相似三角形培优训练

个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 1 相似三角形分类提高训练相似三角形分类提高训练 一 相似三角形中的动点问题一 相似三角形中的动点问题 1 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 3 BC 4 过点 B 作射线 BB1 AC 动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动 同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动 过点 D 作 DH AB 于 H 过点 E 作 EF AC 交射线 BB1 于 F G 是 EF 中点 连接 DG 设点 D 运动的时间为 t 秒 1 当 t 为何值时 AD AB 并求出此时 DE 的长度 2 当 DEG 与 ACB 相似时 求 t 的值 2 如图 在 ABC 中 ABC 90 AB 6m BC 8m 动点 P 以 2m s 的速度从 A 点出发 沿 AC 向点 C 移动 同时 动点 Q 以 1m s 的速度从 C 点出发 沿 CB 向点 B 移动 当其中有一点到达终点时 它 们都停止移动 设移动的时间为 t 秒 1 当 t 2 5s 时 求 CPQ 的面积 求 CPQ 的面积 S 平方米 关于时间 t 秒 的函数解析式 2 在 P Q 移动的过程中 当 CPQ 为等腰三角形时 求出 t 的值 3 如图 1 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 点 D 在边 AB 上运动 DE 平分CDB 交边 BC 于点 E EM BD 垂足为 M EN CD 垂足为 N 1 当 AD CD 时 求证 DE AC 2 探究 AD 为何值时 BME 与 CNE 相似 4 如图所示 在 ABC 中 BA BC 20cm AC 30cm 点 P 从 A 点出发 沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动 同时点 Q 从 C 点出发 沿 CA 以每秒 3cm 的 速度向 A 点运动 当 P 点到达 B 点时 Q 点随之停止运动 设运动的时间为 x 1 当 x 为何值时 PQ BC 2 APQ 与 CQB 能否相似 若能 求出 AP 的长 若不能说明理由 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 2 5 如图 在矩形 ABCD 中 AB 12cm BC 6cm 点 P 沿 AB 边从 A 开始向点 B 以 2cm s 的速度移动 点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm s 的速度移动 如果 P Q 同时出发 用 t s 表示移动的时间 0 t 6 1 当 t 为何值时 QAP 为等腰直角三角形 2 当 t 为何值时 以点 Q A P 为顶点的三角形与 ABC 相似 二 构造相似辅助线二 构造相似辅助线 双垂直模型双垂直模型 6 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 的坐标为 2 1 正比例函数 y kx 的图象与 线段 OA 的夹角是 45 求这个正比例函数的表达式 7 在 ABC 中 AB AC 4 BC 2 以 AB 为边在 C 点的异侧作 ABD 使 ABD 为等腰直角三角形 求线段 CD 的长 8 在 ABC 中 AC BC ACB 90 点 M 是 AC 上的一点 点 N 是 BC 上的一点 沿 着直线 MN 折叠 使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点 求证 MC NC AP PB 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 3 9 如图 在直角坐标系中 矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上 边 OC 在 y 轴上 点 B 的坐标为 1 3 将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置 且 AD 交 y 轴于点 E 那么 D 点的坐标为 A B C D 10 已知 如图 直线 y 2x 2 与坐标轴交于 A B 两点 以 AB 为短边在第一象限做一个矩形 ABCD 使得矩形的两边之比为 1 2 求 C D 两点的坐标 三 三 构造相似辅助线构造相似辅助线 A A X X 字型字型 11 如图 ABC 中 D 是 AB 上一点 AD AC BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F 求证 12 四边形 ABCD 中 AC 为 AB AD 的比例中项 且 AC 平分 DAB 求证 13 在梯形 ABCD 中 AB CD AB b CD a E 为 AD 边上的任意一点 EF AB 且 EF 交 BC 于点 F 某同学在研究这一问题时 发现如下事实 1 当时 EF 2 当时 EF 3 当时 EF 当时 参照上述研究结论 请你猜想用 a b 和 k 表示 EF 的一般结论 并给出证明 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 4 14 已知 如图 在 ABC 中 M 是 AC 的中点 E F 是 BC 上的两点 且 BE EF FC 求 BN NQ QM 15 证明 1 重心定理 