直线电机本体建模

基于基于 Simulink 的直线电机本体建模的直线电机本体建模 电磁发射课题组 2015 年 10 月 29 日 1直线感应电动机的等效电路直线感应电动机的等效电路 直线电机在结构上可看作是沿径向剖开并将圆周展为直线的旋 转电机 如 Error Reference source not found 所示 直线感应电动 机的稳态特性近似计算方法基本可以沿用旋转感应电动机的等效电 路 Error Reference source not found 图 1 旋转电机演变为直线电机示意图 对于旋转异步电机而言 与电机绕组交链的磁通主要有两类 一类是穿过气隙的相间互感磁通 另一类是只与一相绕组交链而不 穿过气隙的漏磁通 前者是主要的 定子各相漏磁通所对应的电感 称作定子漏感 由于绕组的对称性 各相漏感值均相等 同样 ls L 转子各相漏磁通则对应于转子漏感 lr L 对于每一相绕组来说 它所交链的磁通是互感磁通和漏感磁通 之和 因此 定子各相自感为 1 AABBCCmsls LLLLL 转子各相自感为 2 aabbccmrlrmslr LLLLLLL 两相绕组之间只有互感 互感又分为两类 1 定子三相彼此之间和转子三相彼此之间位置都是固定的 故互感为常值 2 定子任一相与转子任一相之间的位置是变化的 互感是角 位移 的函数 由于三相绕组轴线彼此在空间的相位差为 因此互感为 120 3 1 cos 120cos120 2 msmsms LLL 于是 4 1 2 ABBCCABACBACms LLLLLLL 5 11 22 abbccabacbacmrms LLLLLLLL 定转子绕组间的互感由于相互间的位置的变化 为 6 cos AaaABbbBcCCcms LLLLLLL 7 cos120 AbbABccBaCCams LLLLLLL 8 cos120 AccABaaBbCCbms LLLLLLL 以上是针对旋转异步电机的参数的推到过程 而对于直线电机 文献 Error Reference source not found 中作者给出了圆筒形直线感 应电动机的等效电路 如所示 图 2 圆筒形直线电机的等效电路 Error Reference source not found 中 和分别代表初级绕 s R s X 组的电阻和漏抗 代表励磁电阻 代表励磁电抗 代表次级 m R m X 20 r 表面电阻 代表次级表面电抗 代表边端效应影响纵向边电功 20 x ed R 率产生的损耗折算成的等效电阻 代表在次级铜层中的折算的电 r R 阻值 在该文献 Error Reference source not found 中次级使用的是导 电层和导磁层所构成的复合材料 至于 Error Reference source not found 中的相关参数的计算过程 在该文献中都有详细的说明 不 再赘述 文献 Error Reference source not found 中给出了计及边端效应 的等效电路 如所示 图 3 计及边端效应的等效电路 Error Reference source not found 中 为励磁电纳 0 b 为初级绕组电阻 为初级绕组漏电抗 为次级导体电阻折算到 1 r 1 x 2 r 初级的换算值 为边端效应消耗功率的等效电阻折算到初级的换 e R 算值 2直线感应电机的数学模型直线感应电机的数学模型 1 电压方程 参看海军工程大学鲁军勇在文献 Error Reference source not found 中给出的电压方程 即 9 0 0 dss dsdseqs dss dsdseqs r drdreqr r qrqredr vR iDV vR iDV R iDVV R iDVV 式中 为通电段定子绕组电阻 为通电段定子绕组电阻 s R r R 为同步速度 为动子实际速度 为微分算子 e V VD 注释 对上式进行简要的推导 利用三相静止坐标系到两相任意旋转坐标系间的转换矩阵 可将三相静止坐标系下的定子电压方程转换到任意旋转坐标系 32sr C dq0 坐标系下 即 1 3 23 23 23 2 00 d 00 d 00 00 dd 00 dd 00 AsAA BsBB CsCC AsA dsds srBsrsBsrsr qsqs CsC ds uRi uRi t uRi uRi CuCRiCC tt uRi u u 1 1 1 1 0 d 0d dsdsds s qsqsqsqs dss dsdsqs qss qsqsds i R it uRiD uRiD 10 对于转子电压方程的推导过程类似 只是转子坐标系转换矩阵 与定子坐标系的转换矩阵不一样 即 11 32 22 coscos cos 33 222 sinsin sin 333 111 222 rrr srrrr C 利用该转换矩阵将转子电压方程由三相静止坐标系转换到两相 任意旋转坐标系下 即 1 3 23 23 23 2 00 d 00 d 00 00 dd 00 dd 00 araa brbb crcc ara drdr srbsrrbsrsr qrqr crc dr uRi uRi t