相似三角形强化讲义(修订版)

睿思理科 用心成就梦想 1 相似三角形强化讲义相似三角形强化讲义 相似三角形的基本图形 相似三角形的基本图形 1 1 A A 字形和反字形和反 A A 字形字形 2 2 反 反 A A 共边形共边形 AEADDE ACABBC AEADDE ABACBC 2 ACAD AB 3 双垂线模型 双垂线模型 2 ADBD DC 2 ACCD CB 2 ABBD BC 4 一线三等角模型 一线三等角模型 ABBCAC CDDECE 5 旋转模型 旋转模型 注意公共角或对顶角或同角 等角 的余角 或补角 相等注意公共角或对顶角或同角 等角 的余角 或补角 相等 睿思理科 用心成就梦想 2 模块一 平行线分线段成比例模块一 平行线分线段成比例 1 2015 年徐汇区一模 如图 已知 AC 与 BD 相交于点 O 点 G 是 BD 的中ADBC 点 过点 G 作交 AC 于点 E 如果 那么等GEBC 1AD 3BC GE BC 于 A B C D 1 21 31 42 3 2 2014 年普陀区一模 已知 分别是的边 的上的点 DEABC ABAC 若 则为 DEBC 3 4 BD AD BC DE A B C D 3 4 4 3 7 3 7 4 3 2014 年长宁区一模 如图 四边形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O 且将这个四 边形分成 四个三角形 若 OA OC OB OD 则下列结论中一定正确 的是 A 和 相似 B 和 相似 C 和 相似 D 和 相似 4 2015 年闵行区一模 如图 已知 D E分别是 ABC的边BC和AC上的点 2AE 3CE 要使DE AB 那么 BC CD应等于 睿思理科 用心成就梦想 3 5 2015 宝山区一模 在某一时刻 测得一根高为的竹竿的影长为 同时测得一1 8m3m 根旗杆的影长为 那么这根旗杆的高度为 25mm 6 2015 年闸北区一模如图 5 在 Rt ABC 中 C 90 点 D 在边 AB 上 线段 DC 绕点 D 逆时针旋转 端点 C 恰巧落在边 AC 上的点 E 处 如果m DB AD n EC AE 那 么 m 与 n 满足的关系式是 m 用含 n 的代数式表示 m 7 2014 年黄浦区一模 如图 4 AB CD EF 如果 那么 2 3AC CE 10BF 线段 DF 的长为 8 2014 年虹口区一模 如图 若 AB CD EF 则下列结论中 与相等的是 AD AF A B C D AB EF CD EF BO OE BC BE 9 2015 年宝山区一模 如图直角梯形ABCD中 AD BC 2CD ABBC 1AD 动点M N分别在AB边和BC的延长线运动 而且AMCN 联结AC交 MN于E MH AC于H 则EH 睿思理科 用心成就梦想 4 10 2014 年闵行区一模 已知 如图 在平行四边形 ABCD 中 E F 分别是边 BC CD 上的点 且 EF BD AE AF 分别交 BD 于点 G 和点 H BD 12 EF 8 求 1 的值 DF AB 2 线段 GH 的长 11 2015 年徐汇区一模 如图 MN经过 ABC的顶点A MN BC AMAN MC交AB于D NB交AC于E 1 求证 DE BC 2 联结DE 如果1DE 3BC 求MN的长 睿思理科 用心成就梦想 5 12 2014 年嘉定区一模 四边形是平行四边形 是对角线上一点 射线ABCDEAC 分别交射线 于点 DECBABFG 1 如图 8 如果点在边上 点在边的延长线上 FCBGAB 求证 1 DG FG DE EF 2 如果点在边的延长线上 点在边上 FCBGAB 试写出与之间的一种等量关系 并给出证明 DE EF DG FG 睿思理科 用心成就梦想 6 13 2015 年浦东新区二模 如图 已知在平行四边形ABCD中 AE BC 垂足为点 E AF CD 垂足为点F 1 如果AB AD 求证 EF BD 2 如果EF BD 求证 AB AD 睿思理科 用心成就梦想 7 第题图 25 14 2015 年虹口区二模 25 题 如图 在Rt ABC 中 90ACB 13AB CD AB 点E为射线CD上一动点 不与点C重合 联 结AE 交边BC于点F BAE 的平分线交BC于点G 1 当3CE 时 求 CEFCAF SS 的值 2 设CEx AEy 当2CGGB 时 求y与x之间的函数关系式 3 当5AC 时 联结EG 若AEG 为直角三角形 求BG的长 睿思理科 用心成就梦想 8 模块二 模块二 A A 字形模型和反字形模型和反 A A 字形模型字形模型 1 2015 年崇明县一模 如图 点D E F G为ABC 两边上的点 且DEFGBC 