三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 注 重心是三角 形三条中线的交点 2 角平分线定理 三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的 两邻边对应成比例 四 四 相似类定值问题相似类定值问题 16 如图 在等边 ABC 中 M N 分别是边 AB AC 的中点 D 为 MN 上任意一点 BD CD 的延长线 分别交 AC AB 于点 E F 求证 17 已知 如图 梯形 ABCD 中 AB DC 对角线 AC BD 交于 O 过 O 作 EF AB 分别交 AD BC 于 E F 求证 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 5 18 如图 在 ABC 中 已知 CD 为边 AB 上的高 正方形 EFGH 的四个顶点分别在 ABC 上 求证 19 已知 在 ABC 中作内接菱形 CDEF 设菱形的边长为 a 求证 五 五 相似之共线线段的比例问题相似之共线线段的比例问题 20 1 如图 1 点在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上 一直线过点 P 分别交 BA BC 的延长线于 点 Q S 交于点 求证 2 如图 2 图 3 当点在平行 四边形 ABCD 的对角线或的延长线上 时 是否仍然成立 若成立 试给出证明 若不成立 试说明理由 要求仅以图 2 为 例进行证明或说明 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 6 21 已知 如图 ABC 中 AB AC AD 是中线 P 是 AD 上一点 过 C 作 CF AB 延长 BP 交 AC 于 E 交 CF 于 F 求证 BP2 PE PF 22 如图 已知 ABC中 AD BF 分别为 BC AC 边上的高 过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E 交 BF 于 G 交 AC 延长线于 H 求证 DE2 EG EH 23 已知如图 P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点 过 P 的直线与 AD BC CD 的延长线 AB 的延长线分别相交于点 E F G H 求证 24 已知 如图 锐角 ABC 中 AD BC 于 D H 为垂心 三角形三条高线的交点 在 AD 上有一点 P 且 BPC 为直角 求证 PD2 AD DH 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 7 六 六 相似之等积式类型综合相似之等积式类型综合 25 已知如图 CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高 E 为 BC 的中点 ED 的延长线交 CA 于 F 求证 26 如图 在 Rt ABC 中 CD 是斜边 AB 上的高 点 M 在 CD 上 DH BM 且与 AC 的延长线交于点 E 求证 1 AED CBM 2 27 如图 ABC 是直角三角形 ACB 90 CD AB 于 D E 是 AC 的中点 ED 的 延长线与 CB 的延长线交于点 F 1 求证 2 若 G 是 BC 的中点 连接 GD GD 与 EF 垂直吗 并说明理由 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 8 28 如图 四边形 ABCD DEFG 都是正方形 连接 AE CG AE 与 CG 相交于点 M CG 与 AD 相交于点 N 求证 29 如图 BD CE 分别是 ABC 的两边上的高 过 D 作 DG BC 于 G 分别交 CE 及 BA 的延长线于 F H 求证 1 DG2 BG CG 2 BG CG GF GH 七 七 相似基本模型应用相似基本模型应用 30 ABC 和 DEF 是两个等腰直角三角形 A D 90 DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上 1 如图 1 设 DE 与 AB 交于点 M EF 与 AC 交于点 N 求证 BEM CNE 2 如图 2 将 DEF 绕点 E 旋转 使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M EF 与 AC 交于点 N 于是 除 1 中的一对相似三角形外 能否再找出一对相似三角形并证明你的结论 31 如图 四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形 点 R 为 DE 的中点 BR 分别交 AC CD 于点 P Q 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 9 1 请写出图中各对相似三角形 相似比为 1 除外 2 求 BP PQ QR 32 如图 在 ABC 中 AD BC 于 D DE AB 于 E DF AC 于 F 求证 答案 1 答案 答案 解 1 ACB 90 AC 3 BC 4 AB 5 又 AD AB AD 5t t 1 此时CE 3 DE 3 3 5 1 2 如图当点D 在点 E 左侧 即 0 t 时 DE 3t 3 5t 3 2t 若 DEG 与 ACB 相似 有两种情况 DEG ACB 此时 即 求得 t DEG BCA 此时 即 求得 t 如图 当点D 在点 E 右侧 即 t 时 DE 5t 3t 3 2t 3 