必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)

必修二必修二 第三章第三章 直线与方程直线与方程 1 直线的倾斜角 直线的倾斜角 定义 x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与 x 轴平 行或重合时 我们规定它的倾斜角为 0 度 因此 倾斜角的取值范围是 0 180 2 直线的斜率 直线的斜率 定义 倾斜角不是倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常 用 k 表示 即tank 斜率反映直线与轴的倾斜程度 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 0 k tan0 0 当直线 l 与 x 轴垂直时 90 k 不存在 当 90 0 时 0 k 当 180 90 时 0 k 当 90 时 k不存 在 过两点的直线的斜率公式过两点的直线的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 注意下面四点 1 当 21 xx 时 公式右边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角为 90 2 k与P1 P2的顺序无关 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 3 直线方程 直线方程 点斜式 点斜式 11 xxkyy 直线斜率 k 且过点 11 y x 注意 注意 当直线的斜率为 0 时 k 0 直线的方程是y y1 当直线的斜率为 90 时 直线的斜率不存在 它的方程不能用点斜式表示 但因l 上每一点的横坐标都等于x1 所以它的方程是x x1 斜截式 斜截式 bkxy 直线斜率为k 直线在y轴上的截距为b 两点式 两点式 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 直线两点 11 y x 22 y x 截矩式 截矩式 1 xy ab 其中直线l与x轴交于点 0 a 与y轴交于点 0 b 即l与x轴 y轴 的截距截距分别为 a b 一般式 一般式 0 CByAx A B 不全为不全为 0 注意 注意 各式的适用范围 特殊的方程如 1 2 平行于 x 轴的直线 by b 为常数 平行于 y 轴的直线 ax a 为常数 6 两直线平行与垂直 两直线平行与垂直 当 111 bxkyl 222 bxkyl 时 212121 bbkkll 1 2121 kkll 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 7 两条直线的交点 两条直线的交点 0 1111 CyBxAl 0 2222 CyBxAl相交 交点坐标即方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的一组解 方程组无解 21 l l 方程组有无数解 1 l与 2 l重合 8 两点间距离公式两点间距离公式 设 1122 A x yB xy 是平面直角坐标系中的两个点 则 22 2121 ABxxyy 9 点到直线距离公式点到直线距离公式 一点 00 y xP到直线0 1 CByAxl的距离 22 00 BA CByAx d 10 两平行直线距离公式两平行直线距离公式 已知两条平行线直线和的一般式方程为 1 l 2 l 1 l0 1 CByAx 则与的距离为 2 l0 2 CByAx 1 l 2 l 22 21 BA CC d 直线的方程 1 设 a b c 是互不相等的三个实数 如果 A a a3 B b b3 C c c3 在同一直线上 求证 a b c 0 证明证明 A B C 三点共线 kAB kAC 化简得 a2 ab b2 a2 ac c2 ca ca ba ba 3333 b2 c2 ab ac 0 b c a b c 0 a b c 互不相等 b c 0 a b c 0 2 若实数 x y 满足等式 x 2 2 y2 3 那么的最大值为 x y A B C D 2 1 3 3 2 3 3 答案答案 D 3 求经过点 A 5 2 且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程 