uRi uRi CuCRiCC tt uRi u u 0 d 0d drdrdr s r qrqrqrqr s drr drdrsqr qrr qrqrsdr i R it uRiD uRiD 12 综上 将电压方程归结为 13 考虑角速度与速度间的关系 即 14 Rv vv R 将式 14 带入到式 13 中可得 15 0 0 dss dsdseqs qss qsqseds r drdreqr r qrqredr uRiDV uRiDV RiDVV RiDVV 注意 式 13 中的是电角速度 中的为次级折算的 1 1s 旋转角速度 机械量 折算关系是 而式 15 中的速 v 度是同步速度 定子磁场的速度 是动子实际的运动速度 机 e V V 械运动速度 2 磁链方程 鲁军勇在文献 Error Reference source not found 中给出的直线 电机的磁链方程为 16 1 1 dslsumdsm dr qslsumqsm qr drm dslrmdr qrm qslrmqr LLLiL i LLLiL i L iLLi L iLLi 3 电磁推力方程 文献 Error Reference source not found 中给出的直线电机电磁 推力方程为 17 3 2 m edr qsqr ds r L Fii L 注释 对上式 17 进行简要的推导 从电磁功率的角度入手 则 18 ere eme emee p pm rpm FvP TT TPF n n vn 因此 电磁推力与电磁转矩的关系为 19 e e p T F n 而我们知道对于旋转异步电机对于旋转异步电机而言 其电磁转矩的表达式为 20 epmsrsr Tn Li ii i 结合磁链方程将式 20 中的转子电流分量消掉 则 21 rm s r rrm sr r rm sr rrm s r r iL i i LL iLi L iLiL i i L 将式 21 带入到式 20 中可得 22 epmsq rdsd rq rqm sq rdm sd pmsqsd rr m psqrdsdrq r em esqrdsdrq pr Tn L i ii i L iL i n Lii LL L nii L TL Fii nL 疑问 式 17 中的系数如何理解 个人认为应该是转换矩阵的不同带来的这个系数 因为在上面 的分析中采用的都是恒功率转换矩阵 而在鲁军勇的文献中所使用 的转换矩阵是恒幅值转换矩阵 下面我们验证这种猜测 由文献 Error Reference source not found 可知恒功率转换矩阵 和分别为 32sr C 1 32sr C 23 32 coscos120cos120 2 sinsin120sin120 3 111 222 sr C 24 1 32 1 cossin 2 21 cos120sin120 32 1 cos120sin120 2 sr C 恒幅值转换矩阵为 25 32 coscos120cos120 2 sinsin120sin120 3 111 222 sr C 26 1 32 cossin1 cos120sin1201 cos120sin1201 sr C 仍然借助旋转异步电机的电磁转矩来推导电磁推力 将式 25 和 26 带入到文献 Error Reference source not found 中给 出的电磁转矩表达式中 即 27 sinsin 120 sin 120 epmsA aB bC cA bB cC a A cB aC b Tn Li ii ii ii ii ii i i ii ii i 利用恒幅值转换矩阵将 ABC 坐标系上的定 转子电流转换到 dq0 坐标系 即 11 11 110 cossin1 cos120sin1201 cos120sin1201 Asd Bsq Cs ii ii ii 0 cossin1 cos120sin1201 cos120sin1201 arrrd brrrq crrr ii ii ii 由于推导过程相当复杂 但是我们发现在文献 Error Reference source not found 中作者指出 在化简过程中的零轴分量完全抵消了 所以对比两种情况的转换矩阵 可做如下的推导 当使用恒功率转换矩阵时 28 sinsin 120 sin 120 2 3 epmsA aB bC cA bB cC a A cB aC b pms Tn Li ii ii ii ii ii i i ii ii i n LK 当使用恒幅值转换矩阵时 29 sinsin 120 sin 120 epmsA aB bC cA bB cC a A cB aC b pms Tn Li ii ii ii ii ii i i ii ii i n L K 因此 采用恒幅值转换矩阵运算时的电磁转矩为采用恒功率转 换矩阵运算时电磁转矩的 1 5 倍 即 将其带 3 2 epmsq rdsd rq Tn L i ii i 入到式 19 中可得电磁推力为 30 33 22 em emsq rdsd rqsqrdsdrq pr TL FL i ii iii nL 4 运动方程 