江苏省苏北市2013届高三数学新学期调研考试试题苏教版

1 苏北老四所县中苏北老四所县中20132013届高三新学期调研考试届高三新学期调研考试 数学数学 第 卷 共 160 分 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共计分 共计 7070 分 分 1 1 已知 x yR i为虚数单位 且 2 1xiyi 则 yx 4 4 2 2 已知等比数列 n a的公比为正数 且 3 a 9 a 2 2 5 a 2 a 1 则 1 a 2 1 12 22 a a q 3 3 用一组样本数据 8 x 10 11 9 来估计总体的标准差 若该组样本数据的平均数为 10 则总体标准差s 2 4 4 阅读下列程序 Read S 1 For I from 1 to 5 step 2 S S I End for Print S End 输出的结果是 1010 5 当A B 1 2 3 时 在构成的不同直线Ax By 0 中 任取一条 其倾斜角小于 45 的概率是 3 7 6 已知正方形ABCD的坐标分别是 1 0 0 1 1 0 0 1 动点M满足 1 2 MBMD kk A 则MAMC 2 2MA MC 7 过平面区域 20 20 20 xy y xy 内一点P作圆 22 1O xy 的两条切线 切点分别为 A B 记APB 则当 最小时cos cos 9 10 8 已知定义在 R R 上的奇函数在区间上单调递增 若 的 xf 0 0 2 1 fABC 内角A满足 则A的取值范围是 0 cos Af 3 2 2 3 9 如图所示的数阵叫 莱布尼兹调和三角形 他们是由整数的倒数组成的 第n行有n个 2 数且两端的数均为 1 2 n n 每个数是它下一行左右相邻两数的和 如 1 11 111 111 122 236 3412 则第 3 n n 行第 3 个数字是 答 答 2 1 2 nnn 10 若函数 2 1 bxc f xa b cR xax Rdcba 其图象如图所示 则 abc 4 11 定义在R上的函数 f x满足 f x 2 log 1 0 1 2 0 xx f xf xx 则 2012 f的值为 1 12 已知f x x3 g x x2 x a 若存在x0 1 a 0 使得f x0 g x0 2 9 a 3 则实数a的取值范围是 0 13 已知数列 n a满足 1 22 nn aqaq q为常数 1q 若 3456 a a a a 18 6 2 6 30 则 1 a 2 或 126 14 已知函数f x 3 21 34 axaxt xx xt 无论t取何值 函数f x 在区间 总是不单调 则a的取值范围是 1 2 a 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 1515 本题满分本题满分 1414 分分 在平面直角坐标系xoy中 点 cos 2 1 2 P在角 的终边上 点 2 sin 1 Q 在角 的终 边上 且 2 1 OQOP x y 1 2 1 2 第 10 题 3 求 2cos的值 求sin 的值 15 解 1 3 1 2cos 2 由 3 1 2cos 得 3 1 sin 2 3 2 cos2 1 214 1 sin 2 335 PQ 313 cos cos s 51010 in 1 s sincoscossin 10 in 16 本题满分本题满分 1414 分分 如图 四边形 ABCD 为矩形 AD 平面 ABE AE EB BC 2 F 为 CE 上的点 且 BF 平面 ACE 1 求证 AE BE 2 求三棱锥 D AEC 的体积 3 设 M 在线段 AB 上 且满足 AM 2MB 试在 线段 CE 上确定一点 N 使得 MN 平面 DAE 解解 1 AD 平面 ABE AD BC BC 平面 ABE 则 AE BC 又 BF 平面 ACE AE BF AE 平面 BCE 又 BE 平面 BCE AE BE 2 1114 2 222 2233 D AECE ADCE ABCD VVV 3 在三角形 ABE 中 过 M 点作 MG AE 交 BE 于 G 点 在三角形 BEC 中 过 G 点作 GN BC 交 EC 于 N 点 连 MN 则由比例关系易得 CN CE 3 1 MG AE MG 平面 ADE AE 平面 ADE MG 平面 ADE 同理 GN 平面 ADE 平面 MGN 平面 ADE 又 MN 