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 10 若 DEG 与 ACB 相似 有两种情况 DEG ACB 此时 即 求得 t DEG BCA 此时 即 求得 t 综上 t的值为或或或 3 答案 答案 解 1 证明 AD CD A ACD DE平分CDB 交边 BC 于点 E CDE BDE CDB 为 CDB 的一个外角 CDB A ACD 2 ACD CDB CDE BDE 2 CDE ACD CDE DE AC 2 NCE MBE EM BD EN CD BME CNE 如图 NCE MBE BD CD 又 NCE ACD MBE A 90 ACD A AD CD AD BD AB 在Rt ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 AB 10 AD 5 NCE MEB EM BD EN CD BME ENC 如图 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 11 NCE MEB EM CD CD AB 在Rt ABC 中 ACB 90 AC 6 BC 8 AB 10 A A ADC ACB ACD ABC 综上 AD 5或时 BME 与 CNE 相似 4 答案 答案 解 1 由题意 AP 4x CQ 3x AQ 30 3x 当PQ BC 时 即 解得 2 能 AP cm 或 AP 20cm APQ CBQ 则 即 解得 或 舍 此时 AP cm APQ CQB 则 即 解得 符合题意 此时 AP cm 故AP cm 或 20cm 时 APQ 与 CQB 能相似 5 答案 答案 解 设运动时间为 t 则 DQ t AQ 6 t AP 2t BP 12 2t 1 若 QAP 为等腰直角三角形 则 AQ AP 即 6 t 2t t 2 符合题意 t 2时 QAP 为等腰直角三角形 2 B QAP 90 当 QAP ABC时 即 解得 符合题意 当 PAQ ABC时 即 解得 符合题意 当或时 以点 Q A P 为顶点的三角形与 ABC 相似 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 12 6 答案 答案 解 分两种情况 第一种情况 图象经过第一 三象限 过点A 作 AB OA 交待求直线于点 B 过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C 过点 B 作 BD AC 则由上可知 90 由双垂直模型知 OCA ADB A 2 1 45 OC 2 AC 1 AO AB AD OC 2 BD AC 1 D点坐标为 2 3 B点坐标为 1 3 此时正比例函数表达式为 y 3x 第二种情况 图象经过第二 四象限 过点A 作 AB OA 交待求直线于点 B 过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C 过点 B 作 BD AC 则由上可知 90 由双垂直模型知 OCA ADB A 2 1 45 OC 1 AC 2 AO AB AD OC 1 BD AC 2 D点坐标为 3 1 B点坐标为 3 1 此时正比例函数表达式为 y x 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 13 7 答案 答案 解 情形一 情形二 情形三 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 14 8 答案 答案 证明 方法一 连接PC 过点 P 作 PD AC 于 D 则 PD BC 根据折叠可知MN CP 2 PCN 90 PCN CNM 90 2 CNM CDP NCM 90 PDC MCN MC CN PD DC PD DA MC CN DA DC PD BC DA DC PA PB MC CN PA PB 方法二 如图 过M 作 MD AB 于 D 过 N 作 NE AB 于 E 由双垂直模型 可以推知 PMD NPE 则 根据等比性质可知 而 MD DA NE EB PM CM PN CN MC CN PA PB 9 答案 答案 A 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 15 解题思路 解题思路 如图 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延长线于点 M 交 x 轴于点 N 则 M DNA 90 由于折叠 可以得到 ABC ADC 又由 B 1 3 BC DC 1 AB AD MN 3 CDA B 90 1 2 90 DNA 90 3 2 90 1 3 DMC AND 设 CM x 则 DN 3x AN 1 x DM 3x 3 x 则 答案为A 10 答案 答案 解 过点C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G 过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F 交 GC 的延长线于 E 直线y 2x 2 与坐标轴交于 A B 两点 A 1 0 B 0 2 OA 1 OB 2 AB AB BC 1 2 BC AD ABO CBG 90 ABO BAO 90 CBG BAO 又 CGB BOA 90 OAB GBC 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 16 GB 2 GC 4 GO 4 C 4 4 同理可得 ADF BAO 得 DF 2 AF 4 