江苏省南京市江宁高级中学2013届高三数学周周练（3）

1 高三数学周周练 高三数学周周练 3 3 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请把答案填写在答题卡相应位请把答案填写在答题卡相应位 置上置上 1 在复平面内 复数对应的点位于第 四 象限 2 1 i i 2 命题 若1x 则0 x 的否命题是 若1x 则0 x 3 某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计 得到样本频率分布直方图如 下图所示 现规定不低于 70 分为合格 则合格人数是 600 4 在区间上随机取一个实数 使得成立的概率为 2 2 x 2 1 xcos 3 2 5 向量ba 的夹角为 120 5 3 1 baba 则 7 6 执行上面的框图 若输入的是 6 则输出的值是 720 Np 7 过双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的一个焦点F引它到渐进线的垂线 垂足为M 延长FM交y轴于E 若MEFM2 则该双曲线离心率为 3 8 计算 可以采用以下方法 ks 5uks 5uks 5u 123 23 n nnnn CCCnC 第 3 题图 11 第 6 题图 11 2 构造恒等式 两边对x求导 得 0122 1 nnn nnnn CC xC xC xx 在上式中令 得 123211 23 1 nnn nnnn CC xC xnC xnx 1x 1231 232 nn nnnn CCCnCn 类比上述计算方法 计算 122232 23 n nnnn CCCn C 2 2 1 n nn 9 若函数 在 P 处的切线平行于函数在 Q 处 1 2sinyx 0 2 x 2 2 1 3 x yx 的切线 则直线 PQ 的斜率为 3 8 10 已知 则的值为 2 0 10 10 4 cos 4 2sin 10 2 11 点A B C D在同一个球的球面上 AB BC 2 AC 2 若四面体ABCD体积 的最大值为 2 3 则这个球的表面积为 25 4 12 已知数列中 对任意 n a 12 1 3aa nN 都成立 则 1024 21 3 2 21 n nnnn aaaa 1110 aa 13 已知 点的坐标满足 则的取值范围为 yxP 30 320 0 xy xy y 22 3 yx yx 3 3 14 已知函数存在整数零点的恰有 3 个 则的取 Ma0 1axx x f 0 23 a 0 M 值范围是 16 63 9 26 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 15 在中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且ABC 3 sin3cos2sin abAAB 1 求角 C 的大小 2 求的最大值 ab c 15 解 1 sinA cosA 2sinB即 2sin A 2sinB 则 sin A sinB 3 3 3 因为 0 A B 又a b进而A B 所以A B 故A B C 3 2 3 3 2 由正弦定理及 得 sinA sin A sinA cosA 2sin A a b c sinA sinB sinC 2 3 33 6 当A 时 取最大值 2 3 a b c 16 本小题满分 14 分 在四棱锥P ABCD中 ABC ACD 90 BAC CAD 60 PA 平面ABCD E 为PD的中点 PA 2AB 2 1 求证 PC AE 2 求证 CE 平面PAB 3 求三棱锥P ACE的体积V 解析解析 1 在 Rt ABC中 AB 1 BAC 60 BC AC 2 取中点 连 则3PCF AF PF PA AC 2 PC 1 分 AF PA 平面ABCD 平面ABCD CD PA 又 ACD 90 即 CDCDAC CDPAC 平面CDPC 3 分 EFPC 4 分 PCAEF 平面 PC 5 分 AE 2 证法一 取AD中点M 连EM CM 则 EM PA EM 平面PAB PA平面PAB EM 平面PAB 7 分 在 Rt ACD中 CAD 60 AC AM 2 ACM 60 而 BAC 60 MC AB P A D B C E P A D B C E F M 4 MC 平面PAB AB平面PAB MC 平面PAB 9 分 EM MC M 平面EMC 平面PAB EC平面EMC EC 平面PAB 10 分 证法二 延长DC AB 设它们交于点N 连PN NAC DAC 60 AC CD C为ND的中点 7 分 E为PD中点 EC PN 9 分 EC 平面PAB PN 平面PAB EC 平面PAB 10 分 3 由 1 知AC 2 1 2 EFCDEFPAC 且平面 在 Rt ACD中 AC 2 CAD 60 CD 2 得 