“多次相遇问题”解题技巧83411

精品文档 1欢迎下载 多次相遇问题多次相遇问题 解题技巧解题技巧 多次相遇 问题有直线型和环型两种模型 相对来讲 直线型更加复杂 环型只是 单纯的周期问题 一 直线型一 直线型 直线型多次相遇问题宏观上分 两岸型 和 单岸型 两种 两岸型 是指甲 乙 两人从路的两端同时出发相向而行 单岸型 是指甲 乙两人从路的一端同时出发同向 而行 一 两岸型 一 两岸型 两岸型甲 乙两人相遇分两种情况 可以是迎面碰头相遇 也可以是背面追及相遇 题意如果没有明确说明是哪种相遇 对两种情况均应做出思考 1 1 迎面碰头相遇 迎面碰头相遇 如下图 甲 乙两人从 A B 两地同时相向而行 第一次迎面相遇在 a 处 为清楚表 示两人走的路程 将两人的路线分开画出 则共走了 1 个全程 到达对岸 b 后两人转向第 二次迎面相遇在 c 处 共走了 3 个全程 则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一 次相遇的 2 倍 之后的每次相遇都多走了 2 个全程 所以第三次相遇共走了 5 个全程 依 次类推得出 第第 n n 次相遇两人走的路程和为 次相遇两人走的路程和为 2n 12n 1 S S S S 为全程 为全程 而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2 倍 分开看每个人都是 2 倍关系 经常可 精品文档 2欢迎下载 以用这个 2 倍关系解题 即对于甲和乙而言从 a 到 c 走过的路程是从起点到 a 的 2 倍 相遇次数 全程个数 再走全程数 1 1 1 2 3 2 3 5 2 4 7 2 n 2n 1 2 2 2 背面追及相遇 背面追及相遇 与迎面相遇类似 背面相遇同样是甲 乙两人从 A B 两地同时出发 如下图 此时可 假设全程为 4 份 甲 1 分钟走 1 份 乙 1 分钟走 5 份 则第一次背面追及相遇在 a 处 再 经过 1 分钟 两人在 b 处迎面相遇 到第 3 分钟 甲走 3 份 乙走 15 份 两人在 c 处相遇 我们可以观察 第一次背面相遇时 两人的路程差是 1 个全程 第二次背面相遇时 两人 的路程差为 3 个全程 同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2 倍 单看每个人多走 的路程也是第一次的 2 倍 依次类推 得 第第 n n 次背面追及相遇两人的路程差为 次背面追及相遇两人的路程差为 2n 12n 1 S S 精品文档 3欢迎下载 二 单岸型 二 单岸型 单岸型是两人同时从一端出发 与两岸型相似 单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及 相遇两种情况 1 1 迎面碰头相遇 迎面碰头相遇 如下图 假设甲 乙两人同时从 A 端出发 假设全程为 3 份 甲每分钟走 2 份 乙每 分钟走 4 份 则甲乙第一次迎面相遇在 a 处 此时甲走了 2 份 乙走了 4 份 再过 1 分钟 甲共走了 4 份 乙共走了 8 份 在 b 处迎面相遇 则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同 依次类推 可得出 当第当第 n n 次碰头相遇时 两人的路程和为次碰头相遇时 两人的路程和为 2ns2ns 2 2 背面追及相遇 背面追及相遇 与迎面相遇相似 假设全程为 3 份 甲每分钟走 1 份 乙每分钟走 7 份 则第一次背 面相遇在 a 处 2 分钟后甲走了 2 份 乙走了 14 份 两人在 b 处相遇 第一次相遇 两人 走的路程差为 2S 第二次相遇两人走的路程差为 4S 依次类推 可以得出 当第当第 n n 次追及次追及 相遇时 两人的路程差为相遇时 两人的路程差为 2ns2ns 精品文档 4欢迎下载 直线型直线型 总结 熟记 总结 熟记 两岸型 两岸型 第第 n n 次迎面碰头相遇 两人的路程和是 次迎面碰头相遇 两人的路程和是 2n 12n 1 S S 第第 n n 次背面追及相遇 两人的路程差是 次背面追及相遇 两人的路程差是 2n 12n 1 S S 单岸型 单岸型 第第 n n 次迎面碰头相遇 两人的路程和为次迎面碰头相遇 两人的路程和为 2ns2ns 第第 n n 次背面追及相遇 两人的路程差为次背面追及相遇 两人的路程差为 2ns2ns 下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型 模型一模型一 根据 根据 2 2 倍关系求倍关系求 ABAB 两地的距离 两地的距离 例 1 甲 乙两人在 A B 两地间往返散步 甲从 A 乙从 B 同时出发 第一次相遇点距 B 60 米 当乙从 A 处返回时走了 10 米第二次与甲相遇 A B 相距多少米 A 150 B 170 C 180 D 200 答案及解析答案及解析 B B 如下图 第一次相遇在 a 处 第二次相遇在 b 处 aB 的距离为 60 Ab 的距离为 10 以乙为研究对象 根据 2 倍关系 乙从 a 到 A 再到 b 共走了第一次相遇的 2 倍 即为 60 2 120 米 Ab 