2012届高考数学一轮复习 4.9 三角函数的最值教案

1 4 94 9 三角函数的最值三角函数的最值 知识梳理 1 y asinx bcosx型函数最值的求法 常转化为y sin x 其中 tan 22 ba a b 2 y asin2x bsinx c型 常通过换元法转化为y at2 bt c型 3 y 型 dxc bxa cos sin 1 转化为型 1 2 转化为直线的斜率求解 4 利用单调性 点击双基 1 2000 年全国 若 0 sin cos a sin cos b 则 4 A a b 1B a b 1 C ab 1D ab 1 解析 a sin b sin 2 4 2 4 0 1 a b ab 1 4 4 2 答案 D 2 函数f x cos2x sinx在区间 上的最小值是 4 4 A B 2 12 2 21 C 1D 2 21 解析 f x 1 sin2x sinx sinx 2 2 1 4 5 当x 时 ymin 4 2 21 答案 D 3 函数y x sinx在 上的最大值是 2 A 1B 1 2 2 3 C D 2 3 2 2 解析 y x sinx在 上是增函数 x 时 ymax 2 答案 D 2 4 y 的最大值是 最小值是 x x sin2 sin 解析一 y 1 x x sin2 2sin2 xsin2 2 当 sinx 1 时 得ymin 1 当 sinx 1 时 得ymax 3 1 解析二 原式sinx y 1 y y 1 2 1 1 y ymax ymin 1 y y 1 2 3 1 3 1 答案 1 3 1 5 y 0 x 的最小值是 x x sin cos2 解析一 y ysinx cosx 2sin x 2 x x sin cos2 2 1y sin x x 0 0 1y 2 1 2 y 2 1 2 y 3 ymin 3 解析二 y可视为点A sinx cosx B 0 2 连线的斜率kAB 而点A的轨迹 x 0 是单位圆在第二 三象限的部分 如下图 易知当A xy xx cos sin 时 ymin kAB 2 3 2 1 3 x y 1 1 B 0 2 A O 答案 3 典例剖析 例 1 函数y acosx b a b为常数 若 7 y 1 求bsinx acosx的最大值 剖析 函数y acosx b的最值与a的符号有关 故需对a分类讨论 解 当a 0 时 a 4 b 3 7 1 ba ba 当a 0 时 不合题意 当a 0 时 a 4 b 3 7 1 ba ba 3 当a 4 b 3 时 bsinx acosx 3sinx 4cosx 5sin x tan 3 4 当a 4 b 3 时 bsinx acosx 3sinx 4cosx 5sin x tan 3 4 bsinx acosx的最大值为 5 例 2 求函数y cotsinx cotxsin2x的最值 2 x 剖析 先将切函数化成弦函数 再通过配方转化成求二次函数的最值问题 解 y sinx 2sinxcosx 2 cosx 2 x x sin cos1 x x sin cos 4 1 8 7 sinx 0 cosx 1 当 cosx 时 y有最小值 无最大值 4 1 8 7 评述 这是个基本题型 解题时要注意式中的隐含条件 例 3 求函数y 的最大值和最小值 x x cos2 sin2 剖析 此题的解法较多 一是利用三角函数的有界性 二是数形结合法 将y看成是两 点连线的斜率 三是利用万能公式换算 转化成一元函数的最值问题 由于万能公式不要求 掌握 所以此方法只作了解即可 解法一 去分母 原式化为 sinx ycosx 2 2y 即 sin x 2 1 22 y y 故 1 解得 y 2 1 22 y y 3 74 3 74 ymax ymin 3 74 3 74 解法二 令x1 cosx y1 sinx 有x12 y12 1 它表示单位圆 则所给函数y就是经过定 点P 2 2 以及该圆上的动点M cosx sinx 的直线PM的斜率k 故只需求此直线的斜 率k的最值即可 由 1 得k 2 1 22 k k 3 74 x y O 1 1 P 2 2 M cos sin xx ymax ymin 3 74 3 74 评述 数形结合法是高考中必考的数学思维方法 对此读者要有足够的重视 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 