若DE FG将ABC 的面积三等分 那么下列结论正确的是 A 1 4 DE FG B 1 DFEG FBGC C 32 AD FB D 2 2 AD DB 2 2014 年宝山区一模 如图已知 ABC 中 D 为边 AC 上一点 P 为边 AB 上一点 AB 12 AC 8 AD 6 当 AP 的长度为 时 ADP 和 ABC 相似 B A C D 3 2014 年虹口区一模 如图 在 ABC 中 如果 DE 与 BC 不平行 那么下列条件中 不能判断 ADE ABC 的是 A ADE C B AED B C D ADDE ABBC ADAE ACAB A BC E D 4 2014 年黄浦区一模 如图 在 ABC 中 AD 是 BC 上的高 且 BC 5 AD 3 矩形 EFGH 的顶点 F G 在边 BC 上 顶点 E H 分别在边 AB 和 AC 上 如果设边 EF 的长为 矩形 EFGH 的面积为 那么关于的函数解析式是 03 xx yyx 睿思理科 用心成就梦想 9 睿思理科 用心成就梦想 10 5 2015 年徐汇区一模 如图 在 ABC中 D E分别是AB AC上的点 且 DE BC 如果 1 4AE EC 那么 ADEBEC SS A 1 24 B 1 20 C 1 18 D 1 16 6 2014 年黄浦区一模 如图 点 D 为 ABC 内部一点 点 E F G 分别为线段 AB AC AD 上一点 且 EG BD GF DC 1 求证 EF BC 2 当时 求的值 2 3 AE BE EFG BCD S S 表示 EFG 的面积 表示 BCD 的面积 EFG S BCD S 睿思理科 用心成就梦想 11 7 2015 年嘉定 宝山区二模 在 Rt ABC中 90C 2 BC Rt ABC绕着 点B按顺时针方向旋转 使点C落在斜边AB上的点D 设点A旋转后与点E重合 联 结AE 过点E作直线EM与射线CB垂直 交点为 M 1 若点M与点B重合如图 10 求BAE cot的值 2 若点M在边BC上如图 11 设边长xAC yBM 点M与点B不重合 求 y与x的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 3 若EBMBAE 求斜边AB的长 A C B M E D 图 10 A CB M E D 图 11 睿思理科 用心成就梦想 12 8 2015 年金山区二模 如图 已知在中 ABC 10 ACAB 3 4 tan B 图1图求的长 BC 图2图点 分别是边 的中点 不重合的两动点 在边上 点DEABACMNBC 不与点 重合 且点始终在点的右边 联结 交MNBCNMDNEM 于点 设 四边形的面积为 OxMN ADOEy 求关于的函数关系式 并写出定义域 yx 当是等腰三角形且时 求的长 OMN 1 BMMN C B A 备用图 睿思理科 用心成就梦想 13 模块三 反模块三 反 A A 共边模型共边模型 1 2014 年黄浦区一模 如图 在 ABC 中 若 AB AC 3 D 是边AC 上一点 且 BD BC 2 则线段AD 的长为 2 2014 年普陀区一模 如图 在边长为 1 的正方形网格上有点 P A B C 则图 中所形成的三角形中 相似的三角形是 3 2015 年嘉定区一模 在 ABC中 9 AB 5 AC AD是BAC 的平分线交 BC于点D 如图 5 ABD沿直线AD翻折后 点B落到点 1 B处 如果 BACDCB 2 1 1 那么 BD 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 4 2015 年虹口区一模 如图 Rt ABC 中 C 90 AB 5 AC 3 在边 AB 上取一 点 D 作 DE AB 交 BC 于点 E 现将 BDE 沿 DE 折叠 使点 B 落在线段 DA 上 不与点 A 重合 对应点记为 B1 BD 的中点 F 的对应点记为 F1 若 EFB A F1E 则 B1D 5 2014 年虹口区一模 如图 在 ABC 中 C 90 AD 是 CAB 的角平分线 BEAE 垂足为点 E 求证 2 BEDE AE A E C D B 第 21 题图 睿思理科 用心成就梦想 14 6 2015 年金山区一模 如图 中 平分 ABC PCACB PCPB 1 求证 APC ACB 2 若 求的长 2 AP6 PCAC 7 2015 年闵行区二模 如图 已知在梯形 ABCD 中 AD BC A 90 AB AD 点 E 在边 AB 上 且 DE CD DF 平分 EDC 交 BC 于点 F 联结 CE EF 1 求证 DE DC 2 如果 2 BEBF BC 求证 BEF CEF 睿思理科 用心成就梦想 15 8 