广东省广州市2012届高三数学高考备考冲刺阶段训练材料 文 新人教A版VIP

1 20122012 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料 文科 文科 说明 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同 编写 共 26 题 本训练题仅供广州市高三学生考前冲刺训练冲刺训练用 希望在 5 月 31 日之前完成 3 本训练题本训练题与市高三质量抽测市高三质量抽测 一模一模 二模二模等数学试题在内容上相互配套 互为补充 四 套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法 因此 希望同学们在 5 月 31 日至 6 月 6 日之间 安排一段时间 对这四套试题进行一次全面的回顾总结 同时 将高中数学课本中的基本 知识 如概念 定理 公式等 再复习一遍 希望同学们保持良好的心态 在高考中稳定发挥 考取理想的成绩 1 已知函数 3 3 sin cos4 xxxf 1 试说明函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到 xfy xy2sin2 2 写出函数图象的对称轴方程及对称中心坐标 xf 2 在中 的对边分别是 已知ABC ABCabc b ac B CA 3 cos cos3cos 1 求的值 2 若的面积为 求的值 a c ABC 2 3 3 cos Bb 3 设函数 其中 角的顶点与坐标原点重合 始边与轴非 cos3sin f x 负半轴重合 终边经过点 且 1 若点的坐标为 求 yxP 0P 1 3 的值 f 2 若点为平面区域上的一个动点 试确定角的取值范围 并求函 yxP 1 1 y xy yx 数的最小值和最大值 f 2 4 奇瑞公司生产的 奇瑞 轿车是我国民族品牌 该公司 2009 年生产的 旗云 风云 三类经济型轿车中 每类轿车均有舒适和标准两种型号 某周产量如下表 QQ 车型旗云风云 QQ 舒适 100150 x 标准 300 y 600 若按分层抽样的方法在这一周生产的轿车中抽取 50 辆进行检测 则必须抽取 旗云 轿车 10 辆 风云 轿车 15 辆 1 求 的值 xy 2 在年终促销活动中 奇瑞公司奖给了某优秀销售公司 2 辆舒适型和 3 辆标准型 轿车 该销售公司又从中随机抽取了 2 辆作为奖品回馈消费者 求至少有一QQ 辆是舒适型轿车的概率 5 已知关于的一元二次函数x 14 2 bxaxxf 1 设集合 P 1 2 3 和 Q 1 1 2 3 4 分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作 为和 求函数在区间 上是增函数的概率 ab xfy 1 2 设点 是区域内的随机点 求函数上ab 0 0 08 y x yx 1 在区间xfy 是增函数的概率 6 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究 他 们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发 芽数 得到如下资料 日 期3 月 1 日3 月 2 日3 月 3 日3 月 4 日3 月 5 日 温差x C 101113128 发芽数y 颗 2325302616 3 1 从 3 月 1 日至3 月 5 日中任选2 天 记发芽的种子数分别为 m n 求事件 25 25 30 30 m n 的概率 2 甲 乙两位同学都发现种子的发芽率与昼夜温差近似成线性关系 给出的拟合直线分 别为2 2yx 与2 53yx 试利用 最小平方法 也称最小二乘法 的思想 判 断哪条直线拟合程度更好 7 如图为一简单组合体 其底面 ABCD 为正方形 平面 且PD ABCD ECPD 2PDEC 1 求证 平面 BEPDA 2 若N为线段的中点 求证 平面 PBEN PDB 8 如图 一个圆锥和一个圆柱组成了一个几何体 其中圆锥和圆柱的的 底面半径相同 点 分别是圆柱的上下底面的圆心 O O AB 都为直径 点五点共面 点是弧 AB 上的任意一点CDDCBAP N 点与不重合 点为的中点 是弧 CD 上一点 且NBA MBN N NN AD2 BCABPA 1 求证 平面 2 求证 平面 平面BNPOMPOM DNAN 3 求这个几何体的体积和表面积 9 已知几何体的三视图如图所示 其中俯视图和侧视图都BCEDA 是腰长为4的等腰直角三角形 