12 分 33EF 则V 14 分 112 2233 323 E PAC V 17 如图 2012 年春节 摄影爱好者S在某公园A处 发现正前方B处有一立柱 测得 立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为 已知S的身高约为米 将眼睛距地30 3 面的距离按米处理 3 1 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度 2 立柱的顶端有一长 2 米的彩杆MN绕中点O在S与立柱 所在的平面内旋转 摄影者有一视角范围为的镜头 60 在彩杆转动的任意时刻 摄影者是否都可以将彩杆全部摄 入画面 说明理由 17 1 如图 不妨将摄影者眼部设为S点 做SC垂直OB 于C 60 30 ASBCSB 又故在中 可求得BA 3 即摄影者到立柱的水平距离为 3 米 3 3 SASABRt 分 由SC 3 在中 可求得 30 CSOSCORt 3 OC 又故即立柱高为米 3 SABC 32 OB32 6 分 M O S N BA 5 2 注 若直接写当时 最大 并且此时 得 2 分 SOMN MSN 60 MSN 连结SM SN 在 SON和 SOM中分别用余弦定理 1322 1 32 1322 1 32 222222 ab 26 22 ba 2 1 13 112211 2 2 cos 22 222 baabab ba MSN 60 MSN 故摄影者可以将彩杆全部摄入画面 14 分 18 已知中心在原点 焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离 22 22 1 0 xy ab ab 心率为 一个焦点是 1 0 过直线上一点引椭圆的两条切线 切点分别是 1 2 4x A B 求椭圆的方程 若在椭圆上的点处的切线方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 xy 00 22 1 x xy y ab 求证 直线 AB 恒过定点 C 并求出定点 C 的坐标 是否存在实数使得恒成立 点 C 为直线 AB 恒过 ACBCACBC 的定点 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 解 I 设椭圆方程为的焦点是 故 又 所以 22 22 10 xy ab ab 1 0 1c 1 2 c a 所以所求的椭圆方程为 4 分 22 2 3abac 22 1 43 xy II 设切点坐标为 直线 上一点M的坐标 则切线方程分 11 A x y 22 B xyl 4 t 别为 又两切线均过点M 即 即 11 1 43 x xy y 22 1 43 x xy y 1122 1 1 33 tt xyxy 点 A B 的坐标都适合方程 故直线AB的方程是 显然直线 1 3 t xy 1 3 t xy 6 恒过点 1 0 故直线AB恒过定点 1 3 t xy 1 0C 10 分 III 将直线AB的方程 代入椭圆方程 得 1 3 t xy 即 2 2 314120 3 t yy 2 2 4290 3 t yty 所以 不妨设 1212 22 627 1212 t yyy y tt 12 0 0yy 同理 13 分 22 2 22 1111 9 11 93 tt ACxyyy 2 2 9 3 t BCy 所以 2 21 21 222 121212 1131133 999 yy yy ACBCyyy yy y ttt 2 222 22 2 6108 1212311449 1444 27 93 99 12 t ttt tt t 即 4 3 ACBCACBC 故存在实数 使得 16 分 4 3 ACBCACBC 19 1 设函数 且数列满足 1 n N 2 1 Rx x xg n c 1 c 1 nn cgc 求数列的通项公式 1 n n c 2 设等差数列 的前n项和分别为和 且 n a n b n S n T 82 7 64 3 bb a bb a 5 2 求常数A的值及的通项公式 72 1 n An T S n n 6 2 S n a 3 若 其中 即为 1 2 中的数列 的第项 为为为为 为为为为 nc na d n n nn a n c n a n cn 试求 n ddd 21 1919 1 由题意 变形得 1 分 1 2 1 1 nn cc 1 2 1 1 1 nn cc 7 数列是以为公比 为首项的等比数列 3 分 1 n c 2 1 21 1 c 即 5 分 1 2 1 21 n n c1 2 1 2 n n c 2 由等差数列 知 n a n b 57358264 2 2aaabbbbb 由得 6 分 5 2 82 7 64 3 bb a bb a 5 2 5 5 b a 解得 8 分 5 2 9 2 9 2 5 5 91 91 9 9 b a bb aa