平面向量教案

第二章第二章 平面向量平面向量 2 1 12 1 1 平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念 2 1 22 1 2 向量的几何表示向量的几何表示 教学目标 教学目标 1 了解向量的实际背景 理解平面向量的概念和向量的几何表示 掌握向量 的模 零向量 单位向量 平行向量 相等向量 共线向量等概念 并会 区分平行向量 相等向量和共线向量 2 通过对向量的学习 使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别 3 通过学生对向量与数量的识别能力的训练 培养学生认识客观事物的数学 本质的能力 教学重点 教学重点 理解并掌握向量 零向量 单位向量 相等向量 共线向量的概念 会表示向量 教学难点 教学难点 平行向量 相等向量和共线向量的区别和联系 教学思路 教学思路 一 情景设置 如图 老鼠由 A 向西北逃窜 猫在 B 处向东追去 设问 猫能否追到老鼠 画图 结论 猫的速度再快也没用 因为方向错了 分析 老鼠逃窜的路线 AC 猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向 有长短的量 引言 请同学指出哪些量既有大小又有方向 哪些量只有大小没有方向 二 新课学习 A B C D 一 向量的概念 我们把既有大小又有方向的量叫向量 二 请同学阅读课本后回答 1 数量与向量有何区别 2 如何表示向量 3 有向线段和线段有何区别和联系 分别可以表示向量的什么 4 长度为零的向量叫什么向量 长度为 1 的向量叫什么向量 5 满足什么条件的两个向量是相等向量 单位向量是相等向量吗 6 有一组向量 它们的方向相同或相反 这组向量有什么关系 7 如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O 这是它们是不是平行向 量 这时各向量的终点之间有什么关系 三 探究学习 1 数量与向量的区别 数量只有大小 是一个代数量 可以进行代数运算 比较大小 向量有方向 大小 双重性 不能比较大小 2 向量的表示方法 用有向线段表示 用字母 黑体 印刷用 等表示 用有向线段的起点与终点字母 AB 向量的大小 长度称为向量的模 记作 ABAB 3 有向线段 具有方向的线段就叫做有向线段 三个要素 起点 方向 起点 方向 A 起点 B 终点 a 长度长度 向量与有向线段的区别 1 向量只有大小和方向两个要素 与起点无关 只要大小和方向相同 则这两个向量就是相同的向量 2 有向线段有起点 大小和方向三个要素 起点不同 尽管大小和方向 相同 也是不同的有向线段 4 零向量 单位向量概念 长度为 0 的向量叫零向量 记作0 0 0 0的方向是任意的 注意0 0与 0 的含义与书写区别 长度为 1 个单位长度的向量 叫单位向量 说明 零向量 单位向量的定义都只是限制了大小 5 平行向量定义 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我们规定0 0与任一向量平行 说明 1 综合 才是平行向量的完整定义 2 向量 平行 记作 6 巩固练习 P77 练习 1 2 3 习题 A 1 2 1 32 1 3 相等向量和共线向量相等向量和共线向量 1 相等向量定义 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 说明 1 向量 与 相等 记作 2 零向量与零向量相等 3 任意两个相等的非零向量 都可用同一条有向线段来表示 并且与有向 线段的起点无关 2 共线向量与平行向量关系 平行向量就是共线向量 这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上 与有向线段的起点无关 说明 1 平行向量可以在同一直线上 要区别于两平行线的位置关系 2 共线向量可以相互平行 要区别于在同一直线上的线段的位置关系 四 理解和巩固 例 1 书本 76 页例 2 例 2 判断 1 平行向量是否一定方向相同 不一定 2 不相等的向量是否一定不平行 不一定 3 与零向量相等的向量必定是什么向量 零向量 4 与任意向量都平行的向量是什么向量 零向量 5 若两个向量在同一直线上 则这两个向量一定是什么向量 平行向量 6 两个非零向量相等的当且仅当什么 长度相等且方向相同 7 共线向量一定在同一直线上吗 不一定 例 3 如图 设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心 分别写出图中与向量 OA 相等的向量 OBOC 变式一 与向量长度相等的向量有多少个 11 个 变式二 是否存在与向量长度相等 方向相反的向量 存在 变式三 与向量共线的向量有哪些 FEDOCB 课堂练习课堂练习 1 判断下列命题是否正确 若不正确 请简述理由 向量与是共线向量 则A B C D四点必在一直线上 ABCD 单位向量都相等 任一向量与它的相反向量不相等 四边形ABCD是平行四边形当且仅当 ABDC 