正视图为直角梯形 1 求此几何体的体 积 N E D C B A P 4 2 在上是否存在点Q 使得ED 平面ACQ 若存在 请说明理由并求出点Q的位置 DE 若不存在 请说明理由 1010 居民阶梯电价改革是国家重视资源节约和环境保护的重要举措 某地区居民生活用电 量分为高峰和低谷两个时间段计算 并按用电量多少分三档进行计费 现提供如下两种方 案征求居民意见 2012 05 10 方案一高峰时段电价低谷时段电价 第一档 月用电量不超过 140 千瓦时 0 61 元 千瓦时0 30 元 千瓦时 第二档 月用电量超过 140 200 千瓦时部分 0 66 元 千瓦时0 35 元 千瓦时 第三档 月均用电量超过 200 千瓦时部分 0 81 元 千瓦时0 50 元 千瓦时 方案二高峰时段电价低谷时段电价 第一档 月用电量不超过 210 千瓦时 0 61 元 千瓦时0 30 元 千瓦时 第二档 月用电量超过 210 430 千瓦时部分 0 66 元 千瓦时0 35 元 千瓦时 第三档 月均用电量超过 430 千瓦时部分 0 91 元 千瓦时0 60 元 千瓦时 1 若邝先生家 6 月份高峰时段用电量为 220 千瓦时 低谷时段用电量为 220 千瓦时 按 方案一 方案二计费 邝先生家 6 月份应付电费选择哪种方案更省钱 2 若邝先生家 6 月份高峰时段用电量为千瓦时 低谷时段用电量为千瓦时 x600 x 按方案二计费 当取何值时 邝先生家 6 月份应付电费最省 x 11 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的 车流速度 单位 千米 小时 是车流密度 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流vx 密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 当车流密度不超过 20 辆 千米 时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当时 车流速度是车流密度20020 xv 的一次函数 x 1 当时 求函数的表达式 2000 x xv 2 当车流密度为多大时 车流量可以达到最大 并求出最大值 精确到x xvxxf 1 辆 小时 车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 5 12 某地政府为改善居民的住房条件 集中建设一批经适楼房 用了 1400 万元购买了一块 空地 规划建设 8 幢楼 要求每幢楼的面积和层数等都一致 已知该经适房每幢楼每层建 筑面积均为 250 平方米 第一层建筑费用是每平方米 3000 元 从第二层开始 每一层的建 筑费用比其下面一层每平方米增加 80 元 1 若该经适楼房每幢楼共层 总开发费用为x 万元 求函数的表达式 总开发费用 总建筑费用 购地费用 2 yf x yf x 要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低 每幢楼应建多少层 参考数据 52 236 62 449 72 646 1313 已知曲线的方程为 1 试讨论曲线所表示的轨迹形状 C1 22 ayxa RC 2 若时 直线与曲线相交于 两点 且 求曲线1 a1 xyCMN2 MN 的方程 C 1414 已知双曲线的方程为 点 其中 C1 4 2 2 y x 2 mmA 2 nnB 0m 是双曲线的两条渐近线上的两个动点 双曲线上的点满足 其0n CCPAPPB 中 3 2 1 1 用的解析式表示 2 求 为坐标原点 面积的取值范围 mnAOBO 6 1515 已知动圆过定点 且与直线相切 记动圆圆心的轨迹为曲线 1 0F1x 1 求曲线的方程 2 若点 是曲线上的不同三点 且满足 ABC 证明 不可能是直角三角形 FAFBFC 0 ABC 1616 给定椭圆 称圆心在原点O 半径为的圆是椭C 22 22 1 0 xy ab ab 22 ab 圆的 准圆 若椭圆C的一个焦点为 其短轴上的一个端点到F的距离为C 2 0 F 3 1 求椭圆及其 准圆 的方程 2 设点P是椭圆C的 准圆 上的一个动点 过C 点P任作两条直线 使得 与椭圆都只有一个公共点 试判断与是否垂 1 l 2 l 1 l 2 lC 1 l 2 l 直 并说明理由 17 已知函数 1 讨论函数的单调性 Raaxxaxf 3ln xf 2 若函数的图象在点处的切线的倾斜角为 45o 是否存在实数m使得 xfy 