函数y log2 1 sinx log2 1 sinx 当x 时的值域为 6 4 4 A 1 0 B 1 0 C 0 1 D 0 1 解析 y log2 1 sin2x log2cos2x 当x 0 时 ymax log21 0 当x 时 ymin 1 值域为 1 0 4 答案 A 2 当y 2cosx 3sinx取得最大值时 tanx的值是 A B C D 4 2 3 2 3 13 解析 y sin x 其中 tan y有最大值时 应 sin x 13 3 2 1 x 2k x 2k 2 2 tanx tan x tan 2k cot 2 tan 1 2 3 答案 B 3 函数y 的最大值是 最小值是 2sin 1sin3 x x 解析 y 3 2sin 1sin3 x x 2sin 72sin3 x x 2sin 7 x 当 sinx 1 时 ymax 3 3 7 3 2 当 sinx 1 时 ymin 4 答案 4 3 2 4 在 ABC中 a sin A B b sinA sinB 则a与b的大小关系为 解析 a sinAcosB cosAsinB sinA sinB b 答案 a b 5 2004 年湖南 13 已知向量a a cos sin 向量b b 1 则 2a a b b 3 的最大值是 解析 2a a b b 2cos 2sin 1 3 2a a b b 4 22 sin23cos2 3 sin88 2a a b b 的最大值为 4 答案 4 6 求y 1 sinx cosx sinxcosx的值域 解 设t sinx cosx 则t 由 sinx cosx 2 t2sinxcosx 22 2 1 2 t y 1 t t 1 2 ymax 1 2 ymin 0 2 1 2 t 2 1 2 1 2 2 223 5 值域为 0 2 223 培养能力培养能力 7 已知对任意x 恒有y sin2x 4sin2xcos2x 求y的最小值 解 令u sin2x 4sin2xcos2x 则u sin2x sin22x 1 cos2x 1 cos22x cos22x cos2x cos2x 2 1 2 1 2 3 4 1 2 16 25 得umax 由y u知ymin 16 25 16 25 8 2005 年北京海淀区高三期末练习 已知向量a a cos sin 2 3x 2 3x b b cos sin c c 1 其中x R R 2 x 2 x 3 1 当a a b b时 求x值的集合 2 求 a a c c 的最大值 解 1 由a a b b得a a b b 0 即 coscos sinsin 0 2 3x 2 x 2 3x 2 x 则 cos2x 0 得x k Z Z 2 k 4 x x k Z Z 为所求 2 k 4 2 a a c c 2 cos 2 sin 1 2 5 4sin 2 3x 3 2 3x 2 3x 3 a a c c 有最大值 3 探究创新探究创新 9 设函数f x asin x bcos x 0 的最小正周期为 并且当x 时 有 12 最大值f 4 12 1 求a b 的值 2 若角 的终边不共线 f f 0 求 tan 的值 解 1 由 0 得 2 f x asin2x bcos2x 2 由x 时 f x 的最大值为 4 得 12 32 2 4 2 3 2 4 22 b a b a ba 2 由 1 得f x 4sin 2x 3 依题意有 4sin 2 4sin 2 0 3 3 6 sin 2 sin 2 0 3 3 cos sin 0 和差化积公式见课本 3 的终边不共线 即 k k Z Z 故 sin 0 k k Z Z tan 6 3 3 思悟小结 1 求三角函数最值的常用方法有 配方法 主要利用二次函数理论及三角函数的有界 性 化为一个角的三角函数 主要利用和差角公式及三角函数的有界性 数形结合法 常用到直线的斜率关系 换元法 如万能公式 将三角问题转化为代数问题 基本 不等式法等 2 三角函数的最值都是在给定区间上取得的 因而特别要注意题设中所给出的区间 1 求三角函数最值时 一般要进行一些代数变换和三角变换 要注意函数有意义的 条件及弦函数的有界性 2 含参数函数的最值问题 要注意参数的作用和影响 3 注意题中的隐含条件 教师下载中心 教学点睛教学点睛 1 建议让学生从做 点击双基 中体会总结方法 2 例题也可由学生独立完成 并从中总结方法 拓展题例拓展题