T S 72 1 n An T S n n 5 2 792 19 A 1 A 和分别是等差数列 的前n项和 72 1 72 1 nn nn n n T S n n n S n T n a n b 可设 72 1 nknTnknS nn 即 10 分 6 2 S1 knnSn 2 当时 1 n2 11 Sa 当n 2 时 nnnnnSSa nnn 2 1 1 22 1 综上得 12 分 nan2 3 当 N 时 12 kn k 242123121kkn cccaaaddd 14 分 2 1 1 3 4 2 2 4 1 1 3 4 1 2 1 2 2 nk nn kk 当 N 时 kn2 k 242123121kkn cccaaaddd 16 分 2 1 1 3 4 2 4 1 1 3 4 2 2 2nk nn kk 20 本小题满分 15 分 记函数 ln 1 f xx g xx 8 1 若函数在处取得极值 试求的值 2 F xaf xgx 1x a 2 若函数有两个极值点 且 2 G xaf xgxb g x 12 x x 试求的取值范围 12 43 0 1 55 xx a 3 若函数对任意恒有成立 11 H x f xg x 12 1 3x x 12 H xH xa 试求的取值范围 参考 aln20 7 2020 解 解 1 2 ln 1 1 F xaxxx 2 1 a F xx x 由 3 分 1 04Fa 3 10 分 22 22 11 1 ln 1 ln 1 1 ln 1 xxx H xH x xxxxx 9 记 22 1 ln 1 1 m xxxxx 则 又 11 分 2 ln 1 2ln 1 2m xxxx 2ln 1 2 1 xx mx x 记 2 2ln 1 2 1 1 x n xxx xn x x 当时 上单调递减 故0 x 0 0 n xn x 在 0 0n xn 可得上单调递减 故 12 分 0 0 mxm x 在 0 0m xm 可得上单调递减 故 0 m x 在 0 0m xm 可得上单调递减 13 分 0 0 H xH x 在 即在上单调递减 由题意 H x 1 3 maxmin 1 3 aH xH xHH 16 分 1111212 1 ln2ln432ln232ln23 数学数学 附加题 附加题 21 1 21 1 选修选修 4 4 2 2 矩阵与变换矩阵与变换 已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量 1 2 b c M4 1 1 2 3 e 1 求矩阵 M 2 求曲线在的作用下的新曲线的方程 22 5841xxyy M 解 1 由已知 即 1 28 312 2 b c 238 2612bc 2 3bc 所以 4 分 12 32 M 2 设曲线上任一点P P在M作用下对应点 则 x y P xy 12 32 xx y y 即 解之得 代入得 2 32 xxy yxy 2 3 4 yx x xy y 22 5841xxyy 22 2xy 即曲线在的作用下的新曲线的方程是 10 22 5841xxyy M 22 2xy 10 分 21 21 2 2 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴 cos0aa 为轴的正半轴 建立平面直角坐标系 直线 的参数方程为 xl 2 1 2 2 2 xt t yt 为参数 若直线 与曲线 C 相切 求的值 la 解析解析 曲线化为直角坐标方程为 即 3 分 C 22 0 xyax 22 2 22 aa xy 直线 的参数方程化为普通方程为 6l10 xy 分 由题设条件 有 8 1 2 22 a a 2 1 22 a a 分 舍去 或 10 2 1 22 a a 2 1 22 a a 221a 分 2222 本小题满分 本小题满分 1010 分 分 如图 已知三棱柱的侧面与底面垂直 111 CBAABC 分别是 的中点 1 1 AAABACABAC M N P 1 CCBC 11B A 1 求证 AMPN 2 若直线与平面所成的角为 求的值 MBPMN sin 22 解 1 建立如图所示直角坐标系 则 0 0 0 A 1 0 0 B 0 1 0 C 1 0 0 1 A 1 1 0 1 B 1 0 1 1 C 1 0 1 2 P 1 0 1 2 M 1 1 0 2 2 NNP 1 0 1 2 AM 1 0 1 2 B A1 A B1 C1 C M N P 第 22 题图 11 因为 PNAM 11 0 0 1 1 0 22 所以 4 分AMPN 2 设平面的一个法向量为 PMN 1111 nx y z 1 0 1 2 NP 1 1 1 2 2 2 NM 则 1 1 0 0 nNP nNM 11 111 1 0 2 111 0 222 yz xyz 令 得 1 2y 1 1z 1 3x 所以 6 分 1 3 2 1 n 又 1 1 1 2 MB