2 2 f 对于任意的 函数在区间上总不是单调函数 2 1 t 2 23 m xfxxxg 3 t 7 若存在 求m的取值范围 否则 说明理由 3 求证 2 1ln 5 5ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln Nnn nn n 18 设 函数 kR 1 0 0 x x f xx ex F xf xkx xR 1 当时 求函数的值域 2 试讨论函数的单调性 1k F x F x 19 已知函数其中常数 2 2 ln f xxaxax 0a 1 当时 求函数的单调递增区间 2a f x 2 当时 给出两类直线 与 其中为常数 4a 60 xym 30 xyn m n 判断这两类直线中是否存在的切线 若存在 求出相应的或的值 若不存 yf x mn 在 说明理由 3 设定义在上的函数在点处的切线方程为 当D yh x 00 P x h x l yg x 时 若在内恒成立 则称为函数的 类对称点 当 0 xx 0 0 h xg x xx DP yh x 时 试问是否存在 类对称点 若存在 请至少求出一个 类对称点 4a yf x 的横坐标 若不存在 说明理由 8 20 设是定义在上的函数 用分点 xf babxxxxxaT nii 110 将区间任意划分成个小区间 如果存在一个常数 使得和式 ban0 M 恒成立 则称为上的有界变差函数 Mxfxf n i ii 1 1 ni 2 1 xf ba 记作 这里表示在上的全体有界变差函数的集合 若无特别 baBVf baBV ba 约定 以下讨论都基于此记号 1 函数在上是否为有界变差函数 请说明理由 2 xxf 1 0 2 设函数是上的单调函数 证明 xf ba baBVf 3 若定义在上的函数满足 存在常数 使得对于任意的 时 ba xfk 1 x 2 bax 证明 2121 xxkxfxf baBVf 21 如图 已知直线及曲线上的点的横坐标为 从 4l yx 2 C yx C 1 Q 1 a 1 04a 曲线 C 上的点作直线平行于轴 交直线作直线平行于 1 n Q n x 11nn lPP 于点 再从点 轴 交曲线的横坐标构成数列 y 1 1 2 3 nn CQQ n 于点 n a 1 试求的关系 1nn aa 与 2 若曲线 C 的平行于直线 的切线的切点恰好介于点之间l 12 Q Q 不与重合 求的取值范围 12 Q Q 3 a 3 若 求数列的通项公式 1 3a n a y xOa1a2a3 Q1 Q2 Q3 P2 P3 9 22 已知定义在上的单调函数 存在实数 使得对于任意实数 总有R f x 0 x 12 x x 恒成立 1 求的值 0102012 f x xx xf xf xf x 0 x 2 若 且对任意正整数 有 0 1f x n 11 1 2 nn n abf f n 记 比较与的大小关系 并 1223112231 nnnnnn Sa aa aa aTbbb bb b 4 3 n S n T 给出证明 23 已知数列的前项和为 n an 2 12 2 nnSn 21 sinsinsin nnnn aaab 1 求证 为等比数列 并求出其首项与公比 n b 2 记 求数列的前项和 1 1 coscos n nn c aa n cn n T 24 函数 11 0 22 1 2 1 1 2 xx f x xx 定义 xf的第k阶阶梯函数 1 2 kkx k kxfxfk 其中 Nk xf的各阶梯函数图像的最高点为 kkk baP 最低点为 kkk dcQ 1 直接写出不等式 xxf 的解 2 求证 所有的点 k P在某条直线L上 3 求证 点 k Q到 2 中的直线L的距离是一个定值 10 25 已知函数 设在点N N 处的切线在轴上的 0 1 x f xx x f x n f nn y 截距为 数列满足 N N 1 求数列的通项公式 n b n a 11 1 2 nn aaf an n a 2 在数列中 仅当时 取最小值 求的取值范围 nn n aa b 2 5 n nn n aa b 2 3 令函数 数列满足 N N 2 1 g xf xx n c 1 1 2 c 1 nn cg cn 求证 对于一切的正整数 都满足 2 n2 1 1 1 1 1 1 1 21 n ccc 26 已知数列满足 数列 n a 1 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 n n n n a a a a a 1 0 1 naa nn 满足 n b 