2012届高考数学一轮复习 5.4 三角函数的性质教案 新课标

1 4 4 三角函数的性质三角函数的性质 一 知识梳理 一 知识梳理 1 1 三角函数的性质 三角函数的性质 函数 y sinxy cosxy tanx 定义 域 RR 2 kxRxx 值域 和最 值 1 1 当时 2 2 xk min 1y 当时 2 2 xk max 1y 1 1 当时 2xk min 1y 当时 2xk max 1y R 无最值 周期 2 2 奇偶 性 奇函数偶函数奇函数 单调 区间 增区间 kk2 2 2 2 减区间 kk2 2 3 2 2 增区间 kk2 2 减区间 kk2 2 增区间 每一个 kk 2 2 减区间 无 对称 轴2 kx kx 无 对称 中心 0 k 0 2 k 0 2 k 2 2 函数最大值是 最小值是 周期是sin yAx 其中00 ABA AB 频率是 相位是 初相是 2 T 2 f x 对称轴的位置 图象的最高点处 对称中心的位置 函数的零点处 而函数对称轴的位置 函数的零点处 对称中心的cos yAx 其中00 A 2 位置 图象的最高点处 3 思想方法思想方法 1 总是用图象得函数的各性质 2 选取一个恰当的周期讨论性质从而加上周期推广到整个定义域 3 在研究函数的各项性质的时候总是设 从而只需讨论 sin xAyux 的各项性质就可得到的各项性质和由的范围得到的范围 uysin sin xAyux 4 合一 y asinx bcosx sin x cos x 22 ab 22 ab 这里 22 22 cos sin a ab b ab 二 典例讨论 二 典例讨论 1 1 定义域问题 三角不等式用三角函数线或图象上求之 定义域问题 三角不等式用三角函数线或图象上求之 例例 1 1 求下列函数的定义域 1 1 2 2logtanyxx 2 xxycos21 2sin2lg 解 1 x 应满足 即为所以所求定义域为 1 2 2log0 tan0 0 2 x x x xkkz zkkxk x 2 40 4 2 0 2 x 应满足 利用单位圆中的三角函数线可得 0cos21 02sin2 x x kxk2 4 3 2 3 所以所求定义域为 zkkk 4 3 2 3 2 2 2 求单调区间 求单调区间 例例 2 2 求下列函数的单调区间 1 2 33 2 cos 2 1 x y 3 2 4 sin 2 1x y 解 1 上单调递增 上单调递减 3 3 2 kk 3 23 2 kk 3 2 原函数变形为令 则只需求的单调区间即可 43 2 sin 2 1 x y 43 2 x uuysin 上 2 2 43 2 2 2sin k x ukuy在 Zk 即 上单调递增 8 9 3 8 3 3 kxkZk 在 上uysin 2 3 2 43 2 2 2Zkk x uk 即 上单调递减 8 21 3 8 9 3Zkkxk 故的递减区间为 3 2 4 sin 2 1x y 8 9 3 8 3 3 kk 递增区间为 8 21 3 8 9 3Zkkk 思维点拔思维点拔 1 要注意子函数的单调性 若函数为则变形为 3 2 4 cos 2 1x y 即可 2 在中我们总是通过令先求出 43 2 cos 2 1 x y xAsinux u 3 写成区间而不是不等式 注意取一个周期上求解 3 3 求最小正周期 求最小正周期 例例 3 3 求下列函数的最小正周期 1 2 sincosyxx 2 1 1 tan tan y x x 解 解 1 2 T 2 T 指出求周期的一般方法 指出求周期的一般方法 1 1 化为或或BxAy sin cos yAxB tan yAxB 2 2 图象法 图象法 sin sin yx yx 3 3 定义法 定义法 sincos1sin2 2 yxxx T 讨论练习 讨论练习 求下列函数的最小正周期 1 1 2 2cos sin3sinsin cos 3 yxxxxx 4 解 2 2cos sin3sinsin cos 3 yxxxxx 2 13 2cossincos3sinsin cos 22 xxxxxx 22 cos sin3cos3sinsin cosxxxxxx sin23cos22sin 2 3 xxx 所以 T 2 2 2 sin 4 3 yx 解 因为的周期 所以 的周期2sin 4 3 yx 2 T 2 sin 4 3 yx 4 T 4 4 值域问题 值域问题 例例 4 4 