必修2平面解析几何知识点总结与训练

苏教版必修 2 第 2 章 平面解析几何 1 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 在平面直角坐标系中 对于一条与轴相交的直线 如果把轴绕着交点按逆时针xx 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角 倾斜角 斜率不存在 180 0 90 2 直线的斜率 tan 21 12 12 kxx xx yy k 111 P x y 222 P xy 2 直线方程的直线方程的五五种形式 种形式 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 xxkyy l 111 yxPk 注 当直线斜率不存在时 不能用点斜式表示 此时方程为 0 xx 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 bkxy l 3 两点式 12 1 12 1 xx xx yy yy 12 yy 12 xx 注 不能表示与轴和轴垂直的直线 xy 方程形式为 时 方程可以表示任意直线 0 112112 xxyyyyxx 4 截距式 分别为轴轴上的截距 且 1 b y a x ba xy0 0 ba 注 不能表示与轴垂直的直线 也不能表示与轴垂直的直线 特别是不能表示过原点的直xy 线 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0 CByAx 一般式化为斜截式 即 直线的斜率 B C x B A y B A k 注 1 已知直线纵截距 常设其方程为或 bykxb 0 x 已知直线横截距 常设其方程为 直线斜率 k 存在时 为 k 的倒数 0 x 0 xmyx m 或 0y 已知直线过点 常设其方程为或 00 xy 00 yk xxy 0 xx 2 解析几何中研究两条直线位置关系时 两条直线有可能重合 立体几何中两条直线一般不重 合 3 直线在坐标轴上的截矩直线在坐标轴上的截矩可正 可负 也可为 0 1 直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点 1 2 直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点 3 直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点 1 4 两条直线的平行和垂直 两条直线的平行和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 212121 bbkkll 1212 1llk k 2 若 有0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 1221122121 CACABABAll 0 212121 BBAAll 5 平面两点距离公式 平面两点距离公式 轴上两点间距离 111 P x y 222 P xy 2 21 2 2121 yyxxPP x AB xxAB 线段的中点是 则 21P P 00 yxM 2 2 21 0 21 0 yy y xx x 6 点到 点到直线的距离公式直线的距离公式 点到直线的距离 00 yxP0 CByAxl 22 00 BA CByAx d 7 两平行直线间的距离 两平行直线间的距离 两条平行直线距离 00 2211 CByAxlCByAxl 22 21 BA CC d 8 直线系方程 直线系方程 1 平行直线系方程 平行直线系方程 直线中当斜率一定而变动时 表示平行直线系方程 ykxb kb 与直线平行平行的直线可表示为 0l AxByC 1 0AxByC 过点过点与直线与直线平行平行的直线可表示为 00 P xy 0l AxByC 00 0A xxB yy 2 垂直直线系方程 垂直直线系方程 与直线垂直垂直的直线可表示为 0l AxByC 1 0BxAyC 过点过点与直线与直线垂直垂直的直线可表示为 00 P xy 0l AxByC 00 0B xxA yy 3 定点直线系方程 定点直线系方程 经过定点的直线系方程为 除直线 其中是待定的系 000 P xy 00 yyk xx 0 xx k 数 经过定点的直线系方程为 其中是待定的系数 000 P xy 00 0A xxB yy A B 4 共点直线系方程 共点直线系方程 经过两直线交点的直线系方00 22221111 CyBxAlCyBxAl 程为 除 其中 是待定的系0 222111 CyBxACyBxA 2 l 数 9 曲线与的交点坐标方程组的解 1 0Cf x y 2 0Cg x y 0 0 f x y g x y 10 圆的方程 圆的方程 1 圆的标准方程 222 rbyax 0 r 2 圆的一般方程 04 0 2222 FEDFEyDxyx 3 圆的直径式方程 若 以线段为直径的圆的方程是 2211 yxByxA AB 0 2121 yyyyxxxx 注 1 在圆的一般方程中 圆心坐标和半径分别是 2 2 ED FEDr4 2 1 22 2 一般方程的特点 和的系数相同且不为零 没有项 2 x 2 yxy04 22 FED 3 二元二次方程表示圆的等价条件是 0 22 FEyDxCyBxyAx 0 CA0 B04 22 AFED 11 圆的弦长的求法 圆的弦长的求法 1 几何法 当直线和圆相交时 设弦长为 弦心距为 半径为 ldr 则 半弦长 弦心距 半径 222 222 2 rd l 2 代数法 设 的斜率为 与圆交点分别为 则lkl 2211 yxByxA 1 1 1 2 2 BABA yy k xxkAB 其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或 利用韦达定理求解 2121 yyxx yx 12 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 00 yxP 222 rbyax 在在圆外 P 22 0 2 0 rbyaxrd 在在圆内 P 22 0 2 0 rbyaxrd 在在圆上 到圆心距离P 22 0 2 0 rbyaxrd P 22 00 daxby 13 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 22 BA CBbAa d 圆心到直线距离为 由直线和圆联立方程组消去 或 后 所得一元二次方程的判别式dxy 为 0 rd0 rd0 rd 14 两圆位置关系 两圆位置关系 