1 22 1 naab nnn 1 求数列的通项公式 n a n b 2 证明 数列中的任意三项不可能成等差数列 n b 20122012 年广州市高考备考冲刺阶段数学学科年广州市高考备考冲刺阶段数学学科 文科文科 训练材料训练材料参考答案参考答案 1 1 3 3 sin cos4 xxxf3 2cos 2 3 2sin 2 1 cos4 xxx 3cos322sin 2 xx3 2 2cos1 322sin x x xx2cos32sin 3 2sin 2 x 故函数的图象可由函数的图象向左平移得到 xfy xy2sin2 6 2 由 得 kx 23 2 212 k x Zk 故函数的图象的对称轴方程为 由 得 xf 212 k x Zk kx 3 2 26 k x Zk 故函数的图象的对称中心为 xf 0 26 k Zk 2 1 由正弦定理得 ARasin2 BRbsin2 CRcsin2 11 所以 B AC b ac B CA sin sinsin33 cos cos3cos 即 即有BABCBCBAcossincossin3sincos3sincos sin 3 sin CBBA 又 所以 所以 CBAACsin3sin 3 sin sin A C a c 2 由 1 知 又 所以 ac3 3 3 cos B B0 3 6 sin B 又的面积为 所以 即 得 ABC 22sin 2 1 Bac2 3 6 2 3 2 a2 a 由余弦定理得 所以6 c4 3 3 62226cos2 222 Bacacb 2 b 3 1 由三角函数的定义 得 故 2 1 sin 2 3 cos 2 2 3 3 2 1 cos3sin f 2 作出平面区域 即三角形区域 如图所示 ABC 其中 于是 1 0 A 2 1 2 1 B 1 1 C 24 又 且 3 sin 2cos3sin f 6 5 312 7 故当 即时 取得最小值 且最小值为 1 6 5 3 2 f 当 即时 取得最大值 且最大值为 12 7 3 4 f 2 62 4 1 由题意有 解得 101525 400150600yx 400 x 450y 2 方法方法 1 1 由题设知奖品中有两辆舒适型轿车记为 三辆标准型轿车记为AB 1 2 3 随机抽取两辆轿车共有以下情形 12 13 23 共 10 种 其中至少有一辆是舒适型AB1A2A3A1B2B3B 轿车的情形有 共 7 种 AB1A2A3A1B2B3B 12 则至少有一辆是舒适型轿车的概率为 7 10 方法方法 2 2 由题设知奖品中有两辆舒适型轿车记为 三辆标准型轿车记为AB 1 2 3 随机抽取两辆轿车共有以下情形 12 13 23 共 10 种 其中不含有舒适型轿车的AB1A2A3A1B2B3B 情形有 12 13 23 共 3 种 则至少有一辆是舒适型轿车的概率为 37 1 1010 p 5 1 函数的图象的对称轴为14 2 bxaxxf 2 a b x 要使在区间上为增函数 当且仅当 0 且14 2 bxaxxf 1 aab a b 2 1 2 即 若 1 则 1 若 2 则 1 1 若 3 则 1 1 ababab 事件包含基本事件的个数是 1 2 2 5 所求事件的概率为 51 153 2 由 1 知当且仅当且 0 时 函数上ab 2a 1 14 2 在区是间bxaxxf 为增函数 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 80 0 0 ab a ba b 构成所求事件的区域为三角形部分 由 3 8 3 16 2 08 得交点坐标为 a b ba 所求事件的概率为 3 1 88 2 1 3 8 8 2 1 P 6 1 m n的取值情况有 23 25 23 30 23 26 23 16 25 30 25 26 25 16 30 26 30 16 26 16 基本事件总数为 10 设 25 25 30 30 m n 为事件A 则事件A包含的基本事件为 25 30 25 26 30 26 所以 3 10 P A 故事件 25 25 30 30 m n 的概率为 3 10 2 将甲 乙所作拟合直线分别计算y的值得到下表 x 101113128 y 2325302616 13 N E D C B A P F 2 2yx 2224 228 626 417 6 2 53yx 2224 529 52717 用2 2yx 作为拟合直线时 所得到的y值与y的实际值的差的平方和为 22222 1 2223 24 225 28 630 26 226 17 6 16 