江苏省连云港市新海高级中学2012-2013学年高三数学上学期12月月考试卷 理（解析版）苏教版

1 2012 20132012 2013 学年江苏省连云港市新海高级中学高三 上 学年江苏省连云港市新海高级中学高三 上 1212 月月考月月考 数学试卷 理科 数学试卷 理科 一 填空题 一 填空题 1 5 分 已知两条直线 m n 两个平面 给出下面四个命题 m n m n m n m n m n m n m n m n 其中真命题的序号 考点 命题的真假判断与应用 专题 证明题 分析 由已知利用线面垂直的性质可得 n 因此正确 利用两个平行平面内的两条直线平行或是异面直线即可判断出 由已知和线面的位置关系 m n m 可得 n 或 n 即可判断出 利用线面垂直的性质 m n m 可得 n 再利用面面平行的性质 可得 n 即可 解答 解 m n m 由线面垂直的性质可得 n 因此正确 可知两个平行平面内的两条直线平行或是异面直线 因此不一定平行 故不正确 m n m n 或 n 故不正确 m n m n 又 n 故正确 综上可知 只有 正确 故答案为 点评 正确理解线线 线面的位置关系 判定定理和性质定理是解题的关键 2 5 分 2012 江苏 设 a b R a bi i 为虚数单位 则 a b 的值为 8 考点 复数代数形式的乘除运算 复数相等的充要条件 专题 计算题 分析 由题意 可对复数代数式分子与分母都乘以 1 2i 再由进行计算即可得到 a bi 5 3i 再由复数相等的充分条件即可得到 a b 的值 从而得到所求的答案 解答 解 由题 a b R a bi 2 所以 a 5 b 3 故 a b 8 故答案为 8 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭 复 数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌握 复数相等的充分条件是将复数 运算转化为实数运算的桥梁 解题时要注意运用它进行转化 3 5 分 2013 烟台二模 在平面直角坐标系中 若不等式组 a 为常数 所表示的平面区域内的面积等于 2 则 a 3 考点 简单线性规划 分析 先根据约束条件 a 为常数 画出可行域 求出可行域顶点的坐标 再利用几何意义求关于面积的等式求出 a 值即可 解答 解 当 a 0 时 不等式组所表示的平面区域 如图中的 M 一个无限的角形区域 面积不可能为 2 故只能 a 0 此时不等式组所表示的平面区域如图中的 N 区域为三角形区域 若这个三角形的面积为 2 则 AB 4 即点 B 的坐标为 1 4 代入 y ax 1 得 a 3 故答案为 3 点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组 以及简单的转化思想和数形结合的 思想 属中档题 4 5 分 2010 盐城三模 已知函数 则的值 为 考点 二倍角的正弦 同角三角函数基本关系的运用 二倍角的余弦 3 专题 计算题 分析 利用公式 tanx sin2 2sin cos cos2 2cos2 1 即可化简求值 解答 解 因为 f x 所以 f 点评 本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式 5 5 分 2010 江苏二模 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 给出以下四个结论 D1C 平面 A1ABB1 A1D1与平面 BCD1相交 AD 平面 D1DB 平面 BCD1 平面 A1ABB1 上面结论中 所有正确结论的序号为 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 专题 综合题 分析 可由线面平行的定义判断 可由公理三判断 可由线面垂直的判定定 理判断 可由面面垂直的判定定理判断 解答 解 对于 由于平面 A1ABB1 平面 CDC1D1 而 D1C 平面 CDC1D1 故 D1C 与平面 A1ABB1没有公共点 所以 D1C 平面 A1ABB1正确 对于 由于 A1D1 BC 所以 A1D1 平面 BCD1 错误 对于 只有 AD D1D AD 与平面 BCD1内其他直线不垂直 错误 对于 容易证明 BC 平面 A1ABB1 而 BC 平面 BCD1 故平面 BCD1 平面 