2012届高考数学知识梳理复习题8

用心 爱心 专心1 第第 1 1 讲讲 数列的概念数列的概念 知 识 梳理 1 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列 数列中的每个数称为该数列的 项 2 通项公式 如果数列的第n项与序号之间可以用一个式子表示 那么这个公式 n a 叫做这个数列的通项公式 即 nfan 3 递推公式 如果已知数列的第一项 或前几项 且任何一项 n a与它的前一项 n a 1 n a 或前几项 间的关系可以用一个式子来表示 即 1 nn afa或 21 nnn aafa 那么这个式子叫做数列的递推公式 如数列中 12 1 1 nn aaa 其中 n a n a 12 nn aa是数列的递推公式 n a 4 数列的前n项和与通项的公式 nn aaaS 21 2 1 1 1 nSS nS a nn n 5 数列的表示方法 解析法 图像法 列举法 递推法 6 数列的分类 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数数列 有界数列 无界数列 递增数列 对于任何 Nn 均有 nn aa 1 递减数列 对于任何 Nn 均有 nn aa 1 摆动数列 例如 1 1 1 1 1 常数数列 例如 6 6 6 6 有界数列 存在正数M使 NnMan 无界数列 对于任何正数M 总有项使得Man n a 重 难 点 突 破 1 重点 理解数列的概念和几种简单表示方法 掌握数列的通项公式的求法 2 难点 用函数的观点理解数列 3 重难点 正确理解数列的概念 掌握数列通项公式的一般求法 求数列的通项 判断单调性 求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性 用心 爱心 专心2 质 问题 1 已知是数列的前n项和 11 NnaSS nnn 则此数列是 n S n a A 递增数列 B 递减数列 C 常数数列 D 摆动数列 分析 将已知条件转化为数列项之间的关系 根据数列单调性作出判定 解析 11 nnn aSS 2 1 naSS nnn 两式相减 得 nnnn aaaa 11 2 0 nan 当1 n时 0 12211 aaaaa 0 Nnan 选 C 问题 2 数列中 2007 2006 n n an 则该数列前 100 项中的最大项与最小项分别 n a 是 A 501 a a B 441 a a C 4445 a a D 5045 a a 分析 由已知条件判定数列单调性 注意n的取值范围 解析 2007 20062007 1 2007 2006 nn n an 44 1 n时 n a递减 45n时 n a递减 结合图象 选 C 热 点 考 点 题 型 探 析 考点 1 数列的通项公式 题型 1 已知数列的前几项 求通项公式 例 1 求下列数列的一个通项公式 33 17 9 5 3 0 7 1 0 5 1 0 3 1 0 1 99 10 63 8 35 6 15 4 3 2 21 15 10 6 3 1 解题思路 写出数列的通项公式 应注意观察数列中 n a和n的联系与变化情况 应 特别注意 自然数列 正奇数列 正偶数列 n 1 和相关数列 等差 等比数列 以及 由它们组成的数列 从中找出规律性 并分别写出通项公式 解析 联想数列 32 16 8 4 2 即数列 n 2 可得数列的通项公式12 n n a 用心 爱心 专心3 将原数列改写为 8 0 7 1 6 0 5 1 4 0 3 1 2 0 1 1 分母分别为 5 4 3 2 1 分子分别为 1 0 1 0 1 呈周期性变化 可以用 2 sin n 或 2 1 cos n 或 2 1 1 1 n 表示 n n an 2 sin 或 n n an 2 1 cos 或 n a n n 2 1 1 1 分子为正偶数列 分母为 119 97 75 53 31 得 12 12 2 nn n an 观察数列可知 4321 321 21 1 4321 aaaa 2 1 321 54321 4321 54 nn naaa n 本题也可以利用关系式naa nn 1 求解 名师指引 联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法 求数列的通项公式 应运用观察 分析 归纳 验证的方法 易错之处在于每个数 列由前几项找规律不准确 以及观察 分析 归纳 验证这四个环节做的不够多 应注意 对每一数列认真找出规律和验证 题型 2 已知数列的前n项和 求通项公式 例 2 已知下列数列的前n项和 分别求它们的通项公式 n a n S n a nnSn32 2 13 n n S 解题思路 利用 2 1 1 1 nSS nS a nn n 这是求数列通项的一个重要公式 解析 当1 n时 51312 2 11 Sa 当2 n时 1 3 1 2 32 22 1 nnnnSSa nnn 14 n 当1 n时 1 5114a 14 nan 当1 n时 413 11 Sa 当2 n时 11 1 32 13 13 nnn nnn SSa 当1 n时 1 11 232a 2 32 1 4 1 n n a n n 用心 爱心 专心4 名师指引 任何一个数列 它的前n项和与通项都存在关系 n S n a 2 1 1 1 nSS nS a nn n 若适合 则把它们统一起来 否则就用分段函数表示 1 a n a 题型 3 已知数列的递推式 求通项公式 例 3 数列中 求 并归纳出 n a 2 2 2 1 1 1 1 n a a aa n n n5432 aaaa n a 解题思路 已知的递推公式求前几项 可逐步计算 n a 1 nn afa 解析 2 2 2 1 1 1 1 n a a aa n n n 3 2 2 2 1 1 2 a a a 4 2 2 2 2 2 3 a