6 32S 用2 53yx 作为拟合直线时 所得到的y值与y的实际值的差的平方和为 22222 2 2223 24 525 29 530 2726 17 16 3 5S 由于 12 SS 故用直线2 53yx 的拟合效果好 7 1 证明 平面 平面 EC 平面 ECPDPD PDAEC PDAPDA 同理可得 BC 平面 EC平面 EBC BC平面 EBC 且 PDA ECBCC 平面 平面 又 BE平面 EBC BE 平面 PDA BECPDA 2 连结 AC 与 BD 交于点 F 连结 NF F 为 BD 的中点 且 NFPD 1 2 NFPD 又且 且 ECPD 1 2 ECPD NFECNFEC 四边形 NFCE 为平行四边形 NEFC 平面 面 DBAC PD ABCDAC ABCD 又 ACPD PDBDD 面 面 AC PBDNE PDB 8 1 连结 为的中点 ONOBON MBN ONB 中 为的中点 BNOMPBPN MBN PNB 中 又 且 OM PM 在平面 POM 内 BNPMOM PMM 平面 BNPOM 2 连结 点 分别为 的中点 ANOMABBN ABN 中 OMAN AN 在平面内 OM 在平面外 OM 平面 DNAN DNAN DNAN 又 在平面内 PO 在平面外 PONN NN DNAN DNAN PO 平面 OM PO 在平面 POM 内 且 DNAN OM POO 平面 平面 POMDNAN 3 圆柱圆锥几何体 VVV 2 2 2 1 2 2 2 3 1 2 22 2 2 3 3 14 3 36 O SSSS 圆圆柱侧圆锥侧几何体表 2 2 2 2 2 2 22 2 2 42 7 9 1 由该几何体的三视图可知垂直于底面 且 ACBCED4 ACBCEC 1 BD 104 14 2 1 BCED S 此几何体的体积为 3 40 410 3 1 3 1 ACSV BCED 3 40 2 过 C 作 CQ ED 于 Q 则点 Q 为所求点 平面且 ED 在平面 BCED 内 AC ED ACBCED 又 CQ ED 且 CQ 在平面 ACQ 内 AC 在平面 ACQ 内 CQ AC C ED 平面 ACQ 过 D 作 DF EC 于 F 由 CEQ DEF 得 5 12 ED EFEC EQ ED 上存在点 Q 当 EQ 时 ED 平面 ACQ 5 12 10 1 按方案一计费 邝先生家 6 月份应付电费 140 0 61 60 0 6620 0 81 140 0 3060 0 3520 0 50 元 85 4039 00 16 2042 0021 00 11 00215 2 按方案二计费 邝先生家 6 月份应付电费 元 210 0 60 10 0 66210 0 30 10 0 35199 1 所以 邝先生家 6 月份应付电费选择方案二更省钱 2 按方案二计费 设邝先生家 6 月份应付电费元 则 f x0600 x 0 610 30 2100 35 2200 60 170 0170 0 610 30 2100 35 390 170210 0 61 2100 66 210 0 30 2100 35 390 210390 0 61 2100 66 210 0 30 600 390430 0 61 2100 66 2200 91 xxx xxx f xxxx xxx 430 0 30 600 430600 xxx 即 0 01272 0170 0 26199 5 170210 0 31327 6 210390 0 36169 5 390430 0 6162 430600 xx xx f xxx xx xx 当时 0170 x 0 01272272f xx 当时 170210 x 243 7 0 26199 5254 1f xx 当时 210390 x 0 31327 6392 7f xx 当时 390430 x 0 36169 5309 9f xx 当时 430600 x 0 6162324 3f xx 15 综上所述 当时 邝先生家 6 月份应付电费最省 170 210 x 11 1 由题意 当时 当时 设020 x 60 v x 20200 x v xaxb 由已知得解得 2000 2060 ab ab 1 3 200 3 a b 60 020 1 200 20200 3 x v x xx 2 依题意得 60 020 200 20200 3 xx f x x xx 当时 为增函数 故 020 x f x 1200f x 当时 时 取最大值 20200 x 100 x f x 10000 