2012届高考数学考前模拟预测系列模拟三

用心 爱心 专心1 20122012 届高考考前模拟预测系列数学模拟三 解析版 届高考考前模拟预测系列数学模拟三 解析版 第第 卷卷 选择题 选择题 满分满分 6060 分 分 一 选择题 本大题共 12 题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知集合A y x2 y2 1 和集合B y y2 x2 则AB等于 I A 0 1 B 0 1 C 0 D 0 1 1 0 答案 B 解析 本题考查集合的基本运算 容易得出选项 B 正确 2 其中 i 为虚数单位 在复平面上对应的点位于 34 ii A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 答案 B 解析 因为 所以在复平面上对应的点位于第二象限 选 B 34 ii 43i 3 是 函数在单调递增 的 1a lg f xax 0 A 充分不必要条件 B 充分必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 显然函数在上均单调递增 所以 lg 1 f xx lg 21 f xx 0 是 函数在单调递增 的充分不必要条件 1a lg 1 f xax 0 4 设是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 l m A 若 则 B 若 则 lm m l llm m C 若 则D 若 则 lm lm lm lm 答案 B 解析 当两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另外一条也垂直这个平面 故选项 B 中的结论正确 5 已知一个棱长为 2 的正方体 被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示 则该几何 体的体积是 A 8 B C D 20 3 17 3 14 3 答案 C 几何体是正方体截去一个三棱台 3 11117 2 22 2 3223 V 6 已知非零向量满足 向量的夹角为 a b c abc a b120 用心 爱心 专心2 且 则向量与的夹角为 2 baac A B C D 60 90 120 150 答案 B 解析 本题考查平面向量的有关知识 7 若实数x y满足不等式组 则该约束条件所围 33 1 1 yx yx yx 成的平面区域的面积是 A 3B C 2D 2 5 22 答案 C 解析 可行域为直角三角形 其面积为 1 2 222 2 S 8 由直线2 xy上的点向圆 22 421xy 引切线 则切线长的最小值为 A 30 B 31 C 24 D 33 答案 B 解析 切线长的长短由该点到圆心的距离来确定 即圆心 4 2 到直线2 xy的最短 距离 422 4 2 2 d 所以 2 2 4 2131 9 如图是歌手大奖赛中 七位评委为甲 乙两名选手打出的分数的茎叶图 其中为数m 字 0 9 中的一个 去掉一个最高分和一个最低分后 甲 乙两名选手得分的平均数分别为 则一定有 12 a a A B 12 aa 21 aa C D 的大小不确定 12 aa 12 a a 答案 B 解析 12 84 85aa 10 一个算法的程序框图如图所示 该程序输出的结果为 用心 爱心 专心3 A B C D 8 9 9 10 10 11 11 12 答案 B 解析 故选 B 111 1 22 39 10 9 10 11 要得到y sin 2x 的图象 只要将y sin2x的图象 3 A 向左平移个单位 B 向右平移个单位 3 3 C 向右平移个单位 D 向左平移个单位 6 6 答案 C 解析 因为y sin 2x sin2 x 故选 C 3 6 12 已知函数 f x的定义域为 15 部分对应值如下表 f x的导函数 yfx 的图象如图所示 下列关于函数 f x的命题 函数 yf x 是周期函数 函数 f x在 0 2 是减函数 如果当 1 xt 时 f x的最大值是 2 那么 t的最大值为 4 当12a 时 函数 yf xa 有 4 个零点 其中真命题的个数是 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 答案 D 解析 显然错误 容易造成错觉 m x 5 a t 错误 2f的不确定影响了正确 性 正确 可有 fx得到 第第 IIII 卷 共卷 共 9090 分 分 二 填空题 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 已知 f x是定义在 R 上的奇函数 当0 3 2 x xf xf 时则 用心 爱心 专心4 答案 1 9 解析 因为 f x是定义在 R 上的奇函数 所以 2 2 ff 1 9 14 在等差数列中 若 则 n a 123 2 13aaa 456 aaa 答案 42 解析 由等差数列的性质知 所以 即公差 所 1232 315aaaa 2 5a 3d 以 故42 51 424 314aad 4565 3aaaa 15 在集合中随机取一个元素 在集合中随机取一个元素 得到点 2 3A m 1 2 3B n 则点 P 在圆内部的概率为 P m n 22 9xy 答案 1 3 解析 由题意得到的有 共计 6 个 P m n 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 