为 10 则 Aa 的距离为 120 10 110 米 则 AB 距离为 110 60 170 米 精品文档 5欢迎下载 模型二模型二 告诉两人的速度和给定时间 求相遇次数 告诉两人的速度和给定时间 求相遇次数 例 2 甲 乙两人在长 30 米的泳池内游泳 甲每分钟游 37 5 米 乙每分钟游 52 5 米 两人同时分别从泳池的两端出发 触壁后原路返回 如是往返 如果不计转向的时间 则 从出发开始计算的 1 分 50 秒内两人共相遇多少次 A 2 B 3 C 4 D 5 答案及解析答案及解析 B B 题目没说是迎面还是背面 所以两种相遇的次数都应该计算 分开讨论 如是是迎面相遇 则走的全程的个数为个 根据迎面相 遇 n 次 走的全程为 2n 1 5 求得 n 3 如果是背面相遇 则走的全程数为 故在 1 分 50 秒内 不能背面相遇 所以共相遇 3 次 模型三模型三 告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离 求 告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离 求 ABAB 两地的距离 两地的距离 例 3 甲 乙两车分别从 A B 两地同时出发 在 A B 间不断往返行驶 甲车每小时行 20 千米 乙车每小时行 50 千米 已知两车第 10 次与第 18 次迎面相遇的地点相距 60 千 米 则 A B 相距多少千米 精品文档 6欢迎下载 A 95 B 100 C 105 D 110 答案及解析答案及解析 C C 走相同时间内 甲乙走的路程比为 20 50 2 5 将全程看成 7 份 则 第一次相遇走 1 个全程时 甲走 2 份 乙走 5 份 以甲为研究对象 也可以以乙 第 10 次迎面相遇走的全程数为 2 10 1 19 个 甲走 1 个全程走 2 份 则走 19 个全程可走 19 2 38 份 7 份是一个全程 则 38 份共有 38 7 5 3 份 当商是偶数时从甲的一端数 0 也是偶数 当商是奇数时从乙的一端数 比如第 1 个全程在乙的一端 第 2 个全程在甲 的一端 从乙端数 3 份 同理当第 18 次相遇 甲走的份数为 2 18 1 2 70 份 共有 70 7 10 个全程 10 为偶数在甲的端点 如下图 则第 10 次相遇与第 18 次相遇共有 4 份为 60 千米 所以 AB 长为千米 点评 点评 对于给定任意两次的距离 主要是根据速度转化为全程的份数 找一个为研究对 象 看在相遇次数内走的全程数 从而转化为份数 然后根据一个全程的份数 将研究对 象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数 注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端 数 例 4 甲 乙两车分别从 A B 两地同时出发 在 A B 间不断往返行驶 甲车每小时行 45 千米 乙车每小时行 36 千米 已知两车第 2 次与第 3 次迎面相遇的地点相距 40 千米 则 A B 相距多少千米 A 90 B 180 C 270 D 110 答案及解析答案及解析 A A 法一 法一 同上题 相同时间 甲 乙路程比为 45 36 5 4 则将全程分 成 9 份 则一个全程时甲走 5 份 乙走 4 份 以甲为研究对象 第 2 次相遇 走的全程数 精品文档 7欢迎下载 为 2 2 1 3 个 则甲走的份数为 3 5 15 份 一个全程为 9 份 则第 2 次相遇甲走的份数 转化为全程的个数为 15 9 1 6 份 则从乙端数 6 份 第 3 次相遇走的份数为 2 3 1 5 25 份 转化为全程的个数为 25 9 2 7 则从甲端数 7 份 如下图 由图第 2 次和第 3 次相遇之间共有 4 份为 40 千米 则 AB 相距 90 千米 法二 法二 在此引入 沙漏模型 利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度 将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比 则以时间为刻度 画出两人到达对岸的路 线图 两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点 s t 图中的路线因像古代记时间的 沙漏故称为 沙漏模型 本题中 甲 乙走到端点用的时间比为 36 45 4 5 如下图 根据路线图看出甲乙第 2 次相遇和第 3 次相遇的交点 E 和 O 根据三角形相似 可得 CE EG 3 6 1 2 则求得第 2 次相遇距 A 地的比例为 S 3 同理 DO ON 7 2 则第 3 次相遇 距 A 地的比例为 7S 9 则两次相遇比例为为 40 千米 则 S 90 千米 点评 点评 考生如果能掌握 沙漏 模型 则会直观快速的提高解题速度 用交点判断是迎 面相遇还是背面相遇的技巧 看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸 同一岸则说明是 背面相遇 不同岸则说明是迎面相遇 用时注意 