3333 3 答 车流密度为 100 时 车流量达到最大值 3333 x f x 12 1 由已知 每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为 元 万元 3000250750000 75 从第二层开始 每幢每层的建筑总费用比其下面一层多 元 万元 8025020000 2 每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以 75 为首项 2 为公差的等差数列 所以函数表达式为 2 1 8 752 140085921400 2 x x yf xxxxx N 2 由 1 知经适楼房每平方米平均开发费用为 元 2 40 74175 10000 8250 f xxx g x xx 175 407440 2 17574x x 当且仅当 即时等号成立 175 x x 13 2x 但由于 验算 当时 x N13x 175 40 1374 13 g x 当时 由于14x 175 40 1474 14 g x 175 40 1374 13 175 40 1474 14 所以时 每平方米平均开发费用最小 13x 答 该经适楼建为 13 层时 每平方米平均开发费用最低 1313 1 当时 方程可化为 曲线表示直线和 0 a1x C1 x1 x 当时 方程可化为 曲线表示圆心在原点 半径为 1 的圆 1 a1 22 yxC 16 当时 方程可化为 曲线表示焦点在轴上的双曲线 0 a 2 2 1 1 y x a Cx 当时 方程可化为 曲线表示焦点在轴上的椭圆 10 a 2 2 1 1 y x a Cy 当时 方程可化为 曲线表示焦点在轴上的椭圆 1 a 2 2 1 1 y x a Cx 2 由消去得 22 1 1 yx xay y012 1 2 aaxxa 因为 所以方程 是一元二次方程 1 a 因为 所以直线与曲线必有两个交点 04 1 1 44 2 aaa1 xyC 设 则 11 yxM 22 yxN 12 12 2 1 1 1 a xx a a x x a 所以 2 21 2 21 2 21 2 xxyyxxMN 2 1 1 4 1 2 24 2 2 21 2 21 a a a a xxxx 整理得 解得 或 所以曲线的方程为 或032 2 aa1 a3 aC1 22 yx 13 22 yx 1414 1 设 则 由 得 00 P xy 2 2 0 0 1 4 y x APPB 0000 2 2 xm ymnxny 解得 所以 1 22 1 nm y nm x 22 11 mnmn P 因为 所以 化简得 2 2 0 0 1 4 y x 22 1 22 1 141 mnmn 4 1 2 mn 17 2 设 其中 因为双曲线的渐近线方程为 所以 2 AOB 0 2 C2yx 2tan 因为 mOA5 nOB5 222 2sincos2tan4 sin2 sincostan15 所以 1 sin22 2 AOB SOAOBmn 2 1 11 1 22 记 则 1 1 2 1 S 3 2 1 22 11 1 1 1 22 S 因为当时 在上是减函数 1 1 2 0S S 1 1 2 当时 在上是增函数 13 0S S 1 3 所以当时 取得最小值 当时 取得最大值 1 S23 S 3 8 所以 面积的取值范围是 AOB 3 8 2 1515 1 设动圆圆心的坐标为 动圆半径为 因为动圆过定点 所以 x yr 1 0F 22 1 xyr 因为动圆与直线相切 所以 消去得 化简得1x 1xr r 22 1 1xyx 2 4yx 所以曲线的方程为 2 4yx 2 假设 是直角三角形 不失一般性 设 则 ABC 0 90A 0AB AC 设 由于 是曲线上的不同三点 所以 11 A x y 22 B xy 33 C xyABC 2 4 i i y x 12 yy 13 yy 因为 所以1 2 3i FAFBFC 0 112233 1 1 1 0 0 xyxyxy 解得 123 3xxx 123 0yyy 由 得0AB AC 21312131 0 xxxxyyyy 18 把 2 4 i i y x 代入上式 化简得 1 2 3i 1213 16yyyy 所以 即 所以 32 16yy 3 2 16 y y 1232 2 16 yyyy y 因为 所以 222 312 123 3 444 yyy xxx 222 123 12yyy 把 代入上式 化简得 12 2 16 yy y 3 2 16 y y 42 22 222560yy 因为 