江苏省2012届高三数学二轮专题训练 解答题（25）

用心 爱心 专心1 江苏省江苏省 20122012 届高三数学二轮专题训练 解答题 届高三数学二轮专题训练 解答题 2525 本大题共本大题共 6 6 小题 小题 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1 将一颗骰子先后抛掷 2 次 观察向上的点数 求 1 两数之和为 5 的概率 2 以第一次向上点数为横坐标 x 第二次向上的点数为纵坐标 y 的点 x y 在圆 x2 y2 15 的内部的概率 2 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 点 D 在边 BC 上 AD C1D 1 求证 AD 平面 BC C1 B1 2 设 E 是 B1C1上的一点 当 1 1 BE EC 的值为多少时 A1E 平面 ADC1 请给出证明 3 已知圆 C 22 30 xyDxEy 圆 C 关于直线10 xy 对称 圆心在第二象 限 半径为2 求圆 C 的方程 已知不过原点的直线l与圆 C 相切 且在x轴 y轴上的截距相等 求直线l的方 程 B1 1 A1 1 A B C C1 1 D 用心 爱心 专心2 4 已知数列 f n的前n项和为 n S 且 2 2 n Snn 求数列 f n通项公式 若 1 1af 1 nn af an N 求证数列 1 n a 是等比数列 并求数列 n a的前n项和 n T 5 设函数 f x x2 mlnx h x x2 x a 1 当 a 0 时 f x h x 在 1 上恒成立 求实数 m 的取值范围 2 当 m 2 时 若函数 k x f x h x 在 1 3 上恰有两个不同零点 求实数 a 的取值范 围 3 是否存在实数 m 使函数 f x 和函数 h x 在公共定义域上具有相同的单调性 若存在 求出 m 的值 若不存在 说明理由 6 如图 已知ABC 中 2 C 设aBCCBA 它的内接正方形 DEFG 的一 边 EF 在斜边 AB 上 D G 分别在 AC BC 上 假设ABC 的面积为 S 正方形 DEFG 的面积 用心 爱心 专心3 为 T 1 用 a表示ABC 的面积 S 和正方形 DEFG 的面积 T 2 设 S T f 试求 f的最大值 P 并判断此时ABC 的形状 3 通过对此题的解答 我们是否可以作如下推断 若需要从一块直角三角形的材料上裁剪 一整块正方形 不得拼接 则这块材料的最大利用率要视该直角三角形的具体形状而定 但最大利用率不会超过第 2 小题中的结论 P 请分析此推断是否正确 并说明理由 1 解 将一颗骰子先后抛掷 2 次 此问题中含有 36 个等可能基本事件 3 分 1 记 两数之和为 5 为事件 A 则事件 A 中含有 4 个基本事件 6 分 AB C D EF G 用心 爱心 专心4 所以 P A 41 369 8 分 答 两数之和为 5 的概率为 1 9 2 点 x y 在圆 x2 y2 15 的内部记为事件 C 则 C 包含 8 个事件 11 分 所以 P C 82 369 13 分 答 点 x y 在圆 x2 y2 15 的内部的概率 2 9 14 分 2 解 1 在正三棱柱中 C C1 平面 ABC AD 平面 ABC AD C C1 又 AD C1D C C1交 C1D 于 C1 且 C C1和 C1D 都在面 BC C1 B1内 AD 面 BC C1 B1 7 分 2 由 1 得 AD BC 在正三角形 ABC 中 D 是 BC 的中点 当 1 1 1 BE EC 即 E 为 B1C1的中点时 A1E 平面 ADC1 9 分 事实上 正三棱柱 ABC A1B1C1中 四边形 BC C1 B1是矩形 且 D E 分别是 BC B1C1的中 点 所以 B1B DE B1B DE 又 B1B AA1 且 B1B AA1 DE AA1 且 DE AA1 所以四边形 ADE A1为平行四边形 所以 E A1 AD 而 E A1 面 AD C1内 故 A1E 平面 AD C1 14 分 3 解 由 22 30 xyDxEy 知圆心 C 的坐标为 22 DE 圆 C 关于直线10 xy 对称 点 22 DE 在直线10 xy 上 即 D E 2 且 22 12 2 4 DE 4 分 又 圆心 C 在第二象限 0 0DE 由 解得 D 2 E 4 所求圆 C 的方程为 22 2430 xyxy 7 分 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零 设l xy 圆 C 22 x1 y2 2 圆心c 1 2 到切线的距离等于半径2 用心 爱心 专心5 即 12 2 2 13 或 12 分 所求切线方程xy1xy30 或 14 分 4 解 n 2 时 1 21 nn f nSSn 4 分 n 1 时 1 1 3fS 适合上式 1 21 nn f nSSn n N 6 分 1 13af 1 21 nn aan N 8 分 即 1 12 1 nn aa 数列 1 n a 是首项为 4 公比为 2 的等比数列 11 1 1 1 22 nn n aa 1 21 n n a n N 14 分 Tn 231 222 n n 2 24 n n 16 分 5 解 1 由 a 0 f x h x 可得 mlnx x 即 ln x m x 记 ln x x 则 f x h x 在 1 上恒成立等价于 min mx 求得 2 ln1 ln x x x 当 1 xe 时 0 x 当 xe 时 0 x 故 x 在 x e 处取得极小值 也是最小值 即 min xee 故me 5 分 2 函数 k x f x h x 在 1 3 上恰有两个不同的零点等价于方程 x 2lnx a 在 1 3 上恰有两个相异实根 令 g x x 2lnx 则 2 1g x x 当 1 2 x 时 0g x 当 2 3 x 时 0g x g x 在 1 2 上是单调递减函数 在 2 3 上是单调递增函数 故 min 2 22ln2g xg 用心 爱心 专心6 又 g 1 1 g 3 3 2ln3 g 1 g 3 只需 g 2 0 解得 x 2 m 或 x 2 m 舍去 故0m 时 函数的单调递增区间为 2 m 单调递减区间为 0 2 m 而 h x 在 0 上的单调递减区间是 0 1 2 单调递增区间是 1 2 故只需 2 m 1 2 解之得 m 1 2 即当 m 1 2 时 函数 f x 和函数 h x 在其公共定义域上具有相同的单调性 16 分 6 解 在 ABC 中 CBA BC a tgaAC 2 0 22 1 2 tg a atgaS 设正方形 DEFG 边长为 m 则 sin cos m BGmCG a m mBC sin cos cossin1 sin a m 2 0 cossin1 sin 2 22 2 a mT 6 分 解 由 可得 2 22 22 cos sin1 cossin2 2 cossin1 sin tga a S T f 用心 爱心 专心7 2 sin2 1 sin 2sin21 4 1 0 sin21 2 1 4sin2 令 1 02sin 1 2sin 1 4 2sin u 当 1 022sin 2sin 1 4 2sin 当12sin 时 u 取得最小值 即 f取得最大值 S T f 的最大值为 9 4 此时 4 12sin ABC 为等腰直角三角形 12 分 答 此推断不正确 若以如图方法裁剪 tg a S 2 2 设正方形边长为m 2 2 22 22 2 1 1 2 21 21 0 1 2 21 1 22 matg tgm am