平面 MGN MN 平面 ADE N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点 17 本题满分本题满分 1414 分分 某商场对 A 品牌的商品进行了市场调查 预计 2012 年从 1 月起前x个月顾客对 A 品牌的商 品的需求总量 xP 件与月份x的近似关系是 1 1 41 2 12 2 P xx xx xxN 且 4 1 写出第x月的需求量 f x 的表达式 2 若第x月的销售量 2 2 21 17 1 1096 712 3 x f xxxxN g x x xxxxN e 且 且 单位 件 每件利润 q x 元与月份x的近似关系为 10 x e q x x 问 该商场销售 A 品牌商品 预 计第几月的月利润达到最大值 月利润最大值是多少 6 403e 17 本题满分 14 分 解 1 当1x 时 1 1 39 fP 当2x 时 1 3 14 f xP xP xxx 2 342 12 f xxx xxN 5 2 设月利润为 h x 32 30 7 17 10 100960 712 3 h xq xg x exxxN xxxxxN 30 6 17 10 8 12 712 x exxxN h x xxxxN 9 当16x 时 0 h x 当67x 时 0 h x 6 max 17 3012090 xxNh xe 且时 11 当78x 时 0 h x 当812x 时 0 h x max 712 8 2987xxNh xh 且时 综上 预计该商场第 6 个月的月利润达到最大 最大利润约为 12090 元 15 5 18 18 本题满分本题满分 1616 分分 已知椭圆的中心为坐标原点 O 椭圆短半轴长为 1 动点 在直线上 2 Mt 0 t 2 a xa c 为长半轴 c为半焦距 1 求椭圆的标准方程 2 求以OM为直径且被直线截得的弦长为 2 的圆的方程 3450 xy 3 设F是椭圆的右焦点 过点F作OM的垂线与以OM为直径的 圆交于点N 求证 线段ON的长为定值 并求出这个定值 解 1 又由点 M 在准线上 得故 2 2 a c 2 1 2 c c 从而 所以椭圆方程为 1c 2a 2 2 1 2 x y 2 以 OM 为直径的圆的方程为 2 0 x xy yt 即 其圆心为 半径 2 22 1 1 24 tt xy 1 2 t 2 1 4 t r 因为以 OM 为直径的圆被直线截得的弦长为 23450 xy 所以圆心到直线的距离 3450 xy 2 1dr 2 t 所以 解得 325 52 tt 4t 所求圆的方程为 22 1 2 5xy 3 设 则 00 N xy 00 0000 1 2 2 FNxyOMt MNxyt ONxy 0000 2 1 0 22FNOMxtyxty 2 2 00000000 2 0 22MNONx xyytxyxty 所以 为定值 22 00 2ONxy 1919 本题满分本题满分 1616 分分 已知 是函数图象上的两点 且 111 P x y 222 P xy 2 22 x x f x 6 点共线 且 12 1 2 OPOPOP PAB 12 CPx CAx CB 1 求点坐标P 2 若 求 2010 2011 1 2011 i i Sf 2011 S 3 若 记为数列前 n 项的和 1 n n i i Sf n n T 1 1 2 2 nn SS 若时 对一切都成立 试求的取值范围 1 2 nn Ta S nN a 解 1 共线且 P AB 12 CPx CAx CB 12 1xx 又 1 1 2222 1 1 22222222 xxx xxxx f xfx 1 1 2 2 P 2 2010 2011 1 1220092010 20112011201120112011 i i Sfffff 2011 2010200921 2011201120112011 Sffff 20112011 220101005SS 3 1 121 1 n n i in Sfffff nnnn 121 1 n n Sffff nnn 1 2 2 n n S 令 1 14 1 2 2 2 n nn b nnSS 2 2 n n T n 22 22444 4 22 2 44 4 nnnn aa nnnn n n 1 2 a 2020 本题满分本题满分 1616 分分 6 设 0 a 函数 1ln 2 xaxxf 7 1 当 1 a 时 求曲线 xfy 在 1 x 