2012学年高中数学 2.3 数学归纳法学案 选修2-2

用心 爱心 专心 1 选修选修 2 22 2 2 2 3 3 数学归纳法数学归纳法 一 选择题 1 用数学归纳法证明 1 1 时 第一步应验证不等式 1 2 1 3 1 2n 1 A 1 n2 2 这一命题 证明过程中应验证 A n 1 时命题成立 B n 1 n 2 时命题成立 C n 3 时命题成立 D n 1 n 2 n 3 时命题成立 答案 D 解析 假设n k时不等式成立 即 2k k2 2 用心 爱心 专心 3 当n k 1 时 2k 1 2 2k 2 k2 2 由 2 k2 2 k 1 2 4 k2 2k 3 0 k 1 k 3 0 k 3 因此需要验证n 1 2 3 时命题成立 故应选 D 8 已知f n 2n 7 3n 9 存在自然数m 使得对任意n N 都能使m整除f n 则最大的m的值为 A 30 B 26 C 36 D 6 答案 C 解析 因为f 1 36 f 2 108 3 36 f 3 360 10 36 所以f 1 f 2 f 3 能被 36 整除 推测最大的m值为 36 9 已知数列 an 的前n项和Sn n2an n 2 而a1 1 通过计算a2 a3 a4 猜想 an A 2 n 1 2 B 2 n n 1 C 2 2n 1 D 2 2n 1 答案 B 解析 由Sn n2an知Sn 1 n 1 2an 1 Sn 1 Sn n 1 2an 1 n2an an 1 n 1 2an 1 n2an an 1 an n 2 n n 2 当n 2 时 S2 4a2 又S2 a1 a2 a2 a1 3 1 3 a3 a2 a4 a3 2 4 1 6 3 5 1 10 由a1 1 a2 a3 a4 1 3 1 6 1 10 猜想an 故选 B 2 n n 1 10 对于不等式 n 1 n N 某学生的证明过程如下 n2 n 用心 爱心 专心 4 1 当n 1 时 1 1 不等式成立 12 1 2 假设n k k N 时 不等式成立 即 k 1 则n k 1 时 k2 k n 2 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 n 2 2 证明 当n 2 时 左 0 右 1 2 不等式成立 假设当n k k 2 k N 时 不等式成立 即 成立 1 2 1 3 1 2k 1 k 2 2 那么n k 1 时 1 2 1 3 1 2k 1 1 2k 1 1 1 2k 1 2k 1 k 2 2 1 2k 1 1 1 2k k 2 2 1 2k 1 2k 1 2k k 2 2 2k 1 2k k 1 2 2 当n k 1 时 不等式成立 据 可知 不等式对一切n N 且n 2 时成立 17 在平面内有n条直线 其中每两条直线相交于一点 并且每三条直线都不相交于同 一点 用心 爱心 专心 6 求证 这n条直线将它们所在的平面分成个区域 n2 n 2 2 证明 1 n 2 时 两条直线相交把平面分成 4 个区域 命题成立 2 假设当n k k 2 时 k条直线将平面分成块不同的区域 命题成立 k2 k 2 2 当n k 1 时 设其中的一条直线为l 其余k条直线将平面分成块区域 直 k2 k 2 2 线l与其余k条直线相交 得到k个不同的交点 这k个点将l分成k 1 段 每段都将它 所在的区域分成两部分 故新增区域k 1 块 从而k 1 条直线将平面分成 k 1 块区域 k2 k 2 2 k 1 2 k 1 2 2 所以n k 1 时命题也成立 由 1 2 可知 原命题成立 18 2010 衡水高二检测 试比较 2n 2 与n2的大小 n N 并用数学归纳法证明你的 结论 分析 由题目可获取以下主要信息 此题选用特殊值来找到 2n 2 与n2的大小关系 利用数学归纳法证明猜想的结论 解答本题的关键是先利用特殊值猜想 解析 当n 1 时 21 2 4 n2 1 当n 2 时 22 2 6 n2 4 当n 3 时 23 2 10 n2 9 当n 4 时 24 2 18 n2 16 由此可以猜想 2n 2 n2 n N 成立 下面用数学归纳法证明 1 当n 1 时 左边 21 2 4 右边 1 所以左边 右边 所以原不等式成立 当n 2 时 左边 22 2 6 右边 22 4 所以左边 右边 当n 3 时 左边 23 2 10 右边 32 9 所以左边 右边 2 假设n k时 k 3 且k N 时 不等式成立 用心 爱心 专心 7 即 2k 2 k2 那么n k 1 时 2k 1 2 2 2k 2 2 2k