A1ABB1 正确 故答案为 点评 本题考查直线与平面的位置关系中的直线在平面内的判定 直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 解题时要牢记这些判定定理的条 件 4 6 5 分 存在 x 0 使得不等式 x2 2 x t 成立 则实数 t 的取值范围是 2 考点 绝对值不等式 专题 计算题 分析 本题利用纯代数讨论是很繁琐的 要用数形结合 原不等式 x2 2 x t 即 x t 2 x2 分别画出函数 y1 x t y2 2 x2 这个很明确 是一个开口向下 关于 y 轴对称 最大值为 2 的抛物线 要存在 x 0 使不等式 x t 2 x2成立 则 y1的图象应该在第二象限 x 0 和 y2的图象有交点 再分两种临界讲座情况 当 t 0 时 y1的右半部分和 y2在第二象限相切 当 t 0 时 要使 y1和 y2在第二象 限有交点 最后综上得出实数 t 的取值范围 解答 解 不等式 x2 2 x t 即 x t 2 x2 令 y1 x t y1的图象是关于 x t 对称的一个 V 字形图形 其象位于第一 二象限 y2 2 x2 是一个开口向下 关于 y 轴对称 最大值为 2 的抛物线 要存在 x 0 使不等式 x t 2 x2成立 则 y1的图象应该在第二象限和 y2的图 象有交点 两种临界情况 当 t 0 时 y1的右半部分和 y2在第二象限相切 y1的右半部分即 y1 x t 联列方程 y x t y 2 x2 只有一个解 即 x t 2 x2 即 x2 x t 2 0 1 4t 8 0 得 t 此时 y1恒大于等于 y2 所以 t 取不到 所以 t 0 当 t 0 时 要使 y1和 y2在第二象限有交点 即 y1的左半部分和 y2的交点的位于第二象限 无需联列方程 只要 y1与 y 轴的交点小于 2 即可 y1 t x 与 y 轴的交点为 0 t 所以 t 2 又因为 t 0 所以 0 t 2 综上 实数 t 的取值范围是 t 2 故答案为 2 5 点评 本小题主要考查函数图象的应用 二次函数 绝对值不等式等基础知识 考查运算 求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 属于基础题 7 5 分 已知二次函数 f x ax2 2x c x R 的值域为 0 则的最 小值为 4 考点 函数的值域 基本不等式在最值问题中的应用 专题 计算题 分析 先判断 a c 是整数 且 ac 1 把所求的式子变形使用基本不等式求最小值 解答 解 由题意知 a 0 4 4ac 0 ac 1 c 0 则 2 2 2 2 4 当且仅当 a c 1 时取 等号 的最小值为 4 点评 本题考查函数的值域及基本不等式的应用 8 5 分 在 ABCD 中 已知 AB 2 AD 1 DAB 60 点 M 为 AB 的中点 点 P 在 BC 与 CD 上运动 包括端点 则的取值范围是 1 6 考点 平面向量数量积的运算 专题 计算题 分析 先设 则 然后讨论点 P 在 BC 上时与点 P 在 CD 上时的取值范围 从而求出所求 解答 解 设 则 当点 P 在 BC 上时 设 0 1 2 1 1 1 当点 P 在 CD 上时 设 0 1 2 1 点 P 在 BC 与 CD 上运动 包括端点 则的取值范围是 1 故答案为 1 点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算 以及共线向量的表示 属于中档题 9 5 分 2010 武汉模拟 在实数数列 an 中 已知 a1 0 a2 a1 1 a3 a2 1 an an 1 1 则 a1 a2 a3 a4的最大值为 2 考点 数列的应用 专题 计算题 压轴题 分析 根据 a1 0 a2 a1 1 a3 a2 1 an an 1 1 枚举出所求可能 即可求出 a1 a2 a3 a4的最大值 解答 解 枚举出 a1 a2 a3 a4所有可能 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 3 0 1 2 3 所以最大是 2 7 故答案为 2 点评 本题考查数列的性质和应用 解题时要注意公式的灵活运用 10 5 分 若关于 x 的不等式 2x 1 2 ax2的解集中的整数恰有 2 个 则实数 a 的取 值范围是 考点 函数的零点 专题 函数的性质及应用 分析 