江苏省邳州市第二中学高三数学 第9课时 函数的值域复习学案 苏教版

1 江苏省邳州市第二中学高三数学复习 第江苏省邳州市第二中学高三数学复习 第 9 9 课时课时 函数的值域学案函数的值域学案 苏教版苏教版 一 课题 二 教学目标 理解函数值域的意义 掌握常见题型求值域的方法 了解函数值域的一些应用 三 教学重点 求函数的值域 四 教学过程 一 主要知识 1 函数的值域的定义 2 确定函数的值域的原则 3 求函数的值域的方法 二 主要方法 范例分析以后由学生归纳 求函数的值域的方法常用的有 直接法 配方法 判别式法 基本不等式法 逆求法 反函 数法 换元法 图像法 利用函数的单调性 奇偶性求函数的值域等 三 例题分析 例 1 求下列函数的值域 1 2 3 2 32yxx 2 65yxx 31 2 x y x 4 5 6 4 1yxx 2 1yxx 1 4 yxx 7 8 9 2 2 22 1 xx y xx 2 211 212 xx yx x 1 sin 2cos x y x 解 1 一 公式法 略 二 配方法 22 12323 323 61212 yxxx 的值域为 2 32yxx 23 12 改题 求函数 的值域 2 32yxx 1 3 x 解 利用函数的单调性 函数在上单调增 2 32yxx 1 3 x 当时 原函数有最小值为 当时 原函数有最大值为 1x 43x 26 函数 的值域为 2 32yxx 1 3 x 4 26 2 求复合函数的值域 设 则原函数可化为 2 65xx 0 y 又 故 22 65 3 44xxx 04 0 2 的值域为 2 65yxx 0 2 3 法一 反函数法 的反函数为 其定义域为 31 2 x y x 21 3 x y x 3 xR x 原函数的值域为 31 2 x y x 3 yR y 法二 分离变量法 313 2 77 3 222 xx y xxx 7 0 2x 7 33 2x 函数的值域为 31 2 x y x 3 yR y 2 4 换元法 代数换元法 设 则 10tx 2 1xt 原函数可化为 22 14 2 5 0 ytttt 5y 原函数值域为 5 说明 总结型值域 变形 或yaxbcxd 22 yaxbcxd 2 yaxbcxd 5 三角换元法 设 2 1011xx cos 0 x 则cossin2sin 4 y 0 5 444 2 sin 1 42 2sin 1 2 4 原函数的值域为 1 2 6 数形结合法 函数值域为 23 4 1 4 5 41 23 1 xx yxxx xx 5y 5 7 判别式法 恒成立 函数的定义域为 2 10 xx R 由得 2 2 22 1 xx y xx 2 2 1 20yxyxy 当即时 即 20y 2y 300 x 0 xR 当即时 时方程恒有实根 20y 2y xR 2 2 1 20yxyxy 且 22 1 4 2 0yy A15y 2y 原函数的值域为 1 5 8 2 1 21 21 1111 2 1 21212122 2 xxxx yxx xxx x 当且仅当 1 2 x 1 0 2 x 11 11 22 2 2 11 22 22 xx xx 时 即时等号成立 原函数的值域 1 1 2 1 2 2 x x 12 2 x 1 2 2 y 为 1 2 2 9 法一 方程法 原函数可化为 sincos1 2xyxy 3 其中 2 1sin 1 2yxy 22 1 cos sin 11 y yy 2 1 2 sin 1 1 1 y x y 2 1 2 1yy 2 340yy 4 0 3 y 原函数的值域为 4 0 3 法二 数形结合法 可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围 解略 2 1 22 1xy 例 2 若关于的方程有实数根 求实数的取值范围 x 3 2 22 3 x a a 解 原方程可化为 3 2 22 3 x a 令 则 又 在区间上是减函数 3 2 x t 01t 2 2 3af tt af t 0 1 即 1 0 ff tf 2 1f t 故实数的取值范围为 a21a 例 3 高考计划 考点 9 智能训练 16 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额 拟在A 2003 年度进行一系列的促销活动 经过市场调查和测算 化妆品的年销量万件与年促销费用 万xt 元之间满足 与成反比例 如果不搞促销活动 化妆品的年销量只能是 1 万件 0 t 3x 1t 已知 2003 年 生产化妆品的固定投入为 3 万元 每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元 当将每 件化妆品的售价定为 年平均每件成本的 150 与 年平均每件所占促销费的一半 之和 则当 年产销量相等 1 将 2003 年的年利润万元表示为年促销费 万元的函数 yt 2 该企业 2003 年的促销费投入多少万元时 企业的年利润最 大 注 利润 收入 生产成本 促销费 解 1 由题设知 且时 即 3 1 k x t 0t 1x 2k 2 3 1 x t 年生产成本为万元 年收入为 2 32 3 3 1t 21 150 32 3 3 12 t t 年利润 212 150 32 3 3 32 3 3 0 121 ytt t tt 2 9835 0 2 1 tt yt t 2 由 1 得 2 1 100 1 64132132 50 50242 2 1 2121 tttt y ttt 当且仅当 即时 有最大值 132 21 t t 7t y42 当促销费定为万元时 年该化妆品企业获得最大利润 7200