2014 年徐汇区一模 已知 如图 ABC 中 点 D E 是边 AB 上的点 CD 平分 ECB 且 2 BCBD BA 1 求证 CED ACD 2 求证 ABCE BCED C BDE A 睿思理科 用心成就梦想 16 9 2014 年崇明县一模 如图 中 点 D E 分别在 BC 和 AC 边上 点 G 是 BEABC 边上一点 且 联结 AG BADBGDC 1 求证 BD BCBG BE 2 求证 BGABAC 10 2014 年奉贤区一模 如图 已知在等腰 ABC 中 AB AC 点 E 点 D 是底边所在 直线上的两点 联接 AE AD 若 DEDCAD 2 求证 1 ADC EDA 2 CD EB AD AE 2 2 第 23 题图 B D A G EC 第 23 题 A CB DE 睿思理科 用心成就梦想 17 11 2015 年虹口区一模 如图 在 ABC 中 点 D 在边 AC 上 AE 分别交线段 BD 边 BC 于点 F G 1 2 AFDF EFBF 求证 2 BFFG FE 12 2015 年普陀区二模 如图 9 在 ABC 中 点 D E 分别在边 BC AC 上 BE AD 相交于点 G EF AD 交 BC 于点F 且 2 BFBD BC 联结 FG 1 求证 FG CE 2 设 BAD C 求证 四边形 AGFE 是菱形 图 9 G F E DCB A 睿思理科 用心成就梦想 18 13 2015 年闵行区一模 已知如图 D是 ABC的边AB上一点 DE BC 交边 AC于点E 延长DE至点F 使EFDE 联结BF 交边AC于点G 联结CF 1 求证 AEEG ACCG 2 如果 2 CFFG FB 求证 CG CEBC DE 14 2014 年闵行区一模 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC BCD 90 对角线 AC BD 相交于点 E 且 AC BD 1 求证 2 CDBC AD 2 点 F 是边 BC 上一点 联结 AF 与 BD 相交 于点 G 如果 BAF DBF 求证 2 2 AGBG ADBD A CB D E F G 第 23 题图 睿思理科 用心成就梦想 19 15 2014 年黄浦区一模 如图12 在 ABC 中 ACB 90 AC 8 D 为边sin 4 5 B AC 中点 P 为边AB 上一点 点 P 不与点 A B 重合 直线PD 交 BC 延长线于点E 设线 段 BP 长为 线段CE 长为 xy 1 求关于的函数解析式并写出定义域 yx 2 过点 D 作 BC 平行线交 AB 于点 F 在 DF 延长线上取一点Q 使得 QF DF 联结 PQ QE QE 交边 AC 于点 G 当 EDQ 与 EGD 相似时 求的值 x 求证 PDDE PQQE E D C B A P 图 12 睿思理科 用心成就梦想 20 16 2015 闵行区一模 已知在矩形ABCD中 P是边AD上的一动点 联结BP CP 过点B作射线交线段CP的延长线于点E 交边AD于点M 且使得 ABECBP 如果2AB 5BC APx PMy 1 求y关于x的函数解析式 并写出它的定义域 2 当4AP 时 求EBP 的正切值 3 如果 EBC是以EBC 为底角的等腰三角形 求AP的长 睿思理科 用心成就梦想 21 模块四 双垂线模型模块四 双垂线模型 1 2015 年徐汇区一模 如图 在 ABC中 90ABC 6AB 8BC 点M N分别在边AB BC上 沿直线MN将 ABC折叠 点B落在点P处 如果 AP BC且4AP 那么BN 2 2014 年奉贤区一模 如图 在中 已知 将AOB 90AOB 3AO 6BO AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到处 此时线段与 BO 的交点 E 为 BO 的中点 那么A OB A B 线段的长度为 B E 3 2015 年徐汇区二模 18 题 如图 已知扇形 AOB 的半径为 6 圆心角为 90 E 是半 径 OA 上一点 F 是 AB上一点 将扇形 AOB 沿 EF 对折 使得折叠后的圆弧 A F恰 好与半径 OB 相切于点 G 若 OE 5 则 O 到折痕 EF 的距离为 4 2014 年黄浦区一模 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 点 D Ecot 3 4 A 分别是边 BC AC 上的点 且 EDC A 将 ABC 沿 DE 对折 若点 C 恰好落在边 AB 上 则 DE 的长为 睿思理科 用心成就梦想 22 睿思理科 用心成就梦想 23 5 2015 年奉贤区一模 已知 矩形 ABCD 中 