由不等式可知 a 是大于 0 的 ax2 2x 1 2可变为 ax2 2x 1 2 0 利用平 方差分解因式得 x 2x 1 x 2x 1 0 x 2x 1 与 x 2x 1 同号得到 a 的解集 解集中的整数恰有 2 个 得到 a 的范围即可 解答 解 由题知 a 0 则 ax2 2x 1 2 ax2 2x 1 2 0 x 2x 1 x 2x 1 0 即 2 x 1 2 x 1 0 由于 2 0 而不等式的解答中恰有两个整数解 故必有 2 0 即必有 a 4 所以不等式可变为 2 x 1 2 x 1 0 解得 x 又 1 结合解集中恰有两个整数可得 2 且 3 所以有 2 且 2 解得 a 所以 a 故答案为 点评 本题主要考查学生解一元二次不等式 运用等价转化的能力 属于中档题 11 5 分 已知下列两个命题 p x R 不等式恒成立 q y loga x2 ax 1 a 0 a 1 有最小 值 若两个命题中有且只有一个是真命题 则实数 a 的取值范围是 a 2 或 a 1 考点 复合命题的真假 全称命题 二次函数的性质 对数函数的值域与最值 8 专题 计算题 分析 根据函数恒成立的等价条件及基本不等式 我们可以求出 P 为真命题时 实数 a 的 取值范围 根据复合函数单调性及指数函数单调性 对数函数的最值 我们可以求 出 Q 为真命题时 实数 a 的取值范围 根据两个命题中有且只有一个是真命题 我 们分 P 真 Q 假和 P 假 Q 真 两种情况讨论 即可得到实数 a 的取值范围 解答 解 p x R 不等式 恒成立 即 a 恒成立 由于的最小值为 2 故 P 为真命题时 a 2 q y loga x2 ax 1 a 0 a 1 有最小值 表示以 a 为底的对数函数为增函数 且 x2 ax 1 0 恒成立 即 解得 1 a 2 故 Q 为真命题时 1 a 2 两个命题中有且只有一个是真命题 当 P 真 Q 假时 a 2 或 a 1 当 P 假 Q 真时 这样的 a 值不存在 故实数 a 的取值范围是 a 2 或 a 1 故答案为 a 2 或 a 1 点评 本题考查的知识点是复合命题的真假 全称命题 二次函数的性质 对数函数的值 域与最值 函数恒成立问题 基本不等式在求最值时的应用 其中分别求出命题 P 和命题 Q 为真命题时 实数 a 的取值范围 是解答本题的关键 12 5 分 已知数列 an 满足 a1 1 a2 2 an 2 则该数 列的前 20 项的和为 2101 考点 数列的求和 专题 常规题型 压轴题 分析 先利用题中条件找到数列的特点 即其奇数项构成了首项为 1 公差为 1 的等差数列 而其偶数项则构成了首项为 2 公比为 2 的等比数列 再对其和用分组求和的方法找 到即可 解答 解 由题中条件知 a1 1 a2 2 a3 a1 1 2 a4 2a2 0 4 a5 a3 1 3 a6 2a4 8 即其奇数项构成了首项为 1 公差为 1 的等差数列 而其偶数项则构成了首项为 2 公比为 2 的等比数列 所以该数列的前 20 项的和为 1 2 3 10 2 4 8 210 2101 故答案为 2101 点评 本题主要考查等差数列和等比数列的前 n 项和公式 考查学生的运算能力 9 13 5 分 设 x R f x 若不等式 f x f 2x k 对于任意的 x R 恒成立 则实数 k 的取值范围是 k 2 考点 指数函数的单调性与特殊点 函数恒成立问题 专题 计算题 分析 根据指数函数的单调性及复合函数的单调性确定原则 我们可以分析出函数 f x 和函数 f 2x 的单调性 进而分析出函数 F x f x f 2x 的单调性 进而 求出 F x f x f 2x 的最大值后 即可得到实数 k 的取值范围 解答 解 f x 函数 f x 在区间 0 上为增函数 在区间 0 上为减函数 且函数 f 2x 在区间 0 上为增函数 在区间 0 上为减函数 令 F x f x f 2x 根据函数单调性的性质可得 F x f x f 2x 在区间 0 上为增函数 在区间 0 上为减函数 故当 x 0 时 函数 F x 取最大值 2 若不等式 f x f 2x k 对于任意的 x R 恒成立 则实数 k 的取值范围是 k 2 故答案为 k 2 点评 本题以不等式恒成立问题为载体考查了函数的单调性及函数的最值 其中构造函数 F x f x f 2x 并根据函数的单调性及复合函数的单调性确定原则 确定 函数 F x f x f 