2012届高考数学一轮复习 4.5 三角函数的图象与性质（一）教案

1 4 54 5 三角函数的图象与性质 一 三角函数的图象与性质 一 知识梳理 1 五点法作y Asin x 的简图 五点取法是设x x 由x取 0 2 2 来求相应的x值及对应的y值 再描点作图 2 3 2 利用图象的变换作图象时 提倡先平移后伸缩 但先伸缩后平移也经常出现 无论哪 种变形 请切记每一个变换总是对字母x而言 即图象变换要看 变量 起多大变化 而不 是 角变化 多少 3 给出图象确定解析式y Asin x 的题型 有时从寻找 五点 中的第一零点 0 作为突破口 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置 点击双基 1 2002 年全国 函数y xcosx的部分图象是 D y x O C y x O y x O BA y x O 解析 y xcosx为奇函数 且当x0 时 图象在x轴下方 答案 D 2 2002 年全国 在 0 2 内 使 sinx cosx成立的x的取值范围是 A B 4 2 4 5 4 C D 4 4 5 4 4 5 2 3 解析 利用三角函数线 答案 C 3 2005 年春季北京 4 如果函数f x sin x 0 2 的最小正周 期是T 且当x 2 时取得最大值 那么 A T 2 B T 1 2 C T 2 D T 1 2 解析 T 2 又当x 2 时 sin 2 sin 2 sin 要使上式取得 2 2 最大值 可取 2 答案 A 4 设函数f x A Bsinx 若B 0 时 f x 的最大值是 最小值是 则 2 3 2 1 A B 解析 根据题意 由可得结论 2 1 2 3 BA BA 答案 1 2 1 5 2004 年全国 5 已知函数y tan 2x 的图象过点 0 则可以是 12 A B C D 6 6 12 12 解析 将 0 代入原函数可得 tan 0 再将A B C D 代入检验即可 12 6 答案 A 典例剖析 例 1 把函数y cos x 的图象向左平移 4 个单位 所得的函数为偶函数 则 3 4 的最小值是 A B C D 3 4 3 2 3 3 5 剖析 先写出向左平移 4 个单位后的解析式 再利用偶函数的性质求解 向左平移个单位后的解析式为y cos x 3 4 则 cos x cos x 3 4 3 4 cosxcos sinxsin cosxcos sinxsin 3 4 3 4 3 4 3 4 sinxsin 0 x R R k k 0 3 4 3 4 3 4 k k 2 3 4 3 2 答案 B 例 2 试述如何由y sin 2x 的图象得到y sinx的图象 3 1 3 解 y sin 2x 3 1 3 纵坐标不变 倍横坐标扩大为原来的 3 sin 3 1 2 xy xysin 3 1 3 纵坐标不变 个单位图象向右平移 xysin 3 横坐标不变 倍纵坐标扩大到原来的 3 深化拓展 还有其他变换吗 不妨试一试 答案 1 先将y sin 2x 的图象向右平移个单位 得y sin2x的图象 3 1 3 6 3 1 2 再将y sin2x上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍 纵坐标不变 得y sinx的 3 1 3 1 图象 3 再将y sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍 横坐标不变 即可得到 3 1 y sinx的图象 例 3 2004 年重庆 17 求函数y sin4x 2sinxcosx cos4x的最小正周期和最3 小值 并写出该函数在 0 上的单调递增区间 解 y sin4x 2sinxcosx cos4x3 sin2x cos2x sin2x cos2x sin2x3 sin2x cos2x3 2sin 2x 6 故该函数的最小正周期是 最小值是 2 单调递增区间是 0 3 6 5 评述 把三角函数式化简为y Asin x k 0 是解决周期 最值 单调区 间问题的常用方法 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 2004 年辽宁 7 已知函数f x sin x 1 则下列命题正确的是 2 A f x 是周期为 1 