过点 B 作 BG AC 交 AC 于点 E 分别交 射线 AD 于 F 点 交射线 CD 于 G 点 BC 6 1 当点 F 为 AD 中点时 求 AB 的长 2 联结 AG 设 AB x S AFG y 求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围 3 是否存在 x 的值 使以 D 为圆心的圆与 BC BG 都相切 若存在 求出 x 的值 若不存在 请说明理由 睿思理科 用心成就梦想 24 6 2014 虹口区一模 已知 正方形 ABCD 的边长为 4 点 E 为 BC 边的中点 点 P 为 AB 边上一动点 沿 PE 翻折 BPE 得到 FPE 直线 PF 交 CD 边于点 Q 交直线 AD 于点 G 联结 EQ 1 如图 当 BP 1 5 时 求 CQ 的长 2 如图 当点 G 在射线 AD 上时 设 BP x DG y 求 y 关于 x 的函数关系式 并写 出 x 的取值范围 3 延长 EF 交直线 AD 于点 H 若 CQE FHG 求 BP 的长 睿思理科 用心成就梦想 25 7 2015 年黄浦区二模 25 题 如图 Rt ABC中 90C 30A 2BC CD是斜边AB上的高 点E为边AC上一点 点E不与点A C重合 联结DE 作 CF DE CF与边AB 线段DE分别交于点F G 1 求线段CD AD的长 2 设CEx DFy 求y关于x的函数解析式 并写出它的定义域 3 联结EF 当 EFG与 CDG相似时 求线段CE的长 睿思理科 用心成就梦想 26 模块五 一线三等角模型模块五 一线三等角模型 1 2014 年宝山区一模 已知 D E F 分别为等腰 ABC 边 BC CA AB 上的点 如 果 AB AC BD 2 CD 3 CE 4 AE FDE B 那么 AF 的长为 2 3 A 5 5B 4 5 C 4 D 3 5 2 2015 年宝山区一模 如图 为等边 边上一点 交DABCBC60ADE 于 若 则 ACE2BD 3CD CE 3 2015 年奉贤区一模 如图 将边长为6cm 的正方形ABCD折叠 使点D落在AB边的中 点E处 折痕为FH 点C落在Q处 EQ与BC交于点G 那么EBG 的周长是 cm A BC F D E 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 4 2015 年金山区一模 如图 4 梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 点 P 是 AD 边上一点 联结 PB PC 且PDAPAB 2 则图中有 对相似三角形 5 2015 年金山区二模 在矩形ABCD中 6 AB 8 AD 把矩形ABCD沿直线 MN翻折 点B落在边AD上的E点处 若AMAE2 那么EN的长等于 睿思理科 用心成就梦想 27 2015 年奉贤区一模 如图 在四边形 ABCD 中 B ACD 过 D 作 AC DE 交 BC 的延长线于点 E 且 2 CDAC DE 1 求证 DAC DCE 2 若DEACADABAD 2 求证 ACD 90o 睿思理科 用心成就梦想 28 6 2014 年崇明区一模 如图 在中 ABC 8AB 10BC 3 cos 4 C 2ABCC BD 平分交 AC 边于点 D 点 E 是 BC 边上的一个动点 不与 B C 重合 F 是 ACABC 边上一点 且 AEAEFABC 与 BD 相交于点 G 1 求证 ABBG CECF 2 设 求与之间的函数关系式 并写出的取值范围 BEx CFy yxx 3 当是以 AE 为腰的等腰三角形时 求 BE 的长 AEF 第 25 题图 B C E F D G A 备用图 1 B C D A 备用图 2 B C D A 睿思理科 用心成就梦想 29 7 2014 年徐汇区一模 如图 ABC 中 AB 5 BC 11 点 P 是 3 cos 5 B BC 边上的一个动点 联结 AP 取 AP 的中点 M 将线段 MP 绕点 P 顺时针旋 转 90 得到线段 PN 联结 AN NC 1 当点 N 恰好落在 BC 边上时 求 NC 的长 2 若点 N 在 ABC 内部 不含边界 设 BP x CN y 求 y 关于 x 的函数 关系式 并求出函数的定义域 3 若 PNC 是等腰三角形 求 BP 的长 睿思理科 用心成就梦想 30 8 2015 年虹口区一模 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB CD AD 6 BC 24 点 P 在边 BC 上 BP 8 点 E 在边 AB 上 4 sin 5 B 点 F 在边 CD 上 且 EPF