2x 的单调性及最值是解答的关键 14 5 分 2013 长宁区一模 给出定义 若 m x m 其中 m 为整数 则 m 叫做 离实数 x 最近的整数 记作 x m 在此基础上给出下列关于函数 f x x x 的四个 命题 函数 y f x 的定义域为 R 值域为 0 函数 y f x 的图象关于直线 x k Z 对称 函数 y f x 是周期函数 最小正周期为 1 函数 y f x 在 上是增函数 其中正确的命题的序号 考点 命题的真假判断与应用 专题 压轴题 10 分析 本题为新定义问题 因为 m 为整数 故可取 m 为几个特殊的整数进行研究 解答 解 由题意 x x x m f x x x x m m 0 时 x f x x m 1 时 1 x 1 f x x 1 m 2 时 2 x 2 f x x 2 由图象可知正确命题为 故答案为 点评 本题是新定义问题 考查函数的性质 可结合图象进行研究 体现数形结合思想 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 道题 计道题 计 9090 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算 步骤 步骤 15 14 分 2011 日照模拟 设命题 p 实数 x 满足 x2 4ax 3a2 0 其中 a 0 命题 q 实数 x 满足 若 a 1 且 p q 为真 求实数 x 的取值范围 若 p 是 q 的充分不必要条件 求实数 a 的取值范围 考点 充分条件 命题的真假判断与应用 分析 1 p q 为真 即 p 和 q 均为真 分别解出 p 和 q 中的不等式 求交集即可 2 p 是 q 的充分不必要条件 q 是 p 的充分不必要条件 即 q p 反之不成 立 即 q 中的不等式的解集是 p 中的不等式解集的子集 解答 解 1 a 1 时 命题 p x2 4x 3 0 1 x 3 命题 q 2 x 3 11 p q 为真 即 p 和 q 均为真 故实数 x 的取值范围是 2 x 3 2 p 是 q 的充分不必要条件 q 是 p 的充分不必要条件 即 q p 反之不成 立 即 q 中的不等式的解集是 p 中的不等式解集的子集 由 1 知命题 q 2 x 3 命题 p 实数 x 满足 x2 4ax 3a2 0 x a x 3a 0 由题意 a 0 所以命题 p a x 3a 所以 所以 1 a 2 点评 本题考查复合命题的真假 充要条件的判断 解二次不等式等知识 考查知识点较 多 但难度不大 16 14 分 2011 江西模拟 设 a R 满足 求函数 f x 的单调递增区间 设 ABC 三内角 A B C 所对边分别为 a b c 且 求 f x 在 0 B 上的值域 考点 余弦定理 两角和与差的正弦函数 正弦函数的单调性 正弦定理 专题 计算题 转化思想 分析 通过二倍角公式 以及 求出 a 的值 利用两角差的正 弦函数化简函数的表达式 通过正弦函数的单调增区间 求函数 f x 的单调递增 区间 利用余弦定理化简 通过正弦定理求出 推出 B 的值 然后求 f x 在 0 B 上的值域 解答 解 f x asinxcosx cos2x sin2x 由得 解得 因此 令 得 12 故函数 f x 的单调递增区间 6 分 由余弦定理知 即 2acosB ccosB bcosC 又由正弦定理知 2sinAcosB sinCcosB sinBcosC sin B C sinA 即 所以 当时 f x 1 2 故 f x 在 0 B 上的值域为 1 2 12 分 点评 本题考查余弦定理 两角和与差的正弦函数 正弦函数的单调性 正弦定理个应用 考查转化思想与计算能力 17 14 分 如图所示 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BB1 AC1 平面 A1BD D 为 AC 的 中点 1 求证 B1C 平面 A1BD 2 求证 B1C1 平面 ABB1A1 3 设 E 是 CC1上一点 试确定 E 的位置使平面 A1BD 平面 BDE 并说明理由 考点 直线与平面平行的判定 集合的含义 直线与平面垂直的判定 平面与平面垂直的 判定 专题 计算题 证明题 分析 1 连接 AB1与 A1B 相交于 M 由三角形中位线定理 我们易得 B1C MD 结合线面 平行的判定定理 易得 B1C 平面 A1BD 2 