一个向量方向不确定当且仅当模为 0 共线的向量 若起点不同 则终点一定不同 2 书本 77 页练习 三 课后作业三 课后作业 书本 77 页习题 2 1 第 2 3 5 题 第第 2 2 课时课时 2 2 1 2 2 1 向量的加法运算及其几何意义向量的加法运算及其几何意义 教学目标 教学目标 1 掌握向量的加法运算 并理解其几何意义 2 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量 培 养数形结合解决问题的能力 3 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比 使学生掌握向量加法运算 的交换律和结合律 并会用它们进行向量计算 渗透类比的数学方法 教学重点 教学重点 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量 教学难点 教学难点 理解向量加法的定义 教学思路 教学思路 一 设置情景 1 复习 向量的定义以及有关概念 强调 向量是既有大小又有方向的量 长度相等 方向相同的向量相等 因此 我们研究的向量是与起点无关的自由向量 即任何向量可以在不改变 它的方向和大小的前提下 移到任何位置 2 情景设置 1 某人从 A 到 B 再从 B 按原方向到 C 则两次的位移和 ACBCAB 2 若上题改为从 A 到 B 再从 B 按反方向到 C 则两次的位移和 A B CC A B O A B a a a b b b ACBCAB 3 某车从 A 到 B 再从 B 改变方向到 C 则两次的位移和 ACBCAB 4 船速为 水速为 则两速度和 ABBCACBCAB 二 探索研究 向量的加法 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 三角形法则 首尾相接 首尾连首尾相接 首尾连 如图 已知向量 a a 在平面内任取一点 作 a a 则向量AABBC 叫做 a a 与 的和 记作 a a 即 a a 规定 a a 0 0 0 0 ACACBCAB a a 探究 1 两相向量的和仍是一个向量 2 当向量 与 不共线时 的方向不同向 且 则 的方向与 相同 且ababa 若 0 时 与 方向相同 0 a b a b cos a b a b cos a b a b cos 若 0 a b a b cos a b cos a b cos a b a b cos a b a b cos a b cos a b cos 3 分配律 a b c a c b c 在平面内取一点O 作 a b c a b 即 在OAABOCOB c方向上的投影等于a b在c方向上的投影和 即 a b cos a cos 1 b cos 2 c a b cos c a cos 1 c b cos 2 c a b c a c b 即 a b c a c b c 说明 1 一般地 2 0 3 有如下常用性质 三 讲解范例 例 1 已知a b都是非零向量 且a 3b与 7a 5b垂直 a 4b与 7a 2b垂直 求a与b的夹角 解 由 a 3b 7a 5b 0 7a2 16a b 15b2 0 a 4b 7a 2b 0 7a2 30a b 8b2 0 两式相减 2a b b2 代入 或 得 a2 b2 设a b的夹角为 则 cos 60 2 1 2 2 2 b b ba ba 例 2 求证 平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 解 如图 平行四边形 ABCD 中 DCAB BCAD ACADAB 2 ACADABADABADAB 2 22 2 而 BDADAB 2 BDADABADABADAB 2 22 2 2 2 2 ACBD 22 2ADAB 2222 ADDCBCAB 例 3 四边形ABCD中 且ABBCCDDA 试问四边形ABCD是什么图形 分析 四边形的形状由边角关系确定 关键是由题设条件演变 推算该四 边形的边角量 综上所述 四边形ABCD是矩形 评述 1 在四边形中 是顺次首尾相接向量 则其和ABBCCDDA 向量是零向量 即 0 应注意这一隐含条件应用 2 由已知条件产生数量积的关键是构造数量积 因为数量积的定义式中 含有边 角两种关系 四 课堂练习 1 下列叙述不正确的是 A 向量的数量积满足交换律 B 向量的数量积满足分配律 C 向量的数量积满足结合律 D a b是一个实数 2 已知 a 6 b 4 a与b的夹角为 则 a 2b a 3b 等于 A 72 B 72 C 36 D 36 3 a 3 b 4 向量a b与a b的位置关系为 4 3 4 3 A 平行 B 垂直 C 夹角为 D 不平行也不垂直 3 4 已知 a 3 b 4 且a与b的夹角为 150 则 a b 5 已知 a 2 b 5 a b 3 则 a b a b 6 设 a 3 b 5 且a b与a b垂直 则 五 课后作业 三 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角三 