高中数学函数中易混淆的几个问题专题辅导

用心 爱心 专心 高中数学函数中易混淆的几个问题高中数学函数中易混淆的几个问题 函数不仅是高中数学的核心 而且是学习高等数学的基础 同学们在学习中应注意理 解有关概念的内涵 深入分析函数的基本性质 本文就几个易混淆的概念举例说明 供大 家参考 一 定义域与值域一 定义域与值域 例例 1 函数的定义域为 R 求实数 a 的取值范围 ax2xlg y 2 解 解 因函数定义域为 R 必有不等式的解集为 R 故判别式 0ax2x 2 4 4a1 即 1 a 例例 2 函数的值域为 R 求实数 a 的取值范围 ax2xlg y 2 解 解 令 则 所以必有能取遍大于 0 的所有实数 ax2x x t 2 x tlgy x t 可知 从而的判别式 0 ax2x x t x t 2 ax2x x t 2 解得 即 0a44 1a 1 二 自变量与参变量二 自变量与参变量 例例 3 对于任意 不等式恒成立 求实数 a 的取值范围 4 0 x 3ax4axx 2 解 解 原不等式转化为 设其解集为 A 对于任意 不03ax 4a x 2 4 0 x 等式恒成立 所以 又3ax4axx 2 A 4 0 x 1x 3ax 4a x 2 即原不等式为 a3 0 a3 x 1x 当 即时 1a3 2a a3x1x x A 或 当 即 a 2 时 A R 1a3 当 即 a 2 时 1a3 1xa3x x A 或 要使 显然有 a 2 综上知实数 a 的取值范围是 A 4 0 2a a 例例 4 对于任意 不等式恒成立 求实数 x 的取值范围 4 0 a 3ax4axx 2 解 解 不等式恒成立 即恒成立 3ax4axx 2 03x4xa 1x 2 令 对于任意 要使恒成立 只需3x4xa 1x a f 2 4 0 a 0 a f 0 即可 min a f 故 解得或 x 1 因此实数 x 的01x 4 f03x4x 0 f 22 且3x1x 或 取值范围是 1 3 1 点评 例 4 构造了函数 f a 它可以是一次函数也可以为常数函数 不必进行讨论 此题为 a 变化时不等式恒成立问题 此时 a 可以看作一个函数的自变量 把 x 看作参变量 通过转换 身份 使问题巧妙得到解决 三 有意义与解集三 有意义与解集 例例 5 已知函数的定义域为 求实数 a 的取值范围 3ax x f 3 解 解 因函数 f x 的定义域为 3 即不等式的解集为 3 有 03ax 3ax 当 a 0 时 不合题意 x 当 a0 时 是不等式的解集 所以 即 a 1 为所求 a 3 x x 03ax 3 a 3 用心 爱心 专心 综上可知实数 a 的取值范围是 1a a 例例 6 已知函数上有意义 求实数 a 的取值范围 3 x3ax x f 在 解 解 由题意知上有意义 即不等式上 3 x3ax x f 在 3 x03ax 在 恒成立 当 a 0 时 不等式上恒成立 令 3 a 3 x 在x x g 从而 所以 3 x 3 x g min 3 a 3 1a 当 a 0 时 显然不合题意 当 a 0 时 令 g x x 时没有最大值 不合题意 a 3 x 3 x 综上可知实数 a 的取值范围是 1 点评 函数在某个区间上有意义 即在此区间上不等式恒成立 此区间是此函数定 义域的子集 四 增区间与增函数四 增区间与增函数 例例 7 函数上是增函数 求实数 a 的取值范围 2 3axx x g 2 在 解 解 函数的对称轴为 只需 解得 即 3axx x g 2 2 a x 2 2 a 4a 4 a 例例 8 函数的增区间是 求实数 a 的取值范围 3axx x g 2 2 解 解 函数的增区间是 则恰有 可知 a 4 即为所求 3axx x g 2 2 2 2 a 点评 函数在某区间上是增函数 则此区间是增区间的子集 增区间是指增函数对应 的最大区间 五 函数五 函数与函数与函数的反函数的反函数 x g fy 1 x g fy 例例 9 已知函数 求 1 函数 2 的反函数 1x3 x f 1x f 1 1x f 解 解 1 的含义 由 再求 因此解题目标为先求 1x f 1 x f 1 1x f 1 x f 1 设 则 即 所以 1x3y 3 1y x Rx 3 13 x f 1 3 1 1x 1x f 1 3 x 2 由 可得 设 y 3x 4 则 1x3 x f 4x31 1x 3 1x f 3 4y x 即 故的反函数为 3 4x y 1x f Rx 3 4x y 点评 的反函数不能用来表示 应注意区分的反函数和 1x f 1x f 1 1x f 两者的含义 1x f 1 六 简单函数六 简单函数 f x 与复合函数与复合函数 f g x 的定义域的定义域 例例 10 1 已知函数 f x 的定义域是 0 2 求的定义域 2x2 f 2 已知函数的定义域是 0 2 求 f x 的定义域 2x2 f 用心 爱心 专心