所以无解 这与点是曲线上的点矛盾 2 22 4 2565400 2 yB 所以 不可能是直角三角形 ABC 1616 1 设椭圆的半焦距为 则 Cc2c 3a 所以 准圆 的半径 22 1bac 22 2rab 所以椭圆的方程为 准圆 的方程为 C 2 2 1 3 x y 22 4xy 2 由于直线 的斜率可能存在 也可能不存在 下面分两种情况加以讨论 1 l 2 l 当 中至少有一条直线的斜率不存在时 不妨设 1 l的斜率不存在 1 l 2 l 因为 1 l与椭圆只有一个公共点 所以 1 l的方程为 C3x 当 1 l的方程为时 此时 1 l与 准圆 交于 两点 3x 3 1 3 1 此时经过点且与椭圆只有一个公共点的另一条直线是 3 1 C1y 经过点且与椭圆只有一个公共点的另一条直线是 3 1 C1y 即的方程是为或 显然 2 l1y 1y 12 ll 同理可证 当 1 l的方程为时 也有 3x 12 ll 当 的斜率都存在时 设 的斜率分别为 1 l 2 l 1 l 2 l 1 k 2 k 设 则 00 P xy 22 00 4xy 设经过点且与椭圆只有一个公共点的直线方程为 00 P xy 00 yyk xx 19 由消去得 00 2 2 1 3 yyk xx x y y 222 0000 1 3 6 3 30kxk ykx xykx 由 222 0000 6 4 1 3 3 3 0k ykxkykx 整理得 222 0000 3 210 xkx y ky 因为 所以上式可化为 22 00 4xy 222 0000 3 230 xkx y kx 因为 与椭圆都只有一个公共点 1 l 2 lC 所以 满足方程 1 k 2 k 222 0000 3 230 xkx y kx 所以 所以 综上 与 可知 2 0 12 2 0 3 1 3 x kk x 12 ll 12 ll 17 1 0 1 x x xa xf 当a 0时 的单调增区间为 减区间为 xf 1 0 1 当a 0时 的单调增区间为 减区间为 xf 1 1 0 当a 0时 为常函数 xf 2 令 解得a 2 1 2 2 a f 32ln2 xxxf xx m xxg22 2 23 2 4 3 2 xmxxg 在区间上总不是单调函数 且 xg 3 t2 0 g 由题意假设存在实数m 对于任意的 恒成立 03 0 g tg 2 1 t 0 t g 所以 解得 03 02 01 g g g 9 3 37 m 3 令 此时 所以 由 1 知1 a 3ln xxxf 21 f 在上单调递增 当时 即 3ln xxxf 1 1x 1 fxf 01ln xx 20 对一切成立 令x n 则有 1ln xx 1x 2Nnn 1ln0 nn n n n n1ln 0 2 11 4 3 3 2 2 1ln 2 2ln 2 2ln 2 2ln Nnn nn n n n 18 1 1 0 0 x x x F xx ex x 当0 x时 即时 最小值为 2 1 2 F xx x 1 x F x 当时 在上单调递增 所以 0 x x F xex 0 0 1 F xF 所以时 的值域为 1 k F x 1 2 2 依题意得 2 1 0 0 x kx F xx ek x 若 当时 递减 当时 递增 0 k0 x 0 F x F x0 x 0 F x F x 若 当时 令 解得 0 k0 x 0 F x 1 x k 当时 递减 当时 递增 1 0 x k 0 F x F x 1 x k 0 F x F x 当时 递增 0 x 0 F x F x 若 当时 递减 10 k0 x 0 F x F x 当时 解得 0 x 0 x F xekln xk 当时 递增 ln 0 kx 0 F x F x 当时 递减 ln xk 0 F x F x 对任意0 x 在上递减 1 k 0 F x F x 0 0 综上所述 当时 在或上单调递增 在上单调递减 0 k F x 0 1 k 1 0 k 当时 在上单调递增 在上单调递减 0 k F x 0 0 21 当时 在上单调递增 在 10 k F x ln 0 k ln k 上单调递减 0 当时 在上递减 1 k F x 0 0 19 1 2 2 2 2 1 2 2 axaxaxa x fxxa xxx 当及时 当时 2 a 1 2 a 01x 2 a x 0fx 1 2 a x 0fx 的单调递增区间为 f x 0 1 2 a 2 4a 4 26fxx x 4 0 264 26xfxx x 不存在这类直线的切线由得与 60 xym 4 263x x 1 2 x 4x 当时 