由于已知的几何体 ABC A1B1C1为直三棱柱 结合 AB BB1 AC1 平面 A1BD 根 据正方形的几何特征 我们易得到 AB1 B1C1 BB1 B1C1 根据线面垂直的判定定理 即可得到 B1C1 平面 ABB1A1 3 由图可知 当点 E 为 CC1的中点时 平面 A1BD 平面 BDE 由已知易得 DE AC1 结合 AC1 平面 AB1D 我们易得到 DE 平面 AB1D 进而根据面面垂直的判 定定理得到结论 13 解答 解 1 证明 连接 AB1与 A1B 相交于 M 则 M 为 A1B 的中点 连接 MD 又 D 为 AC 的中点 B1C MD 又 B1C 平面 A1BD B1C 平面 A1BD 4 分 2 AB BB1 四边形 ABB1A1为正方形 AB1 A1B 又 AC1 面 A1BD AC1 A1B A1B 面 AB1C1 A1B B1C1 又在直棱柱 ABC A1B1C1中 BB1 B1C1 B1C1 平面 ABB1A1 8 分 3 当点 E 为 CC1的中点时 平面 A1BD 平面 BDE D E 分别为 AC CC1的中点 DE AC1 AC1 平面 AB1D DE 平面 AB1D 又 DE 平面 BDE 平面 AB1D 平面 BDE 14 分 点评 本题考查的知识眯是直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判定 平面与平面 垂直的判定 熟练掌握空间直线与平面间平行和垂直的判定定理 性质定理 定义 是解答此类问题的根本 18 16 分 2009 温州二模 如图 曲线 C1是以原点 O 为中心 F1 F2为焦点的椭圆的 一部分 曲线 C2是以 O 为顶点 F2为焦点的抛物线的一部分 A 是曲线 C1和 C2的交点 曲 线 C1的离心率为 若 求曲线 C1和 C2所在的椭圆和抛物线方程 14 过 F2作一条与 x 轴不垂直的直线 分别与曲线 C1 C2依次交于 B C D E 四点 若 G 为 CD 中点 H 为 BE 中点 问是否为定值 若是 求出定值 若不是 请说明理由 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线的综合 专题 计算题 压轴题 分析 因为椭圆的离心率为 所以 因为 所以可求出 a 再根据 求出 C 就可得到 b 的值 求出椭圆方程 也就可得 F2的坐标 再 根据曲线 C2是以 O 为顶点 F2为焦点的抛物线 求出抛物线方程 先设出 B E C D 四点坐标 以及过 F2作的与 x 轴不垂直的直线方程 分别 代入椭圆方程和抛物线方程 求 y1 y2 y1y2 y3 y4 y3y4 再代入 化简即可 解答 解 设椭圆方程为 则 2a 得 a 3 所以椭圆方程为 抛物线方程为 y2 4x 设 B x1 y1 E x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 直线 y k x 1 代 入得 即 8 9k2 y2 16ky 64k2 0 则 y1y2 同理 y k x 1 代入 y2 4x 得 ky2 4y 4k 0 15 则 y3 y4 y3y4 4 3 点评 本题考查了椭圆 抛物线方程的求法 以及直线与圆锥曲线位置关系的判断 做题 时要细心 19 16 分 已知数列 an 和 bn 满足 bn 的前 n 项和为 Tn 当 m 1 时 求证 对于任意的实数 an 一定不是等差数列 当时 试判断 bn 是否为等比数列 在 条件下 若 1 Tn 2 对任意的 n N 恒成立 求实数 m 的范围 考 点 等差数列与等比数列的综合 等差关系的确定 等比关系的确定 专 题 等差数列与等比数列 分 析 把 m 1 代入 an 1 an n 求出 a1 a2和 a3 假设是等差数列 推出矛盾 从而 进行证明 把代入 对 bn进行化简 对于首项要 进行讨论 从而进行判断 在 条件下 若 1 Tn 2 对任意的 n N 恒成立 求出 Tn的最大值和最小值 即可 对于 n 的奇偶性要进行讨论 求出 Tn的范围 从而求解 解 答 解 2 分 16 即 2 1 0 3 0 方程无实根 故对于任意的实数 an 一定不是等差数列 5 分 9 分 10 分 不成立 11 分 当时 当 n 为奇数时 当 n 为偶数 14 分 1 Tn 2 对任意的 n N 恒成立 解得 m 从而求得 16 分 点 评 此题主要考查等差数列前