求下列函数的值域 1 2 2sin cos 1 sin xx y x 2 2 3sin log 3sin x y x 3 1 sin 3cos x y x 解 由题意 1 sin0 x 2 2 2sin 1 sin 11 2sin 1 sin 2 sin 1 sin22 xx yxxx x 时 但 1sin1x 1 sin 2 x max 1 2 y sin1x 4y 原函数的值域为 1 4 2 2 又1sin1x 3sin6 1 3sin3sin x xx 13sin 2 23sin x x 11y 函数的值域为 2 3sin log 3sin x y x 1 1 3 由得 1 sin 3cos x y x sincos31xyxy 2 1sin 31yxy 这里 2 1 cos 1y 2 sin 1 y y 5 解得 sin 1x 2 31 1yy 3 0 4 y 原函数的值域为 3 0 4 yy 5 5 奇偶性问题 奇偶性问题 例例 5 5 讨论 讨论 1 已知函数为偶函数 其图象与直线 2sinyx 0 的交点的横坐标为 若的最小值为 则 2y 12 x x 12 xx 解 2 2 2 2 已知 函数为奇函数 则a Ra Rxaxxf sin A 0 B 1 C 1 D 1 解 A 提示 由题意可知 得 a 0 0 0fxf xf 可得 6 6 对称性问题 对称性问题 例例 6 6 1 下列坐标所表示的点不是函数的图象的对称中心的是 62 tan x y A 0 B 0 C 0 D 0 3 3 5 3 4 3 2 解 提示 令 函数图象的对称中心为 2623 xk xkkZ 即 0 3 kkZ 2 如果函数的图象关于直线对称 则 sin2cos2yxax 8 x a 解 1 提示 根据 0 4 ff 3 将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F 若F 的一条对sin yx 3 称轴是直线则的一个可能取值是 4 x A B C D 5 12 5 12 11 12 11 12 解 平移得到图象的解析式为 F 3sin 3 3 yx 对称轴方程 32 xkkZ 把带入得 令 4 x 75 1 1212 kkkZ 1k 5 12 6 三 课堂小结 三 课堂小结 四 课后作业 四 课后作业 1 1 已知函数 求 22 sin2sin cos3cosf xxxxx xR I 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合 f xx II 函数的单调增区间 f x 解 I 1 cos23 1cos2 sin21 sin2cos222sin 2 224 xx f xxxxx 当 即时 取得最大值 22 42 xk 8 xkkZ f x22 函数的取得最大值的自变量的集合为 f xx 8 x xR xkkZ II 22sin 2 4 f xx 由题意得 222 242 kxkkZ 即 3 88 kxkkZ 因此函数的单调增区间为 f x 3 88 kkkZ 2 2 求下列函数的值域 1 2 2sin cos 1 sin xx y x 2 2 3sin log 3sin x y x 3 1 sin 3cos x y x 解 由题意 1 sin0 x 2 2 2sin 1 sin 11 2sin 1 sin 2 sin 1 sin22 xx yxxx x 时 但 1sin1x 1 sin 2 x max 1 2 y sin1x 4y 原函数的值域为 1 4 2 2 又1sin1x 7 3sin6 1 3sin3sin x xx 13sin 2 23sin x x 11y 函数的值域为 2 3sin log 3sin x y x 1 1 3 由得 1 sin 3cos x y x sincos31xyxy 2 1sin 31yxy 这里 2 1 cos 1y 2 sin 1 y y 解得 sin 1x 2 31 1yy 3 0 4 y 原函数的值域为 3 0 4 yy 3 3 是否存在实数 a 使得函数在闭区间上的最大值是 2 3 8 5 cossin 2 axaxy 2 0 1 若存在 求出对应的 a 值 若不存在 试说明理由 解 2 1 8 5 42 1 cos 2 2 a a axy 当时 令则 2 0 x1cos0 xxtcos 10 t 2 1 8 5 42 1 2 2 a a aty10