文献 Error Reference source not found 中给出的直线电机在发 射阶段的运动方程为 31 2 e dv MmFBvMm g dt 式中 为负载质量 为动子本体质量 为电磁推力 Mme F 为风摩系数 为滑动摩擦系数 B 注释 个人认为如果按照式 23 来编写状态方程时 较难列写出速 度的状态方程 因为我们知道状态方程的形式为 考 xAxBu 虑是否能将运动方程简化为这种容易列写状态方程的形式 为此 参看文献 Error Reference source not found Error Reference source not found 中给出的运动方程的形式 即 32 d d eLv v MmFFB v t 式中 负载阻力 L F 机械运动速度 v 与速度有关的阻尼系数 v B 将电磁推力的表达式带入到式 32 中 得 33 d d vmL dr qsqr ds r BLvF vii tML MM 总总总 文献 Error Reference source not found 中作者将粘滞阻尼系数 取 0 2 v BN s m 3状态方程推导状态方程推导 状态方程是指刻画系统输入和状态关系的表达式 状态向量所 满足的向量常微分方程称为控制系统的状态方程 状态方程是控制 系统数学模型的重要组成部分 对于线性系统而言 我们知道其状态方程的形式为 33 xA t xB t u yC t xD t u 状态变量的选取 直线电机作为异步电机的一种 同样具有 4 阶电压方程和 1 阶 运动方程 因此其状态方程也应该是 5 阶的 因此必须选取 5 个状 态变量 Error Reference source not found 在旋转异步电机中可选 的变量共有 9 个 即转速 4 个电流变量 和 4 个磁 sd i sq i rd i rq i 链变量 个人认为针对直线电机而言 将其中的 sd sq rd rq 转速换成速度 另外 转子电流 是不可测的 因此不宜作为 vrd i rq i 状态变量 故只能选择定子电流和 另两个状态变量必须是转 sd i sq i 子磁链 或定子磁链 rd rq sd sq 为了推导出状态方程 需要结合电压方程 15 和磁链方程 现将两个方程重新列出 电压方程 34 1 1 0 0 dss dsdsqs qss qsqsds r drdrsqr r qrqrsdr uR iD uR iD R iD R iD 磁链方程 35 sds sdm rd sqs sqm rq rdm sdr rd rqm sqr rq L iL i L iL i L iL i L iL i 式 34 中 1s 注意到如果采用转子磁链定向 则有 即 0 rqm sqr rq L iL i 由式 35 的第 3 式可得 m rqsq r L ii L rdm sd rd r L i i L 将磁链方程代入到电压方程中 消去其中的 sd sq rd i rq i 1 0 1 0 sds sds sdm rddqss sqm rq sqs sqs sqm rqdqss sdm rd rrdm sdrddqsrq r rrqm sqrqdqsrd r uR ip L iL i L iL i uR ip L iL i L iL i R L ip L R L ip L 由上式的第 3 4 式可得 d1 d d1 d m rdrsdrrddqsrq rr m rqrsqrrqdqsrd rr L RiR tLL L RiR tLL 22 2 22 2 d d d d srrmmmsd sdsddqs sqrdrq srsrrsrs sq srrmmm sqdqs sdsqrdrq srsrsrrs R LR LLL u ii i t L L L LT L L L u R LR LL L i ii t L L L L L LT L 其中 电机漏磁系数 2 1 m sr L L L 转子电磁时间常数 r T r r r L T R 1dqs 将上述推导出的状态方程写成矩阵的形式 则 22 2 22 2 1 0 1 d 0 d 1 0 00 1 0 srrmmm dqs srsrrsr sdsds srrmmm dqs sqsq srsrsrr srdrd m dqs rqrq rr m dqs rr R LR LLL L L L LT L L ii L R LR LL L ii L L L L L LT L t L TT L TT 00 sd sq u u 上式与式 33 即组 d d vmL dr qsqr ds r BLvF vii tML MM 总总总 成直线电机的状态方程 从上述的状态方程中可知 状态变量为 36 T sdsqsdsq Xvii 输入变量为 37 1 T sdsqL UuuF 如果在推导状态方程时使用的是鲁军勇文献 Error Reference source not found 中给出的电压方程和磁链方程 则只需对上述的状 态方程做如下的修改 4S Function 的编写的编写 4 1 S 函数的原理函数的原理 Simulink 中的大部分模块都具有一个输入向量 