a a 5 2 2 2 3 3 4 a a a 6 2 2 2 4 4 5 a a a 由 可以归纳出 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 n an 名师指引 由递推公式求通项 可以考虑 归纳 猜想 证明 的方法 也可以构造 新数列 新题导练 1 已知有穷数列 72 11 7 5 n 其中后一项比前一项大 2 求此数列的通项公式 94 n是否为此数列的项 解析 设数列的第k项为 k a 则32 2 25 kkak 令23232 nkkn 故该数列的通项公式 2 3 2 1 32 nkkak 令3294 kn 解得32 nk 232 nn 94 n不是有穷数列的项 2 数列中 2 321 Nnnaaaa n 求 53 aa 的值 n a 解析 由 2 321 Nnnaaaa n 得 当1 n时 1 1 a 当2 n时 2 1321 1 naaaa n 两式相除 得 2 1 2 2 n n n an 16 25 4 9 53 aa 16 61 53 aa 3 数列中 12 1 11 nn aaa 求 并归纳出 n a 5432 aaaa n a 用心 爱心 专心5 解析 12 1 11 nn aaa 312 12 aa 712 23 aa 1512 34 aa 3112 45 aa 由 1231 1215 127 123 121 54321 可以归纳出 1 2 n an 考点 2 与数列的通项公式有关的综合问题 题型 1 已知数列通项公式 求项数及最大 最小 项 例 4 数列中 45 2 nnan n a 18是数列中的第几项 n为何值时 n a有最小值 并求最小值 解题思路 数列的通项 n a与n之间构成二次函数 可结合二次函数知识去探求 解析 由01451845 22 nnnn 解得7 n 18是数列中的第7项 4 9 2 5 45 22 nnnan Nn 2 n或3 n时 25242 2 min n a 名师指引 利用二次函数知识解决数列问题时 必须注意其定义域n为正整数 题型 2 已知数列通项公式 判断数列单调性及有界性 例 5 数列中 1 2 2 n n an n a 求数列的最小项 n a 判断数列是否有界 并说明理由 n a 解题思路 转化为判断数列的单调性 即证 1 nn aa 或 1 nn aa 从 数 列的有界性 定义入手 解析 11 1 1 2 2 2 2 1 n n n n aa nn 0 1 1 12 1 1 1 1 1 1 222 2222 n n nn nnnn 1 nn aa 数列是递增数列 数列的最小项为 2 1 1 a n a n a 1 1 1 1 22 2 nn n an 数列有界 n a 用心 爱心 专心6 名师指引 数列是特殊的函数 判断函数的单调性 有界性的方法同样适用于数列 新题导练 4 数列中 1283 2 nnan 求 n a取最小值时n的值 n a 解析 3 193 3 14 31283 2 2 nnnan 5 n时 n a取最小值 5 数列中 2 2 nnan 求数列的最大项和最小项 n a n a 解析 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 nn nn nn nn a a n n 又02 2 nnan 1 nn aa 数列是递增数列 n a 数列的最小项为31 1 a 没有最大项 n a 抢 分 频 道 基础巩固训练 1 设数列 14 11 22 5 2 则24是这个数列的 A 第 9 项 B 第 10 项 C 第 11 项 D 第 12 项 解析 C 111 323224 选 C 2 2008 年华师附中 数列的前n项和为 n S 且1 2 2 2 1 aaSS nnn 则数列 n a 的首项为 n a A 1或2 B 1 C 2 D 1 或2 解析 D 1 2 2 2 1 aaSS nnn 中令1 n 得 2 111 1 2aaa 1 a1 或 2 3 2009 恩城中学 已知定义在正整数集上的函数 xf满足条件 1 2f 2 2f 2 1 f nf nf n 则 2009 f的值为 A 2 B 2 C 4 D 4 解析 B 利用数列的周期性 周期为 4 2 1 14505 2009 fff 4 数列 1132 2 nn中数值最大的项是第 项 解析 3 5 2009 恩城中学文 观察下式 用心 爱心 专心7 1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72 则可得出一般结论 解析 12 23 2 1 2 nnnnn 6 数列中 nnn aaa 12 5 2 21 aa 则 2009 a的值是 n a A 2 B 2 C 5 D 5 解析 C 利用数列的周期性 除前 4 项后 周期为 6 5 51633842009 aaa 综合拔高训练 7 2009 恩城中学 节选 已知数列 n a的首项 1 1 2 a 其前n项和 2 1 nn Sn an 求 数列 n a 的通项公式 解析 由 1 1 2 a 2 nn Sn a 2 11 1 nn Sna 得 22 11 1 nnnnn aSSn ana 即 1 1 2 1 n n an n an 132 11221 nnn nn aaaaa aaaaa 122 12 14 3 1 nn nnn n 1 1 n a n n 8 设数列的第n项 n a是二次函数 35 15 5 321 aaa 求 4 a n a 解析 设cbnanan 2 由5 5 5 3539 1524 5 cba cba cba cba 555 2 nnan 6554545 2 4 a 9 数列中 19 299 2 2 n nn an n a 求这个数列的第 10 项 100 99 是否为该数列的项 为什么 求证 1 0 n a 在区间 3 2 3 1 内有无数