解解 当直线 l 在 x y 轴上的截距都为零时 设所求的直线方程为 y kx 将 5 2 代入 y kx 中 得 k 此时 直线方程为 y x 即 2x 5y 0 5 2 5 2 当横截距 纵截距都不是零时 设所求直线方程为 1 将 5 2 代入所设方程 解得 a a y a x 2 2 1 此时 直线方程为 x 2y 1 0 综上所述 所求直线方程为 x 2y 1 0 或 2x 5y 0 4 直线 l 经过点 P 3 2 且与 x y 轴的正半轴分别交于 A B 两点 OAB 的面积为 12 求直线 l 的方 程 解解 方法一方法一 设直线 l 的方程为 a 0 b 0 1 b y a x A a 0 B 0 b 解得 1 23 24 ba ab 4 6 b a 所求的直线方程为 1 即 2x 3y 12 0 46 yx 方法二方法二 设直线 l 的方程为 y 2 k x 3 令 y 0 得直线 l 在 x 轴上的截距 a 3 令 x 0 得直线 l 在 y 轴上的截距 b 2 3k k 2 2 3k 24 解得 k 所求直线方程为 y 2 x 3 即 2x 3y 12 0 k 2 3 3 2 3 2 9 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 1 1 2 2 若直线 l x my m 0 与线段 PQ 有交点 求 m 的取 值范围 解解 方法一方法一 直线 x my m 0 恒过 A 0 1 点 kAP 2 kAQ 10 11 20 21 2 3 则 或 2 m 1 2 3 m 1 m 且 m 0 又 m 0 时直线 x my m 0 与线段 PQ 有交点 所求 m 的取值范围是 m 3 2 2 1 3 2 2 1 方法二方法二 过 P Q 两点的直线方程为 y 1 12 12 x 1 即 y x 代入 x my m 0 3 1 3 4 整理 得 x 由已知 1 2 解得 m 3 7 m m 3 7 m m 3 2 2 1 两直线方程两直线方程 例例 1 1 已知直线 l1 ax 2y 6 0 和直线 l2 x a 1 y a2 1 0 1 试判断 l1与 l2是否平行 2 l1 l2时 求 a 的值 解解 1 方法一方法一 当 a 1 时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1不平行于 l2 当 a 0 时 l1 y 3 l2 x y 1 0 l1不平行于 l2 当 a 1 且 a 0 时 两直线可化为 l1 y 3 l2 y a 1 x a 2 x a 1 1 l1 l2 解得 a 1 1 3 1 1 2 a a a 综上可知 a 1 时 l1 l2 否则 l1与 l2不平行 方法二方法二 由 A1B2 A2B1 0 得 a a 1 1 2 0 由 A1C2 A2C1 0 得 a a2 1 1 6 0 l1 l2a 1 061 1 021 1 2 aa aa 6 1 02 2 2 aa aa 故当 a 1 时 l1 l2 否则 l1与 l2不平行 2 方法一方法一 当 a 1 时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1与 l2不垂直 故 a 1 不成立 当 a 1 时 l1 y x 3 l2 y a 1 由 1a 2 a x a 1 1 2 a a 1 1 3 2 方法二方法二 由 A1A2 B1B2 0 得 a 2 a 1 0a 3 2 例例 3 3 已知直线 l 过点 P 3 1 且被两平行线 l1 x y 1 0 l2 x y 6 0 截得的线段长为 5 求直线 l 的方 程 解解 方法一方法一 若直线 l 的斜率不存在 则直线 l 的方程为 x 3 此时与 l1 l2的交点分别是 A 3 4 B 3 9 截得的线段长 AB 4 9 5 符合题意 若直线 l 的斜率存在时 则设直线 l 的方程为 y k x 3 1 分别与直线 l1 l2的方程联立 由 解得 A 01 1 3 yx xky 1 41 1 23 k k k k 8 分 由 解得 B 06 1 3 yx xky 1 91 1 73 k k k k 由两点间的距离公式 得 25 2 1 73 1 23 k k k k 2 1 91 1 41 k k k k 解得 k 0 