2012届高三数学一轮复习 6.5 合情推理与演绎推理课时训练解析 新人教A版

专心 爱心 用心 1 第六章第六章 第五节第五节 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 时间 60 分钟 满分 80 分 一 选择题 共 6 个小题 每小题 5 分 满分 30 分 1 下面几种推理过程是演绎推理的是 A 两条直线平行 同旁内角互补 由此若 A B是两条平行直线被第三条直线所截 得的同旁内角 则 A B 180 B 某校高三 1 班有 55 人 高三 2 班有 54 人 高三 3 班有 52 人 由此得出高三所 有班人数超过 50 人 C 由平面三角形的性质 推测空间四面体的性质 D 在数列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 由此归纳出 an 的通项公式 1 2 1 an 1 解析 两条直线平行 同旁内角互补 大前提 A B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角 小前提 A B 180 结论 故 A 是演绎推理 而 B D 是归纳推理 C 是类比推理 答案 A 2 观察等式 sin230 cos260 sin30 cos60 3 4 sin220 cos250 sin20 cos50 3 4 sin215 cos245 sin15 cos45 3 4 由此得出以下推广命题不正确的是 A sin2 cos2 sin cos 3 4 B sin2 30 cos2 sin 30 cos 3 4 C sin2 15 cos2 15 sin 15 cos 15 3 4 D sin2 cos2 30 sin cos 30 3 4 解析 由已知 30 时 命题 A 才成立 答案 A 3 下面给出了关于复数的四种类比推理 复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则 专心 爱心 用心 2 由向量a的性质 a 2 a2类比得到复数z的性质 z 2 z2 方程ax2 bx c 0 a b c R 有两个不同实数根的条件是b2 4ac 0 可以类比得 到 方程az2 bz c 0 a b c C 有两个不同复数根的条件是b2 4ac 0 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 其中类比得到的结论错误的是 A B C D 解析 选项 中z i 则 z 2 i2 选项 若a b c为实数 则方程有实根 答案 C 4 如图所示 面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为 ai i 1 2 3 4 此四边形内任一点P到第i条边的距离记为 hi i 1 2 3 4 若 k 则 ihi 类比以上性 a1 1 a2 2 a3 3 a4 4 4 i 1 2S k 质 体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si i 1 2 3 4 此三棱锥内任一点Q到第i 个面的距离记为Hi i 1 2 3 4 若 K 则 iHi S1 1 S2 2 S3 3 S4 4 4 i 1 A B 4V K 3V K C D 2V K V K 解析 平面中的面积与空间中的体积类比 平面二维与空间三维类比 答案 B 5 如图 椭圆中心在坐标原点 F为左焦点 当 时 其离FB AB 心率为 此类椭圆被称为 黄金椭圆 类比 黄金椭圆 可推算出 5 1 2 黄金双曲线 的离心率e等于 A B 5 1 2 5 1 2 C 1 D 1 55 解析 B 0 b F c 0 A a 0 在 黄金双曲线 中 FB AB 0 FB AB b2 ac 而b2 c2 a2 c2 a2 ac 在等号两边同除以a2得e 5 1 2 专心 爱心 用心 3 答案 A 6 一同学在电脑中打出如下若干个圆 若依此规律继续下去 得到一系列的 圆 则在前 2 012 个圆中共有 的个数是 A 61 B 62 C 63 D 64 解析 作如下分类 第n个 前共有小球的个数为 n n 3 2 由题意知 2012 n n 3 2 n 61 答案 A 二 填空题 共 3 小题 每小题 5 分 满分 15 分 7 设等差数列 an 的前n项和为Sn 则S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12成等差数列 类 比以上结论有 设等比数列 bn 的前n项积为Tn 则T4 成等比 T16 T12 数列 解析 根据类比原理知该两空顺次应填 T8 T4 T12 T8 答案 T8 T4 T12 T8 8 2011 泉州模拟 给出下列不等式 23 53 22 5 2 52 24 54 23 5 2 53 2 5 22 5 2 52 请将上述不等式在 5 2 5 2 1 2 1 2 左右两端仍为两项和的情况下加以推广 使上述不等式成为推广不等式的特例 则推广的不 等式为 解析 由 23 53 22 5 2 52 24 54 23 5 2 53 2 5 22 5 2 5 5 2 5 2 1 2 1 2 可得推广形式的最基本的印象 应具有 的形式 再分析底数间的关系 可得较细致的印象 应具有 a b a b a b 的形 式 再分析指数间的关系 可得准确的推广形式 am n bm n ambn anbm a b 0 a b m n 0 答案 am n bm n ambn anbm a b 0 a b m n 0 9 2011 南宁模拟 已知结论 在正三角形ABC中 若D是边BC的中点 G是三角形 专心 爱心 用心 4 ABC的重心 则 2 若把该结论推广到空间中 则有如下结论 在棱长都相等的四面体 AG GD ABCD中 若 BCD的中心为M 四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等 则 AO OM 解析 设四面体内部一点O到四面体各面都相等的距离为d 则由题意知d OM 设该四 面体各个面的面积均为S 则由等体积法得 4 S OM S AM 4OM AM AO OM AM 从而 3 1 3 1 3 AO OM 3 1 答案 3 三 解答题 10 已知 sin230 sin290 sin2150 3 2 sin25 sin265 sin2125 3 2 通过观察上述两等式的规律 请你写出一般性的命题 并给出证明 解 一般性的命题为 sin2 60 sin2 sin2 60 3 2 证明如下 左边 1 cos 2 120 2 1 cos2 2 1 cos 2 120 2 cos 2 120 cos2 cos 2 120 3 2 1 2 右边 结论正确 3 2 11 已知椭圆具有性质 若M N是椭圆C上关于原点对称的两个点 点P是椭圆上任 意一点 当直线PM PN的斜率都存在 并记为kPM kPN时 那么kPM与kPN之积是与点P的位 置无关的定值 试对双曲线 1 写出具有类似特性的性质 并加以证明 x2 a2 y2 b2 解 类似的性质为 若M N是双曲线 1 上关于原点对称的两个点 点P是双曲 x2 a2 y2 b2 线上任意一点 当直线PM PN的斜率都存在 并记为kPM kPN时 那么kPM与kPN之积是与点 P的位置无关的定值 证明 设点M P的坐标分别为 m n x y 则N m n 因为点M m n 在已知双曲线上 所以n2 m2 b2 同理y2 x2 b2 b2 a2 b2 a2 专心 爱心 用心 5 则kPM kPN 定值 y n x m y n x m y2 n2 x2 m2 b2 a2 x2 m2 x2 m2 b2 a2 12 设 an 是集合 2t 2s 0 s t 且s t Z 中所有的数从小到大排列成的数列 即 a1 3 a2 5 a3 6 a4 9 a5 10 a6 12 将数列 an 各项按照上小下大 左小右 大的原则写成如下的三角形数表 3 5 6 9 10 12 1 写出这个三角形数表的第四行 第五行 2 求a100 解 用记号 s t 表示s t的取值 那么数列 an 中的 项对应的 s t 构成一个三角形表 第一行右边的数是 1 第二行右边的数是 2 第三行右边的数是 3 于是第四行右边的数便是 4 第五行右 边的数是 5 而左边的那个数总是从 0