设两圆圆心分别为 半径分别为 21 O O 21 r rdOO 21 4 21 rrd 21 rrd 3 21 rrd 1 21 rrd 2 2121 rrdrr 15 圆系方程 圆系方程 04 0 2222 FEDFEyDxyx 1 过点 的圆系方程 11 A x y 22 B xy 1212112112 0 xxxxyyyyxxyyyyxx 其中是直线的方 1212 0 xxxxyyyyaxbyc 0axbyc AB 程 2 过直线与圆 的交点的圆系方程 0 CByAxl C0 22 FEyDxyx 是待定的系数 0 22 CByAxFEyDxyx 3 过圆 与圆 的交点的圆系方程 1 C0 111 22 FyExDyx 2 C0 222 22 FyExDyx 是待定的系数 0 222 22 111 22 FyExDyxFyExDyx 特别地 当时 就是1 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 表示两圆的公共弦所在的直线方程 即过两圆交点的直 121212 0DD xEEyFF 线 16 圆的切线方程 圆的切线方程 1 过圆上的点的切线方程为 222 ryx 00 yxP 2 00 ryyxx 2 过圆上的点的切线方程为 222 rbyax 00 yxP 2 00 rbybyaxax 3 过圆上的点的切线方程为 22 0 xyDxEyF 00 yxP 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 4 若 P 是圆外一点 由 P 向圆引两条切线 切点分别为 A B 0 x 0 y 222 xyr 0 x 0 y 则直线 AB 的方程为 2 00 xxyyr 5 若 P 是圆外一点 由 P 向圆引两条切线 切点分别为 A B 0 x 0 y 222 xaybr 0 x 0 y 则直线 AB 的方程为 2 00 xa xayb ybr 6 当点在圆外时 可设切方程为 利用圆心到直线距离等于半径 00 yxP 00 xxkyy 即 求出 或利用 求出 若求得只有一值 则还有一条斜率不存在的直线rd k0 kk 0 xx 17 把两圆与方程相减0 111 22 FyExDyx0 222 22 FyExDyx 即得相交弦所在直线方程 0 212121 FFyEExDD 18 空间两点间的距离公式 空间两点间的距离公式 若 则A 111 x y zB 222 xyzAB 222 212121 xxyyzz 19 对称问题 对称问题 1 中心对称 点关于点对称 点关于的对称点 11 yxA 00 yxM 2 2 1010 yyxxA 直线关于点对称 法 1 在直线上取两点 利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标 由两点式求直线方程 法 2 求出一个对称点 在利用由点斜式得出直线方程 21 l l 2 轴对称 点关于直线对称 点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数 点与对称点的中点在直线上 点关于直线 对称 AA l lAA lAA lAA kk lAA 1 直线关于直线对称 设关于 对称 ba l 法 1 若相交 求出交点坐标 并在直线上任取一点 求该点关于直线 的对称点 ba al 若 则 且与 的距离相等 la lb ba l 法 2 求出上两个点关于 的对称点 在由两点式求出直线的方程 aBA l 3 点 a b 关于 x 轴对称 a b 关于 y 轴对称 a b 关于原点对称 a b 点 a b 关于直线 y x 对称 b a 关于 y x 对称 b a 关于 y x m 对称 b m a m 关于 y x m 对称 b m a m 20 若 则 ABC 的重心 G 的坐标是 332211 yxCyxByxA 33 321321 yyyxxx 21 各种角的范围 各种角的范围 1 两个向量的夹角 1800 2 直线的倾斜角 两条相交直线的夹角 1800 900 3 两条异面线所成的角 直线与平面所成的角 900 900 斜线与平面所成的角 二面角 900 1800 一 选择题 1 文 2010 山东潍坊 若圆 C 的半径为 1 圆心在第一象限 且与直线 4x 3y 0 和 x 轴都相切 则该 圆的标准方程是 A x 3 2 2 1 y 7 3 B x 2 2 y 1 2 1 C x 1 2 y 3 2 1 D 2 y 1 2 1 x 3 2 理 2010 厦门三中阶段训练 以双曲线 1 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程 x2 6 y2 3 是 A x2 y2 2x 2 0 B x 3 2 y2 9 3 C x2 y2 2x 2 0 D x 3 2 y2 3 3 2 已知两点 A 1 0 B 0 2 点 P 是圆 x 1 2 y2 1 上任意一点 则 PAB 面积的最大值与最小值 分别是 A 2 4 B 4 4 1 25 1 25 1 25 C 4 D 2 2 55 1 25 1 25 3 文 2010 延边州质检 已知圆 x 1 2 y 1 2 1 上一点 P 到直线 3x 4y 3 0 距离为 d 则 d 的最 小值为 A 1 B 4 5 C D 2 2 5 理 2010 安徽合肥六中 已知圆 C 的方程为 x2 y2 2x 2y 1 0 当圆心 C 到直线 kx y 4 0 的距 离最大时 k 的值为 A B 1 3 1 5 C D 1 3 1 5 4 方程 x2 y2 4mx 2y 5m 0 表示的圆的充要条件是 A m1 1 4 C m D m1 1 4 1 4 5 2010 北京海淀区 已知动圆 C 经过点 F 0 1 并且与直线 y 1 相切 若直线 3x 4y 20 0 与圆 C 有公共点 则圆 C 的面积 A 有最大值 B 有最小值 C 有最大值 4 D 有最小值 4 6 文 已知 a b 且 a2sin acos 0 b2sin bcos 0 则连结 a a2 b b2 两点的直线与 4 4 单位圆的位置关系是 A 相交 B 相切 C 相离 D 不能确定 7 2010 吉林省质检 圆 x2 y2 2x 6y 5a 0 关于直线 y x 2b 成轴对称图形 则 a b 的取值范围 是 A 4 B 0 C 4 D 4 9 文 已知不等式组Error 表示的平面区域恰好被面积最小的圆 C x a 2 y b 2 r2 及其内部所覆 盖 则圆 C 的方程为 A x 1 2 y 2 2 5 B x 2 2 y 1 2 8 C x 4 2 y 1 2 6 D x 2