的奇函数 B f x 是周期为 2 的偶函数 C f x 是周期为 1 的非奇非偶函数 D f x 是周期为 2 的非奇非偶函数 解析 T 2 且f x sin x 1 cos2x 1 f x 为偶函数 2 2 答案 B 2 2004 年全国 9 为了得到函数y sin 2x 的图象 可以将函数y cos2x 6 的图象 A 向右平移个单位长度B 向右平移个单位长度 6 3 C 向左平移个单位长度D 向左平移个单位长度 6 3 4 解析 y sin 2x cos 2x cos 2x cos 2x 6 2 6 3 2 3 2 cos 2 x 3 将函数y cos2x的图象向右平移个单位长度 3 答案 B 3 方程 2sin2x x 3 的解的个数为 解析 画图象 答案 3 4 函数y Asin x 与y Acos x 在 x0 x0 上交点的个数为 解析 画图象 答案 1 5 2004 年上海 14 已知y f x 是周期为2 的函数 当x 0 2 时 f x sin 则f x 的解集为 2 x 2 1 A x x 2k k Z Z B x x 2k k Z Z 3 3 5 C x x 2k k Z Z D x x 2k 1 k k Z Z 3 3 解析 f x sin x 0 2 0 或 2 x 2 1 2 x 2 x 6 6 5 x 或 3 3 5 f x 是周期为 2 的周期函数 f x 的解集为 x x 2k k Z Z 2 1 3 答案 C 6 画出函数y sinx y sin x 的图象 解 y sin x 0 sin 0sin xx xx x y 2 3 y sinx O x y 2 2 O y sin x 培养能力培养能力 7 作出函数y sinx cosx x 0 的图象 并写出函数的值域 解 原式 2 4 sin2 2 0 4 sin2 xx xx 5 如下图 x y 1 2 2 O 函数的值域为 1 2 8 2004 年福建 17 设函数f x a a b b 其中向量a a 2cosx 1 b b cosx sin2x x R R 3 1 若f x 1 且x 求x 3 3 3 2 若函数y 2sin2x的图象按向量c c m n m 平移后得到函数y f x 2 的图象 求实数m n的值 分析 本题主要考查平面向量的概念和计算 三角函数的恒等变换及其图象变换的基本 技能 考查运算能力 解 1 依题设 f x 2cos2x sin2x 1 2sin 2x 由 1 2sin 2x 3 6 6 1 3 得 sin 2x 6 2 3 x 2x 3 3 2 6 6 5 2x 即x 6 3 4 2 函数y 2sin2x的图象按向量c c m n 平移后得到函数y 2sin2 x m n的图 象 即函数y f x 的图象 由 1 得f x 2sin2 x 1 12 m m n 1 2 12 探究创新 9 2004 年北京西城区一模题 f x 是定义在 2 2 上的偶函数 当 x 0 时 y f x cosx 当x 2 时 f x 的图象是斜率为 在y 2 轴上截距为 2 的直线在相应区间上的部分 1 求f 2 f 3 2 求f x 并作出图象 写出其单调区间 解 1 当x 2 时 y f x x 2 2 又f x 是偶函数 f 2 f 2 2 6 又x 0 时 y f x cosx f f 3 3 2 1 2 y f x 2 2 2 cos 22 2 xx xx xx x y 2 2 1 1 2 2 O 单调区间为 2 0 0 2 思悟小结 1 数形结合是数学中重要的思想方法 在中学阶段 对各类函数的研究都离不开图象 很多函数的性质都是通过观察图象而得到的 2 作函数的图象时 首先要确定函数的定义域 3 对于具有周期性的函数 应先求出周期 作图象时只要作出一个周期的图象 就可根 据周期性作出整个函数的图象 4 求定义域时 若需先把式子化简 一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化 教师下载中心 教学点睛教学点睛 解析式的求解中应引导学生用好图象 紧扣五点中的第一个零点 要注意图象的升降情 况 注意数形结合的思想 拓展题例拓展题例 例题 已知函数f x Asin x Bcos x A B 是实常数 0 的最小正 周期为 2 并当x 时 f x max 2 3 1 1 求