即所求直线方程为 y 1 综上可知 直线 l 的方程为 x 3 或 y 1 方法二方法二 设直线 l 与 l1 l2分别相交于 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 y1 1 0 x2 y2 6 0 两式相减 得 x1 x2 y1 y2 5 6 分 又 x1 x2 2 y1 y2 2 25 联立 可得或 10 0 5 21 21 yy xx 5 0 21 21 yy xx 分 由上可知 直线 l 的倾斜角分别为 0 和 90 故所求的直线方程为 x 3 或 y 1 例例 4 4 求直线 l1 y 2x 3 关于直线 l y x 1 对称的直线 l2的方程 解解 方法一方法一 由 知直线 l1与 l 的交点坐标为 2 1 1 32 xy xy 设直线 l2的方程为 y 1 k x 2 即 kx y 2k 1 0 在直线 l 上任取一点 1 2 由题设知点 1 2 到直线 l1 l2的距离相等 由点到直线的距离公式得 22 1 122 k kk 22 1 2 322 解得 k k 2 舍去 直线 l2的方程为 x 2y 0 2 1 方法二方法二 设所求直线上一点 P x y 则在直线 l1上必存在一点 P1 x0 y0 与点 P 关于直线 l 对称 由题设 直线 PP1与直线 l 垂直 且线段 PP1的中点 P2在直线 l 上 变形得 2 2 00 yyxx 1 22 11 00 0 0 xxyy xx yy 1 1 0 0 xy yx 代入直线 l1 y 2x 3 得 x 1 2 y 1 3 整理得 x 2y 0 所以所求直线方程为 x 2y 0 直线与方程直线与方程 1 设直线 l 与 x 轴的交点是 P 且倾斜角为 若将此直线绕点 P 按逆时针方向旋转 45 得到直线的倾 斜角为 45 则 A 0 180 B 0 135 C 0 135 D 0 135 答案答案 D 2 曲线 y x3 2x 4 在点 1 3 处的切线的倾斜角为 A 30 B 45 C 60 D 120 答案答案 B 3 过点 M 2 m N m 4 的直线的斜率等于 1 则 m 的值为 A 1B 4C 1 或 3D 1 或 4 答案答案 A 4 过点 P 1 2 且方向向量为 a a 1 2 的直线方程为 A 2x y 0 B x 2y 5 0 C x 2y 0D x 2y 5 0 答案答案 A 5 一条直线经过点 A 2 2 并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 则此直线的方程为 答案答案 x 2y 2 0 或 2x y 2 0 例例 1 1 已知三点 A 1 1 B 3 3 C 4 5 求证 A B C 三点在同一条直线上 证明证明 A 1 1 B 3 3 C 4 5 kAB 2 kBC 2 kAB kBC 13 13 34 35 A B C 三点共线 例例 2 2 已知实数 x y 满足 y x2 2x 2 1 x 1 试求 的最大值与最小值 2 3 x y 解解 由的几何意义可知 它表示经过定点 P 2 3 与曲线段 AB 上任一点 x y 的直线的斜率 k 如 2 3 x y 图可知 kPA k kPB 由已知可得 A 1 1 B 1 5 k 8 故的最大值为 8 最小值为 3 4 2 3 x y 3 4 例例 3 3 求适合下列条件的直线方程 1 经过点 P 3 2 且在两坐标轴上的截距相等 2 经过点 A 1 3 倾斜角等于直线 y 3x 的倾斜角的 2 倍 解解 1 方法一方法一 设直线 l 在 x y 轴上的截距均为 a 若 a 0 即 l 过点 0 0 和 3 2 l 的方程为 y x 即 2x 3y 0 3 2 若 a 0 则设 l 的方程为 l 过点 3 2 a 5 l 的方程为 x y 5 0 1 b y a x 1 23 aa 综上可知 直线 l 的方程为 2x 3y 0 或 x y 5 0 方法二方法二 由题意知 所求直线的斜率 k 存在且 k 0 设直线方程为 y 2 k x 3 令 y 0 得 x 3 令 x 0 得 y 2 3k k 2 由已知 3 2 3k 解得 k 1 或 k 直线 l 的方程为 y 2 x 3 或 y 2 x 3 k 2 3 2 3 2 即 x y 5 0 或 2x 3y 0 2 由已知 设直线 y 3x 的倾斜角为 