求得 当时 求得 1 2 x 17 4ln2 4 n 4x 4ln420 n 3 2 00000 0 4 26 64lnyg xxxxxxx x 令 00 2 00 0 0 2 ln466 4 2ln46 xxxxx x xxxxgxfx 则 0 0 x 0000 000 44222 26 26 2 1 xxxxxxxx xxx xxx 当时 在上单调递减 0 2x x 0 0 2 x x 时 从而有时 0 0 2 xx x 0 0 xx 0 0 2 xx x 0 4 0 x xx 22 当时 在上单调递减 0 2x x 0 0 2 x x x 0 0 2 x x 从而有时 0 0 xx 0 0 2 xx x 0 4 0 x xx 在上不存在 类对称点 0 2 2 当时 0 2x 2 2 2 xx x 在上是增函数 故 x 0 0 0 x xx 是一个类对称点的横坐标 2x 20 1 函数在上是增函数 2 xxf 1 0 对任意划分 T 1 0 1 101 1 1 ffxfxfxfxfxfxf nn n i ii 取常数 则和式 恒成立 1 MMxfxf n i ii 1 1 ni 2 1 所以函数在上是有界变差函数 2 xxf 1 0 2 不妨设函数是上的单调增加 对任意划分 xf ba T 101 1 1 afbfxfxfxfxfxfxf nn n i ii 一定存在一个常数 使 故 0 MMafbf baBVf 3 对任意划分 T 1 1 1 1 abkxxkxfxf n i ii n i ii 取常数 由有界变差函数定义知 abkM baBVf 21 1 因为点的坐标为 的坐标为 n Q 2 nn a a 1n Q 2 1 n 1n aa 所以点的坐标为 则故的关系为 1n P 1 4 n 1n aa 2 1 4 nn aa 1nn aa 与 2 1 1 4 nn aa 2 设切点为 则得 所以 2 t t 2yx 24t 2 t 3 解不等式得 2 1 2 2 a a 1 22 2a 23 2224 3211 11 11 44 464 aaaa 1 22 2 a 3 1 1 4 a 的取值范围是 3 a 1 1 4 3 由得 即 故 2 1 1 4 nn aa 2 1 1 lglg 4 nn aa 1 1 lg2lglg 4 nn aa 1 11 lglg2 lglg 44 nn aa 1 113 lglglg3lglg0 444 a 所以数列是以 2 为公比 首项为的等比数列 1 lglg 4 n a 3 lg 4 即解得 1 12 133 lglg2lglg 444 n n n a 1 2 3 lglg 44 n n a 1 2 3 4 4 n n a 数列的通项公式为 n a 1 2 3 4 4 n n a 22 1 令 得 12 0 xx 0 0 2 0 ff xf 0 0 f xf 令得 12 1 0 xx 00 1 0 f xf xff 1 0 ff 由 得 1 0 fxf 为单调函数 f x 0 1x 2 由 1 得 121212 1 1f xxf xf xff xf x 1 1 1 2f nf nff n 1 1f 21 f nnnN 1 21 n a n 又 1111 1 1 2222 fffff 1 11 0 11 22 fbf 又 11111 111111 1 2 1 222222 nnnnnn ffffff 1 1 11 22 2 1 22 nn nn bffb 24 1 1 2 n n b 11111111111 1 1 1 33 5 21 21 23352121221 n S nnnnn 01121321 11 1 11111111121 24 1 1 22222222234 1 4 n nnnn n T 42121211 1 1 3321343421 nn nn ST nn 1110 4 3 1 3333121 nnnnnn nnnn CCCCnn 4211 0 33421 n nn ST n 4 3 nn ST 23 1 数列的前项和为 n an 2 12 2 nnSn 4 11 Sa 当时 2n 14 12 1 1 22 12 22 1 nnnnnSSa nnn 又适合上式 因此 对一切 都有 1 anN 14 12 nan 从而 3 14 12 34 12 1 nnaa nn 故是首项为 公差为的等差数列 n a 4 3 对于任意的正整数 都是奇数 从而不是的整数倍 n41n n a 0sin n a 0sinsinsin 21 nnnn aaab 因为是公差为的等差数列 n a 3