在圆的内部的点有 所以概率为 22 9xy 2 1 2 2 21 63 16 已知抛物线 2 4yx 的弦AB的中点的横坐标为2 则AB的最大值为 答案 6 解析 当直线AB斜率不存在时4 2 AB 当直线AB斜率k存在时 设中点坐标为 2 t 1122 A x yB xy则 12 42 k yyt 2 2ytx t 与 2 4yx 联立得 2 1212 2 28yyt y yt 2 2 22 2 12 123636 4 t AByyt 6 AB 三 解答题 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 正明过程和演算步骤 17 本小题满分 12 分 在锐角中 角 所对的边分别为 已ABC ABCabc 知 3 cos2 4 C 求 sinC 当 且时 求 2ca 3 7b a 解析 解 由已知可得 所以 2 3 1 2sin 4 C 2 7 sin 8 C 用心 爱心 专心5 因为在中 ABC sin0C 所以 6 分 14 sin 4 C 因为 所以 2ca 114 sinsin 28 AC 因为是锐角三角形 所以 ABC 2 cos 4 C 5 2 cos 8 A 所以sinsin BAC sincoscossinACAC 1425 214 8484 3 7 8 由正弦定理可得 所以 12 分 3 7 sinsin a BA 14a 18 理科理科 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行 为了搞好接待工作 组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者 将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图 单位 cm 若身高在 175cm 以上 包括 175cm 定义为 高个子 身高在 175cm 以下 不包括 175cm 定义为 非高个子 且只有 女高个子 才担任 礼仪小姐 1 如果用分层抽样的方法从 高个子 和 非高个子 中 中提取 5 人 再从这 5 人中选 2 人 那么至少有一人是 高个子 的概率是多少 2 若从所有 高个子 中选 3 名志愿者 用 表示所选志愿者中能担任 礼仪小姐 的人数 试写出 的分布列 并求 的数学期望 解析 1 根据茎叶图 有 高个子 12 人 非高个子 18 人 1 分 用分层抽样的方法 每个人被抽中的概率是 6 1 30 5 2 分 所以选中的 高个子 有2 6 1 12 人 非高个子 有3 6 1 18 人 3 分 用事件A表示 至少有一名 高个子 被选中 则它的对立事件A表示 没有一名 高 个子 被选中 则 P A 1 2 5 2 3 C C 10 7 10 3 1 5 分 因此 至少有一人是 高个子 的概率是 10 7 6 分 用心 爱心 专心6 依题意 的取值为0 1 2 3 7 分 55 14 C C 0 3 12 3 8 P 55 28 C CC 1 3 12 2 8 1 4 P 55 12 C CC 2 3 12 1 8 2 4 P 55 1 C C 3 3 12 3 4 P 9 分 因此 的分布列如下 0 123 p 55 14 55 28 55 12 55 1 10 分 1 55 1 3 55 12 2 55 28 1 55 14 0 E 12 分 考查意图 本题主要考察茎叶图 分层抽样 随机事件的概率 对立事件的概率 随 机变量的分布列以及数学期望等基础知识 考查运用概率统计知识解决简单实际问题 的能力数据处理能力和应用意识 文科 本小题满分 12 分 设连续掷两次骰子得到的点数分别为 令平面向量mn am n 1 3 b 求使得事件 发生的概率 ab 求使得事件 发生的概率 ab 使得事件 直线与圆相交 发生的概率 x n m y 13 2 2 yx 解 1 由题意知 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 mn 故所有可能的取法共 36 种 2 分 m n 使得 即 即 共有 2 种 所以ab 30mn 3mn 3 1 6 2 求使得的概率 4 分ab 21 3618 P 2 即 ab 22 10mn 共有 6 种 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 使得的概率 8 分 ab 61 366 P 3 由直线与圆的位置关系得 即 共有 5 22 3 1 m d mn 2 4 m n 1 1 1 1 2 3 4 5 6 6 用心 爱心 专心7 种 所以直线与圆相交的概率 12 分x n m y 13 2 2 yx 5 36 P 19 理科 本小题满分 12 分 如图 在三棱柱中 平面 111 ABCABC 1 AA ABC 为的中点 1 ABBCCAAA D AB 1 求证 平面 1 BC 1 DCA 2 求二面角的平面角的余弦值 11 DCAC 命题意图 本小题主要考查立体几何的相关知识 具体涉及到线面的平行关系 二 面角的求法及空间向量在立体几何中的应用 试题解析 方法一 证明 如图一 连结与交于点 连结 1 AC 1 ACKDK 在 中 为中点 3 分 1 ABCDKDK 1 BC 又平面 平面 DK 1 DCA 1 BC 1 DCA 平面 5 分 1 BC 1 DCA 解 二面角与二面角互补 11 DCAC 1 