一个输出向 u 量和一个状态向量 如所示 y x 引入 S 函数的引入 S 函数的目的是为了使 Simulink 有能力构作 一般的仿真框图 去处理如下各种系统的仿真 连续系统 离散系 统 离散和连续混合系统等 通常 S 函数的调用格式为 38 Function sfuntmpl sys xo str tst x u flag 其中 为模型文件名 t x u 分别为当前时间 状态向sfuntmpl 量 输入向量 而变量 flag 的值是仿真过程中的状态标志 用它来 判断当前是初始化还是运行等 sys 输出根据 flag 的不同而不同 x0 是状态变量的初始化 str 是保留参数 4 2 S 函数的函数的 m 文件文件 K 3 asynchronous motor ays m 3 m function sys x0 str ts asy m t x u flag J np Rs Rr Ls Lr Lm switch flag case 0 sys x0 str ts mdlInitializeSizes case 1 sys mdlDerivatives t x u case 2 sys mdlUpdata t x u case 3 sys mdlOutputs t x u case 9 sys mdlTerminate t x u otherwise error Unhandeld flag num2str flag end function sys x0 str ts mdlInitializeSizes sizes simsizes sizes NumContStates 5 连续状态变量的个数为5 sizes NumDiscStates 0 离散状态变量的个数为0 sizes NumOutputs 5 输出变量的个数为5 sizes NumInputs 4 输入变量的个数为4 sizes DirFeedthrough 1 直接贯通标志 意思是输入能够直接控制输出 sizes NumSampleTimes 1 采样时间的个数 至少要有一个采样时间 sys simsizes sizes x0 0 0 0 0 0 初始化 str 固有格式 预留的 ts 0 0 function sys mdlDerivatives t x u Rs 6 33 Rr 32 45 Lm 0 06212 Lr 0 08 Ls 0 125 rou 1 Lm Lm Ls Lr Tr Lr Rr np 2 J 0 002 Bv 0 02 m 10 M 10 miu 0 05 g 9 8 tao 0 0616 sys 1 Rs Lr Lr Rr Lm Lm rou Ls Lr Lr x 1 u 3 x 2 Lm rou Ls Lr Tr x 3 Lm x 5 pi tao x 4 rou Ls Lr u 1 rou Ls sys 2 u 3 x 1 Rs Lr Lr Rr Lm Lm rou Ls Lr Lr x 2 Lm x 5 pi tao x 3 rou Ls Lr Lm x 4 rou Ls Lr Tr u 2 rou Ls sys 3 Lm x 1 Tr x 3 Tr x 4 u 3 x 5 pi tao sys 4 x 2 Lm Tr x 3 u 3 x 5 pi tao x 4 Tr sys 5 Bv x 5 m M pi tao Lm x 3 x 2 x 4 x 1 Lr m M FL M m function sys mdlOutputs x sys x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 function sys mdlUpdata t x u sys function sys mdlTerminate t x u sys 5直线电机的矢量控制仿真直线电机的矢量控制仿真 5 1 仿真模型仿真模型 直线电机作为异步电机的一种 其动态数学模型同样是一个高 阶 非线性 强耦合的多变量系统 虽然通过坐标变换可以使之降 阶并简化 但是并没有改变其非线性 多变量的本质 Error Reference source not found 因此 仍然需要采用相应的解耦控制 策略来实现直线电机调速系统的高动态性能 目前应用最多的方案 有 1 按转子磁链定向的矢量控制系统 2 按定子磁链控制的直接转矩控制系统 将仿真模型分成如下几个部分分别单独介绍 1 转子磁链观测模型 仿真模型是按转子磁场定向的 因此转子磁链位置的精确观测 是控制系统能否实现定子电流转矩分量和励磁分量成功解耦的关键 转子磁链位置的表达式为 38 12 dt 在文献 Error Reference source not found 中动子磁链角为 39 d rs t 式中为动子运动的电角频率 r 注释 个人对式 38 和 39 的理解是 应该是而不是电角频率 r 而不是动子运动的实测角频率 正因为如此 在实际建模的时候 动子磁链角采用的表达式才 改写为 40 d ps nt 其中 为感应电机极对数 p n 当采用转子磁链定向时 满足 41 0 0 1 r