2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 函数的综合应用

用心 爱心 专心 1 函数的综合应用函数的综合应用 一 函数综合问题 1 函数的概念 性质及几种基本初等函数的综合问题 2 函数与方程 不等式的综合问题 3 函数与数列 三角的综合问题 4 函数与几何的综合问题 5 函数与其他学科的综合问题 二 举例剖析二 举例剖析 例例 1 1 P104 变式 2 已知奇函数 xf满足 18 log 2 1 0 2 2 1 fxfxxfxf x 则时且 的值为 解 4 2 2 xfxfxfxfxf 8 9 2 8 9 log 8 9 log 9 8 log 18log4 18log 18 log 8 9 log 22222 2 1 2 ffffff 例例 2 2 已知定义在 R 上的函数 xf满足 2 1 0 0 fxfxbfafbaf时且 1 求证 xf是奇函数 2 求 xf在 3 3 上的最大值和最小值 解 1 令 0 afaffba 则 0 0 0 0 0 0 ffffba则令 是奇函数xfafaf 2 0 0 0 12121221 xxfxfxfxfxfxxxfx则设时 12 xfxf 函数 xf在 R 上是递减的 xf在 3 3 上的最大值是 3 f 而最小值是 3 f 又 6 3 6 1 2 3 4 1 1 2 2 1 ffffffff 即 xf在 3 3 上的最大值为 6 和最小值是 6 例例 3 3 P104 考例 3 已知二次函数cbxaxxf 2 用心 爱心 专心 2 1 若 a b c 且 f 1 0 证明 f x 的图象与 x 轴有 2 个交点 2 在 1 的条件下 是否存在m R 使池f m a 成立时 f m 3 为正数 若存在 证明你的结论 若不存在 说明理由 3 若对 2 2 1 21212121 个不等实根有方程且xfxfxfxfxfxxRxx 21 xx证明必有一个根属于 解 1 04 00 0 1 2 xfacbcacbacbaf 且且 的图 象与 x 轴有两个交点 2 0 1 0 1 xff为 的一个根 由韦达定理知另一根为 a c 10 00cabcba a c ca 又且 10 1 m a c am a c ma则13233 a c m xf 在 1 单调递增 0 1 3 fmf 即存在这样的 m 使0 3 mf 3 令 2 1 21 xfxfxfxg 则 xg是二次函数 0 4 1 2 2 2 21 21 2 21 121 xfxf xfxf xf xfxf xfxgxg 0 0 2121 xgxgxgxfxf 又的根必有一个属于 21 xx 例例 4 4 P104 变式 3 已知xxf 2 log 当点 M x y 在函数 xfy 的图象上运动时 点 x 2 ny 在函数 xqy n 的图象上运动 n N 1 求 xqn的表达式 2 设 2 1 11 xqxHxFxH xq n n 求 F x 的表达式 判断其单调性 并给予证明 3 求集合 2 21 RaaxqxqaA 有实数根使方程 解 1 由点 M x y 在函数 xfy 的图象运动上 点 x 2 ny 在函数 xqy n 的图象 上 可得 2 2 log 2 Nnxxnxqn 2 2 log 2 1 2 1 2 1 2 2 log2 x x xF x xH n xn n 从而可知 F x 是 2 上的减函数 事实上 令 用心 爱心 专心 3 2 log 2 log 2 1 2 1 2 2212 21 2121 xx xx xFxFxx时 2 2 log 2 2 2 1 2 21 12 x x xx xx 0 2 2 log 0 2 1 212 x x xx 从而 0 2121 xFxFxFxFxF故即 在 2 上为减函数 3 即求使方程 log2 2 log 22 axx 有解的 a 的取值范围 axx x axx ax x 2 2 2 0 02 2 直线与抛物线相切时 4 9 a 数形结合知 a 的范围是 4 9 Raaa 分变量法 4 9 4 9 2 1 2 22 2 2 22 xxxxxa 只要令 4 9 4 9 RaaaAa 因此即可 例例 5 5 P105 变式 4 设函数 1 log2 Nn x y n 1 n 1 2 3 时 把已知函数的图象和直线 y 1 的交点横坐标依次记为 a1 a2 a3 an 求证 a1 a2 a3 an 1 2 对于每一个 n 值 设 An Bn为已知函数图象上与 x 轴距离为 1 的两点 求证 n 取任意一个 正整数时 以 AnBn为直径的圆都与一条定直线相切 求出这条定直线和切点坐标 解 1 原函数化为 n n n a ax x n y y x n y 2 1 2 1 log 1 1 log 1 2 即得则 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 321 n n anaaa 2 以 An Bn为曲线上的点且与 x 轴距离为 1 则 n nnn nn n n n n BABA 2 1 22 22 1 2 1 2 22 又 An Bn的中点 C 到 y 轴的距 离为 nn nn BA 2 1 2 22 所以 以 C 为圆心 以 nnB A为直线的圆与 y 轴相切 故定直线为 x 0 且切点为 0 0 备用题备用题 例例 5 5 已知 112 1 3 1 2 1 1 nn SSnfNn n Sn设 试确定实数 m 的 取值范围 使得对于一切大于 1 的自然数 n 不等式 用心 爱心 专心 4 2 1 2 log 20 11 1 log mmnf mm 恒成立 分析 由题意知 12 1 3 1 2 1 nnn nf 但由于无法求和 故对给出的不等式难以 处理 解决本题的关键在于把 Nnnf 看作 n 的函数 此时已知不等式恒成立就等价转化 为 函数 2 nNnnf的啊小值大于 2 1 2 log 20 11 1 logmm mm 而求最小值又 应从研究 f n 的单调性入手 解 1 1 3 1 2 1 1 12 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 112 n S n SNn n S nnn 32 1 4 1 3 1 1 12 1 3 1 2 1 112 nnn nf nnn SSnf nn 0 42 1 32 1 42 1 22 1 42 2 32 1 22 1 2 1 32 1 22 1 1 nnnnnnnnnn nfnf 即Nnnffnfnfnfnf 2 2 3 1 1 其中 20 9 32 1 22 1 2 fnf的最小值为 要使对于一切大于 1 的自然数 n 不等式 2 1 2 log 20 11 1 log mmxf mm 恒成立 只需不等式 2 1 2 log 20 11 1 log 20 9 mm mm 恒成立即可 由 0 1 log 21 11 01 1 0 2 yymmm mm mm m 则此时设且得 0 20 11 20 9 y y y 于是上不等式可变为 1 1 log0 10 2 my m 从