DCAA 如图二 作 垂足为 DGAC G 又平面平面 平面 ABC 11 ACC ADG 11 ACC A 作 垂足为 连结 则 GH 1 CAHDH 1 DHCA 为二面角的平面角 8 分 DHG 1 DCAA 设 1 2ABBCCAAA 在等边 中 为中点 在正方形中 ABCD 1 4 AGAC 11 ACC A 1 3 8 GHAC 3 2 DG 33 2 22 84 GH 30 4 DH 11 分 3 2 15 4 cos 530 4 GH DHG DH 所求二面角的余弦值为 12 分 15 5 方法二 证明 如图三以的中点为原点建系 设 BCO 1 2ABBCCAAA 设是平面的一个法向量 nx y z 1 DCA 用心 爱心 专心8 则 又 1 0 0 n CD n CA 33 0 22 CD 1 1 2 3 CA 令 3 分 30 230 xz xyz 1 3 1xzy 1 1 3 n 1 2 2 0 BC 1 2200n BC 又平面 平面 5 分 1 BC 1 DCA 1 BC 1 DCA 解 设是平面的一个法向量 111 mx y z 11 CAC 则 又 1 1 0 0 m CC m CA 1 0 2 0 CC 1 1 2 3 CA 令 8 分 1 11 0 30 y xz 11 1 3zx 3 0 1 m 11 分 2 315 cos 52 5 m n 所求二面角的余弦值为 12 分 15 5 文科文科 本小题满分 12 分 如图 五面体 11 ABCC B 中 底面ABC是正三4 1 AB 角 形 四边形 11 BCC B是矩形 二面角 1 ABCC 为2 AB 直二面角 若是AC中点 求证 平面 D 1 AB 1 BDC 求该五面体的体积 解 证明 连结 1 BC交 1 BC于O 连结DO 四边形 11 BCC B是矩形 O为 1 BC中点又D为AC中点 从而 1 DOAB 4 分 1 AB 平面 1 BDC DO 平面 1 BDC 1 AB平面 1 BDC 6 分 过作 垂足为 为正三角形 ABCAH HABC 为中点 8 分 H BC 3 22 BHABAH 二面角为直二面角 面 又 故 1 CBCA AH11B BCC32 22 11 ABABBB 矩形的面积 10 分 11B BCC34322 1 BBBCS 故所求五面体体积 12 分 4334 3 1 3 1 11 AHSVV BBCCA A C D B 1 C 1 B C1B1 D CB A O 用心 爱心 专心9 20 本小题满分 12 分 已知等差数列的公差大于 0 且 是方程 n a 53 a a 的两根 数列的前 n 项的和为 且 04514 2 xx n b n S 1 2 n n b SnN 1 求数列 的通项公式 n a n b 2 若求数列的前项和 nnn bac n cn n T 解 1 a3 a5是方程的两根 且数列的公差 0 04514 2 xx n ad a3 5 a5 9 公差 2 35 35 aa d 3 分 1 2 5 5 ndnaan 又当 1 时 有 n 1 11 1 2 b bS 1 1 3 b 当 2 3 1 2 1 2 1 11 n b b bbSSbn n n nnnnn 有时 数列 是首项 公比等比数列 n b 1 1 3 b 1 3 q 6 分 1 1 1 3 n n n bbq 2 由 知 8 分 n nnn n bac 3 12 设数列的前项和为 n cn n T 1 123 13521 3333 n n n T 2 10 1 3 n T 2341 1352321 33333 nn nn 分 1 2 231 2122221 333333 n nn n T 231 111121 2 33333 nn n 化简得 12 分 1 1 3 n n n T 21 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知椭圆 过点 其左 右焦点分别为 E 22 22 1 xy ab 0ab 3 1 P 12 FF 且 12 6FP F P 用心 爱心 专心10 1 求椭圆的方程 E 2 若是直线上的两个动点 且 则以为直径的圆是否过 M N5x 12 FMF N MNC 定点 请说明理由 解 1 设点的坐标分别为 12 F F 0 0 0 ccc 则 12 3 1 3 1 FPcF Pc 故 可得 2 分 2 12 3 3 1 106FP F Pccc 4c 所以 4 分 2222 12 2 34 1 34 16 2aPFPF 故 222 3 2 18 162abac 所以椭圆的方程为 6 分E 22 1 182 xy 2 设的坐标分别为 则 M N 5 5 mn 12 9 1 FMm F Nn 又 可得 即 8 分 12 FMF N 12 90FM F Nmn 9mn 又圆的圆心为半径为 C 5 2 mn 2 mn 故圆的方程为 C 222 5 22 mnmn xy 即 22 5 0 xymn ymn 也就是 11 分 22 5 90 xymn y 令 可得或 2 0y 8x 故圆必过定点和 12 分C 8 0 2 0 另法 1 中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解 2 中可利用圆C直P 径的两端点直接写出圆的方程 C 22 本题满分 14 分 已知二次函数 3 2 ccbxaxxh其中 其导函数 xhy 的图象如图 ln6 xhxxf 1 求函数3