一般题干涉及到的相遇次数较少时可画 相遇次数太多 则会花费大量时 精品文档 8欢迎下载 间 不利于提高速度 画时的单位刻度要看时间比 如果时间比中的数据较大可把刻度画 大 模型四模型四 告诉两人的速度 相遇次数较少时 利用 告诉两人的速度 相遇次数较少时 利用 s ts t 图形成图形成 沙漏沙漏 模型速解 模型速解 例 5 A B 两地相距 950 米 甲 乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时 甲步行 每 分钟走 40 米 乙跑步 每分钟行 150 米 则甲 乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近 A 1 B 2 C 3 D 4 答案及解析答案及解析 B B 利用 沙漏模型 甲乙走到端点用的时间比为 150 40 15 4 半小 时两人共走的全程数为个 对于单岸型 相遇 6 个全程 则是迎面 第三次相遇 由前边公式推出 画出 s t 图 观察上图可知 可第 3 次迎面相遇的过程中 甲乙有一次背面相遇 交点由同一点引 出 而在三次迎面相遇中第 2 次相遇离 B 地最近 并且可根据三角形相似求出离 B 地的 距离 例 6 河道赛道长 120 米 水流速度为 2 米 秒 甲船静水速度为 6 米 秒 乙船静水速 度 为 4 米 秒 比赛进行两次往返 甲 乙同时从起点出发 先顺水航行 问多少秒后甲 乙船第二次迎面相遇 精品文档 9欢迎下载 A 48 B 50 C 52 D 54 答案及解析答案及解析 C C 由题知 得出如下关系 顺流逆流 甲8 15 4 30 乙6 20 2 60 注 注 中为走完全程的时间 中为走完全程的时间 假设 A 到 B 是顺流 由上表可知甲 乙两人第 2 次迎面相遇共有 4 个全程 由于甲的 速度快 则第 2 次相遇前甲已走了 2 个全程 共 15 30 45 秒 当第 45 秒时乙走了一个顺 流全程 20 秒和 25 秒的逆流 走的路程为 25 2 50 米 则在剩余的 70 米内 甲乙分别以 顺流和逆流相遇时间为 t 则有 70 8 2 t 求得 t 7 秒 则共用时间 45 7 52 秒 本题同样可用 沙漏模型 解决 根据上表中的速度关系 可得出一个全程时的时间 关系如下 顺流逆流 甲 36 乙 412 根据时间的关系 得出 s t 图像 如下 精品文档 10欢迎下载 观察上图 可看出第二次迎面相遇在 P 点 以甲为研究对象计算时间 此时甲走了一 个顺流 一个逆流 另外 EP 段为顺流 根据三角形相似可求出走 EP 用的时间 EP PN EF MN 7 8 由上表 求出走 EP 用的时间为 则甲共走的时间为 15 30 7 52 二 环型二 环型 环型主要分两种情况 一种是甲 乙两人同地同时反向迎面相遇 不可能背面相遇 一种是甲 乙两人同地同时同向背面追及相遇 不可能迎面相遇 分开讨论如下 一 甲 乙两人从 一 甲 乙两人从 A A 地同时反向出发 地同时反向出发 如下图 一个周长分成 4 份 假设甲是顺时针每分钟走 1 份到 B 乙是逆时针每分钟 走 3 份到 B 则第一次相遇两人走了 1 个周长 则再过 1 分仲 甲再走 1 份到 C 同样乙走 3 份也到 C 则第二次相遇共走了 2 个周长 依次类推 可得出 第第 n n 次迎面相遇共走了次迎面相遇共走了 n n 圈 圈 精品文档 11欢迎下载 二 甲 乙两人从 二 甲 乙两人从 A A 地同时同向出发 地同时同向出发 如下图 全程分成 4 份 假设甲 乙两人都是顺时针同时出发 甲每分钟走 1 份 乙 每分钟走 5 份 则 1 分钟后两人在 B 处第一次背面追及相遇 两人走的路程差为 1 个周长 再过 1 分钟后 甲到 C 处 乙也到 C 处 两人第二次背面追及相遇 多走的路程差同样为 一个周长 依次类推 可以得出 第第 n n 次背面追及相遇 路程差为次背面追及相遇 路程差为 n n 圈 圈 环型多次相遇问题相对比较简单 当甲 乙不在同一地点出发时相对具有难度 比如 在直径两端出发 考生可通过下面的例题把握 例 1 老张和老王两个人在周长为 400 米的圆形池塘边散步 老张每分钟走 9 米 老王 每 分钟走 16 米 现在两个人从同一点反方向行走 那么出发后多少分钟他们第三次相遇 A 33 B 45 C 48 D 56 答案及解析答案及解析 C C 第一次迎面相遇时间为 400 9 16 16 则第三次迎面相遇时间为 16 3 48 例 2 小明 小亮从 400 米环形跑道的同一点出发 背向而行 当他们第一次相遇时 小 明转身往回跑 再次相遇时 小亮转身往回跑 以后的每次相遇分别是小明和小亮两人交 精品文档 12欢迎下载 替调转方向 小明速度 3 米 秒 小亮速度 5 米 秒 则在两人第 30 次相遇时小明共跑了 多少米 A 11250 B 11350 C 11420 D 11480 答案及解析答案及解析 A A 由题意知 第 1 次是迎面相遇 第 2 次是背面追及相遇 之后都是迎面 与背面相遇交替 则在 30 次相遇中 迎面相遇 15 次 背面相遇 15 次 迎面相遇一次用时 为 400 3 5 50 背面相遇一次用时为 400 5 3 20