则所求直线的倾斜角为 2 tan 3 tan2 又直线经过点 A 1 3 2 tan1 tan2 4 3 因此所求直线方程为 y 3 x 1 即 3x 4y 15 0 4 3 例例 4 4 12 分 过点 P 2 1 的直线 l 交 x 轴 y 轴正半轴于 A B 两点 求使 1 AOB 面积最小时 l 的方程 2 PA PB 最小时 l 的方程 解解 方法一方法一 设直线的方程为 a 2 b 1 1 b y a x 由已知可得 1 2 1 ab 8 S AOB ab 4 1 12 baba 12 ba 12 2 1 当且仅当 b 1 即 a 4 b 2 时 S AOB取最小值 4 此时直线 l 的方程为 1 即 x 2y 4 0 6 a 2 2 1 24 yx 分 2 由 b 1 1 得 ab a 2b 0 变形得 a 2 b 1 2 a 2 PA PB 22 01 2 a 22 1 02 b 4 1 1 2 22 ba 1 4 2 2 ba 当且仅当 a 2 1 b 1 2 即 a 3 b 3 时 PA PB 取最小值 4 此时直线 l 的方程为 x y 3 0 方法二方法二 设直线 l 的方程为 y 1 k x 2 k 0 则 l 与 x 轴 y 轴正半轴分别交于 A B 0 1 2k 0 1 2 k 1 S AOB 1 2k 4 4 4 2 1 k 1 2 2 1 1 4 4 k k 2 1 当且仅当 4k 即 k 时取最小值 此时直线 l 的方程为 y 1 x 2 即 x 2y 4 0 6 分 k 1 2 1 2 1 2 PA PB 4 22 441 1 k k 84 4 2 2 k k 当且仅当 4k2 即 k 1 时取得最小值 此时直线 l 的方程为 y 1 x 2 即 x y 3 0 2 4 k 一 选择题一 选择题 1 过点 1 3 作直线 l 若经过点 a 0 和 0 b 且 a N N b N N 则可作出的 l 的条数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案答案 B 2 经过点 P 1 4 的直线在两坐标轴上的截距都是正的 且截距之和最小 则直线的方程为 A x 2y 6 0B 2x y 6 0 C x 2y 7 0D x 2y 7 0 答案答案 B 3 若点 A 2 3 是直线 a1x b1y 1 0 和 a2x b2y 1 0 的公共点 则相异两点 a1 b1 和 a2 b2 所确 定的直线方程是 A 2x 3y 1 0B 3x 2y 1 0 C 2x 3y 1 0 D 3x 2y 1 0 答案答案 A 二 填空题二 填空题 4 已知 a 0 若平面内三点 A 1 a B 2 a2 C 3 a3 共线 则 a 答案答案 1 2 5 已知两点 A 1 5 B 3 2 若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半 则 l 的斜率是 答案答案 3 1 三 解答题三 解答题 6 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 1 1 2 2 若直线 l x my m 0 与线段 PQ 有交点 求 m 的取 值范围 解解 方法一方法一 直线 x my m 0 恒过 A 0 1 点 kAP 2 kAQ 则 或 2 m 且 m 0 10 11 20 21 2 3 m 1 2 3 m 1 3 2 2 1 又 m 0 时直线 x my m 0 与线段 PQ 有交点 所求 m 的取值范围是 m 3 2 2 1 方法二方法二 过 P Q 两点的直线方程为 y 1 12 12 x 1 即 y x 代入 x my m 0 整理 得 x 3 1 3 4 3 7 m m 由已知 1 2 解得 m 3 7 m m 3 2 2 1 7 已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3 分别求满足下列条件的直线 l 的方程 1 过定点 A 3 4 2 斜率为 6 1 解解 1 设直线 l 的方程是 y k x 3 4 它在 x 轴 y 轴上的截距分别是 3 3k 4 k 4 由已知 得 3k 4 3 6 k 4 解得 k1 或 k2 3 2 3 8 直线 l 的方程为 2x 3y 6 0 或 8x 3y 12 0 2 设直线 l 在 y 轴上的