 由函数解析式有意义 得 0 01 065 2 xx x xx 32 101 123 0 xx xxxx x 或 或或 故函数的定义域是 3 2 1 1 0 2 由 11 31 33 3111 33 ab x axb axbab x 函数的定义域不可能为空集 必有 即 11 33 ab 2ba 此时 函数的定义域为 11 33 ab x 3 1 3 1 ba 2 y f 2x 的定义域是 1 1 即 1 x 1 2x 2 2 1 函数 y f log2x 中 log2x 2 即 log2 log2x log24 x 4 2 1 22 故函数 f log2x 的定义域为 4 2 4 练习 练习 题型三题型三 实际问题中函数定义域的确定实际问题中函数定义域的确定 5 四 作业 四 作业 1 求函数 f x 的定义域 2 1 lg x xx 解解 由 11 0 01 0 2 x x x xx 得得 1 x 0 函数 f x 的定义域为 1 0 2 1 lg x xx 2 已知向量满足 且 cba 0 1 1 1 0 ca ca 0 cb 求向量 若映射 c cyaxyxyxf 求映射下的原象 f 2 1 若将作点的坐标 问是否存在直线 使得直线 上任一点在映射的作用下 yxllf 仍在直线 上 若存在 求出 的方程 若不存在 请说明理由 ll 解 设则 yxc 0 2 0 22 x yx yx