处的切线方程 2 当 1 x 时 求函数 xf 的最小值 解 1 当 1 a 时 1ln 2 xxxf 令 1 x 得 1 1 2 1 ff 所以切点为 1 2 切线的斜率为 1 所以曲线 xfy 在 1 x 处的切线方程为 01 yx 2 当 ex 时 axaxxf ln 2 x a xxf 2 ex 0 a 0 xf 恒成立 xf 在 e 上增函数 故当 ex 时 2 min eefy 当 ex 1 时 1ln 2 xaxxf 2 2 2 2 a x a x xx a xxf ex 1 i 当 1 2 a 即 20 a 时 x f 在 1 ex 时为正数 所以 xf 在区间 1 e 上 为增函数 故当 1 x 时 ay 1 min 且此时 1 eff ii 当 e a 2 1 即 2 22ea 时 x f 在 2 1 a x 时为负数 在间 2 e a x 时为正数 所以 xf 在区间 2 1 a 上为减函数 在 2 e a 上为增 函数 故当 2 a x 时 2 ln 22 3 min aaa y 且此时 2 ef a f iii 当 e a 2 即 2 2ea 时 x f 在 1 ex 时为负数 所以 xf 在区间 1 e 上为减函数 故当 ex 时 2 min eefy 综上所述 当 2 2ea 时 xf 在 ex 时和 ex 1 时的最小值都是 2 e 8 所以此时 xf 的最小值为 2 eef 当 2 22ea 时 xf 在 ex 时的最小值为 2 ln 22 3 2 aaaa f 而 2 ef a f 所以此时 xf 的最小值为 2 ln 22 3 2 aaaa f 当 20 a 时 在 ex 时最小值为 2 e 在 ex 1 时的最小值为 af 1 1 而 1 eff 所以此时 xf 的最小值为 af 1 1 所以函数 xfy 的最小值为 22 2 min 2 22 2 ln 22 3 2 0 1 eae ea aaa aa y 第 卷 附加题 共 40 分 1 1 已知矩阵 41 ba A 若矩阵A A属于特征值 1 的一个特征向量为 1 1 3 属 于特征值 5 的一个特征向量为 2 1 1 求矩阵A A 并写出A A的逆矩阵 解解 由矩阵A A属于特征值 1 的一个特征向量为 1 1 3 可得 41 ba 1 3 1 3 即33 ba 由矩阵A A属于特征值 5 的一个特征向量为 2 可得 41 ba 1 1 5 1 1 1 1 即5 ba 解得 3 2 b a 即A A 4 3 1 2 A 的逆矩阵是 5 2 5 3 5 1 5 4 2 2 已知曲线 1 C的参数方程为 sin22 cos2 y x 其中 为参数 M是曲线 1 C上的动点 且M 是线段OP 的中点 其中O点为坐标原点 P 点的轨迹为曲线 2 C 直线l 的 9 方程为2 4 sin x 直线l 与曲线 2 C交于 A B两点 1 求曲线 2 C的普通方程 2 求线段AB的长 解 1 16 4 22 yx 2 142 AB 3 如图 已知面积为 1 的正三角形 ABC 三边的中点分别为 D E F 从 A B C D E F 六个点中任取三个不同的点 所构成的三角形的面积为 X 三点共线时 规定 X 0 1 求 1 2 P X 2 求 E X 3 解 从六点中任取三个不同的点共有 3 6 C20 个基本事件 事件 1 2 X 所含基本事件有2317 从而 17 220 P X X的分布列为 X0 1 4 1 2 1 P 3 20 10 20 6 20 1 20 则 311016113 01 204202202040 E X 答 17 220 P X 13 40 E X 10 分 4 如图 过抛物线 2 4C yx 上一点 P 1 2 作倾斜角互补的两条直线 分别与抛物 线交于点 1122 A x yB xy 1 求 12 yy 的值 2 若 12 0 0yy 求PAB 面积的最大值 D F E C B A y A B P Ox 10 23 解 因为 11 A x y 22 B xy在抛物线 C 2 4yx 上 所以 22 12 12 44 yy AyBy PA k 11 22 111 24 2 4 42 1 4 yy yyy 同理 2 4 2 PB k y 依题有 PAPB kk 因为 12 44 22yy 所以 12 4yy 由 知 21 22 21 1 44 AB yy k yy 设 AB 的方程为 22 11 11 0 44 yy yyxxyy 即