OF 5 D 5 2 11 答案 答案 证明 方法一 如图 延长AE 到 M 使得 EM AE 连接 CM BE CE AEB MEC BEA CEM CM AB 1 B AB CM M MAD MCF ADF MCF ADF CM AB AD AC 方法二 过D 作 DG BC 交 AE 于 G 则 ABE ADG CEF DGF AD AC BE CE 12 答案 答案 证明 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 17 过点D 作 DF AB 交 AC 的延长线于点 F 则 2 3 AC平分 DAB 1 2 1 3 AD DF DEF BEA 2 3 BEA DEF AD DF AC为 AB AD 的比例中项 即 又 1 2 ACD ABC 13 答案 答案 解 证明 过点E 作 PQ BC 分别交 BA 延长线和 DC 于点 P 和点 Q AB CD PQ BC 四边形PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形 PB EF CQ 又 AB b CD a AP PB AB EF b DQ DC QC a EF 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 18 14 答案 答案 解 连接MF M是 AC 的中点 EF FC MF AE且 MF AE BEN BFM BN BM BE BF NE MF BE EF BN BM NE MF 1 2 BN NM 1 1 设NE x 则 MF 2x AE 4x AN 3x MF AE NAQ MFQ NQ QM AN MF 3 2 BN NM 1 1 NQ QM 3 2 BN NQ QM 5 3 2 15 答案 答案 证明 1 如图1 AD BE 为 ABC 的中线 且 AD BE 交于点 O 过点C 作 CF BE 交 AD 的延长线于点 F CF BE且 E 为 AC 中点 AEO ACF OBD FCD AC 2AE EAO CAF AEO ACF D为 BC 的中点 ODB FDC BOD CFD BO CF 同理 可证另外两条中线 三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 19 2 如图2 AD 为 ABC 的角平分线 过点C 作 AB 的平行线 CE 交 AD 的延长线于 E 则 BAD E AD为 ABC 的角平分线 BAD CAD E CAD AC CE CE AB BAD CED 16 答案 答案 证明 如图 作DP AB DQ AC 则四边形MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且 DPQ 是等边三角形 BP CQ MN DP DQ PQ M N分别是边 AB AC 的中点 MN BC PQ DP AB DQ AC CDP CFB BDQ BEC DP DQ PQ BC AB AB 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 20 17 答案 答案 证明 EF AB AB DC EF DC AOE ACD DOE DBA 18 答案 答案 证明 EF CD EH AB AFE ADC CEH CAB EF EH 19 答案 答案 证明 EF AC DE BC BFE BCA AED ABC EF DE a 20 答案 答案 1 证明 在平行四边形 ABCD 中 AD BC DRP S RDB DBS DRP BSP 同理由AB CD 可证 PTD PQB 2 证明 成立 理由如下 在平行四边形ABCD 中 AD BC 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 21 PRD S RDP DBS DRP BSP 同理由AB CD 可证 PTD PQB 21 答案 答案 证明 AB AC AD是中线 AD BC BP CP 1 2 又 ABC ACB 3 4 CF AB 3 F 4 F 又 EPC CPF EPC CPF BP2 PE PF 即证所求 22 答案 答案 证明 DE AB 90 90 ADE DBE DE2 BF AC 90 90 且 BEG HEA 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 22 DE2 EGEH 23 答案 答案 证明 四边形ABCD 为平行四边形 AB CD AD BC 1 2 G H 5 6 PAH PCG 又 3 4 APE CPF 24 答案 答案 证明 如图 连接 BH 交 AC 于点 E H为垂心 BE AC EBC BCA 90 AD BC于 D DAC BCA 90 EBC DAC 又 BDH ADC 90 BDH ADC 即 BPC 为直角 AD BC PD2 BDDC PD2 ADDH 25 答案 答案 证明 CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高 E 为 BC 的中点 CE EB DE 个性化辅导精品一对一讲义个性化辅导精品一对一讲义 学生学生 23 B BDE FDA B CAB 90 ACD CAB 90 B ACD FDA ACD F F FDA FCD ADC CDB 90 B ACD ACD CBD 即 26 答案 答案 证明 1 ACB ADC 90 A ACD 90 BCM ACD 90 A BCM 同理可得 MDH MBD CMB CDB MBD 90 MBD ADE ADC MDH 90 MDH ADE CMB