drdrsqr m qr rsd r rdrm sdr rd RiD L i T p L iLi 式中 P 为微分算子 为定子电流的 d 轴分量 为动子磁 sd i r 链 为动子时间常数 rrr TL R 实际上 此时的电磁推力的表达式也相应的变为 42 3 2 m esqrd r L Fi L 此时的转差角速度满足 43 1 12 0 0 0 r rqrqrd rq rqm sqr rq rmm sqsq rrdrrd Rip L iLi R LL ii LT 式 40 41 和 43 构成转子磁链观测模块的主要方程 从式 43 中可知 转子磁链处在分母的位置上 因此在电机 启动的时候 转子磁链为零 则式 43 出现奇异点发散现象 造 成仿真错误 因此 可将上式改写为 44 12 m sq rr L i Tk 可将式 44 中的 取为一个很小的常数 k 注释 这样的做法应该是相当于给转子磁链设定了一个初始值 如果 我们不采用这种做法 而采用预励磁控制 是否也可以起到这样的 作用 有待验证 L Lm m L Lr r R Rr r u u 1 1 图 4 转子磁链观测模块 2 励磁电流和转矩电流计算模块 励磁电流和转矩电流的计算表达式为 45 11 1 32 23 mr rsdsdrr rmm mre esqrdsq rmrd LT p ii T pLL LL F Fii LL 内部模块为 1 isd Saturation PI s PI Controller 2 phir 1 phir 2 2 u u 2 2 L Lr r t ta ao o 3 3 p pi i L Lm m u u 1 1 2 3 re sq mrd L F i L 图 5 励磁电流和转矩电流计算模块 3 电流调节器 由于控制方案中采用的是 SVPWM 调制方法 其输入量则必须 为电压 因此需要将电流转矩分量和励磁分量转换为相应的电压分 量 因此需要推导出其数学表达式 在文献 Error Reference source not found 中给出的矢量控制条 件下直线感应电机的定子电压方程的表达式为 46 d d dss dses qs qs qss qses dss uRiLi i uRiLiL t 47 1 11 22 11 0 dd dd ddd ddd dss dssdsq m rqm sqr rqrqsq r rdm sd rdm sdr rdrd r sdrd dss dssms sqm rq sdmrmsdm s dsss sqsq rrr s dss uRip L L iLiii L L i L iLii L ii uRiLLLiL i tt iLLiL RiLLii tLtLtL RiL 22 1 1 dd dd dd dd msdmrm ssq rrr sdmr s dsss sq r LiLL Li LtLtL iL RiLLi tLt 48 1 11 22 111 0 dd dd dd dd qss qssqsd m rqm sqr rqrqsq r rdm sd rdm sdr rdrd r sqrq qss qssms sdm rd sqsq mmm s qsss sdrsd rrr s qss uRip L L iLiii L L i L iLii L ii uRiLLLiL i tt iiLLL RiLLii tLtLL L RiL 22 11 1 d d dd dd sq mmm rssd rrr sq mr s qsss sd r iLL Li LtLL iL RiLLi tLt 因此 按照上述的推导得 49 1 1 dd dd dd dd sdmr dss dsss sq r sq mr qss qsss sd r iL uRiLLi tLt iL uRiLLi tLt 在式 46 中作者指出 该式是在保持定子励磁分量不变的 sd i 情况下 而观察式 49 可知 还需默认转子磁链恒定 才能得到 式 46 但是貌似该式中没有系数 是不是作者推导错误是不是作者推导错误 通常采用 PI 调节的方式来求解电压分量 但是文献 Error Reference source not found 中给出的式 46 可知 需要采用前馈 解耦控制测量对交叉耦合电势进行解耦处理 其内部模块为 2 uqf 1 udf f u Fcn1 f u Fcn 2 isq 1 isd 图 6 电流调节器模块 4 SVPWM 模块 5 LIM 模块 在上文中利用 S 函数建立了直线电机的数学模型 将其封装成 模块 并建立如所示的 LIM 模块 8 wm 7 Fe 6 n 5 v 4 phirq 3 phird 2 isq 1 isd w1 w1 udq uabc sin cos abc sin cos dq0 abc to dq0 Transformation asy m 3 S Function Product1 Product pi tao Gain1 K Gain FL 1 5 pi tao Lm Lr 1 5 cos 4 sin 3 uc 2 ub 1 ua 图 7 LIM 模块 6 矢量控制模型 初