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 教学目的 要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 掌握向量垂直的坐标表示的充要条件 及平面内两点间的距离公式 能用所学知识解决有关综合问题 教学重点 平面向量数量积的坐标表示 教学难点 平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程 一 复习引入 1 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 与 作 则OAOB 叫 与 的夹角 2 平面向量数量积 内积 的定义 已知两个非零向量 与 它们的夹角 是 则数量 a b cos 叫 与 的数量积 记作a b 即有a b a b cos 并规定0与任何向量的数量积为 0 3 向量的数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影 b cos 的乘积 4 两个向量的数量积的性质 设a b为两个非零向量 e是与b同向的单位向量 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特 别的a a a 2或aaa C 4 cos 5 a b a b ba ba 5 平面向量数量积的运算律 交换律 a b b a 数乘结合律 a b a b a b 分配律 a b c a c b c 二 讲解新课 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 试用 和 的坐标表示 11 yxa 22 yxb abba 设 是 轴上的单位向量 是 轴上的单位向量 那么 ixjyjyixa 11 jyixb 22 所以 2211 jyixjyixba 2 211221 2 21 jyyjiyxjiyxixx 又 所以1 ii1 jj0 ijjiba 2121 yyxx 这就是说 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即ba 2121 yyxx 2 平面内两点间的距离公式 四 设 则或 yxa 222 yxa 22 yxa 2 如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 a 11 yx 22 yx 那么 平面内两点间的距离公式 2 21 2 21 yyxxa 五 向量垂直的判定 设 则 11 yxa 22 yxb ba 0 2121 yyxx 六 两向量夹角的余弦 0 cos 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx ba ba 七 讲解范例 八 设a 5 7 b 6 4 求a b及a b间的夹角 精确 到 1o 例 2 已知A 1 2 B 2 3 C 2 5 试判断 ABC的形状 并给出证 明 例 3 已知a 3 1 b 1 2 求满足x a 9 与x b 4 的向量x 例 4 已知a b 则a与b的夹角是多少 333 分析 为求a与b夹角 需先求a b及 a b 再结合夹角 的范围 确定其值 评述 已知三角形函数值求角时 应注重角的范围的确定 例 5 如图 以原点和A 5 2 为顶点作等腰直角 OAB 使 B 90 求点B 和向量的坐标 AB 例 6 在 ABC中 2 3 1 k 且 ABC的一个内角为直角 ABAC 求k值 九 课后作业 复习课 一 教学目标一 教学目标 1 理解向量 零向量 向量的模 单位向量 平行向量 反向量 相等向量 两向 量的夹角等概念 2 了解平面向量基本定理 3 向量的加法的平行四边形法则 共起点 和三角形法则 首尾相接 4 了解向量形式的三角形不等式 试问 ababab 取等号的条件是什么 和向量形式的平行四边形定理 2 a 2 b 2 ab 2 ab 2 5 了解实数与向量的乘法 即数乘的意义 6 向量的坐标概念和坐标表示法 7 向量的坐标运算 加 减 实数和向量的乘法 数量积 8 数量积 点乘或内积 的概念 cos x x y y 注意区别abab 1212 实数与向量的乘法 向量与向量的乘法 二 知识与方法二 知识与方法 向量知识 向量观点在数学 物理等学科的很多分支有着广泛的应用 而 它具有代数形式和几何形式的 双重身份 能融数形于一体 能与中学数学教 学内容的许多主干知识综合 形成知识交汇点 所以高考中应引起足够的重视 数量积的主要应用 求模长 求夹角 判垂直 三 典型例题三 典型例题 例 1 对于任意非零向量 与 求证 aba babab 证明 1 两个非零向量 与 不共线时 的方向与 的方向都不同 ababab 并且 ababab 3 两个非零向量 与 共线时 与 同向 则 的方向与 相同abababab 且 与 异向时 则 的方向与模较大的向量方abababab 向相同 设 则 同理可证另一种情况也成立 ababab 例 2 已知 O 为 ABC 内部一点 AOB 150 BOC 90