B 过点 F 作 FG PE 交线段 PE 于点 G 设 BE x FG y 1 求 AB 的长 2 当 EP BC 时 求 y 的值 3 求y与 x 的函数关系式 并写出 x 的取值范围 睿思理科 用心成就梦想 31 9 2015 年闵行区一模 如图 已知在梯形ABCD中 AD BC AB DC 5 AD 4 M N分别是边AD BC上的任意一点 联结AN DN 点E F分别在线段AN DN上 且 ME DN MF AN 联结EF 1 如图 1 如果EF BC 求EF的长 2 如果四边形MENF的面积是 ADN的面积的 3 8 求AM的长 3 如果BC 10 试探索 ABN AND DNC能否两两相似 如果能 求AN的长 如果不能 请说明理由 睿思理科 用心成就梦想 32 模块六 旋转模型模块六 旋转模型 1 2014 闵行区一模 如图 在 ABC 与 ADE 中 要使 ABC 与 ADE 相似 ED AE BC AB 还需添加一个条件 这个条件可以是 2 2014 年闵行区一模 如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与 另一边重叠 再将旋转后的 三角形进行相似缩放 使重叠的两条边互相重合 我们称这样的图形变换为三角形转似三角形转似 这 个角的顶点称为转似中心转似中心 所得的三角形称为原三角形的转似三角形转似三角形 如图 在 ABC 中 AB 6 BC 7 AC 5 A1B1C 是 ABC 以点 C 为转似中心的其中一个转似三角形 那么以 点 C 为转似中心的另一个转似三角形 A2B2C 点 A2 B2分别与 A B 对应 的边 A2B2的 长 为 3 2015 年闵行区一模 把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小 这个顶 点不变 我们把这样的三角形运动称为三角形的 T 变换 这个顶点称为 T 变换中心 旋转角称为 T 变换角 三角形与原三角形的对应边之比称为 T 变换比 已知 ABC在直角坐标平面内 点 0 1 A 3 2 B 0 2 C 将 ABC进行 T 变换 T 变换中心为点A T 变 换 角为 60 T 变换比为 2 3 那么经过 T 变换后点C所对应的点的坐标为 4 2015 年虹口区一模 如图 在平行四边形ABCD中 过点A作AE BC 垂足为E 联结 DE F为线段DE上一点 且 AFE B 若AB 5 AD 8 AE 4 则AF的长为 A BC D E F H M G 第 18 题 图 睿思理科 用心成就梦想 33 睿思理科 用心成就梦想 34 5 2014 年宝山区一模 如图已知 求证 CE BD AC AB AE AD ADEABC A DE B C 6 2015 年嘉定区一模 已知 如图 8 在 ABC中 点D在边BC上 且 DAGBAC BADCDG 1 求证 AC AG AB AD 2 当BCGC 时 求证 90BAC A B C G D 图 8 睿思理科 用心成就梦想 35 7 2014 年普陀区一模 如图 已知 CD 是 ABC 中 ACB 的角平分线 E 是 AC 上的一 点 且 AD 6 AE 4 2 CDBC CE 1 求证 BCD DCE 2 求证 ADE ACD 3 求 CE 的长 8 2015 年崇明县一模 如图 在梯形ABCD中 ADBC ADAB 2ABCC E与F分别为边AD与DC上的两点 且有 EBFC 1 求证 BE BFBD BC 2 当F为DC中点时 求 AE ED的比值 睿思理科 用心成就梦想 36 F E A C DB 9 2015 年虹口区一模 如图 在 Rt CAB 与 Rt CEF 中 ACB FCE 90 CAB CFE AC 与 EF 相交于点 G BC 15 AC 20 1 求证 CEF CAF 2 若 AE 7 求 AF 的长 10 2014 年徐汇区一模 在 ABC 中 D 是 BC 的中点 且 AD AC DE BC 与 AB 相交于点 E EC 与 AD 相交于点 F 1 求证 ABC FCD 2 若 DE 3 BC 8 求 FCD 的面积 睿思理科 用心成就梦想 37 11 2015 年徐汇区二模 已知 如图 正方形 ABCD BM DN 分别是正方形的两个外 角平分线 MAN 45 将 MAN 绕着正方形的顶点 A 旋转 边 AM AN 分别交两条角平分线于点 M N 联结 MN 1 求证 ABMADN 2 联结 BD 当 BAM 的度数为多少时 四边形 BMND 为矩形 并加以证明 A D C B N M 睿思理科 用心成就梦想 38 12 2015 年徐汇区一模 如图 梯形ABCD中 AD BC 对角线ACBC 9AD 12AC 16BC 点E是边BC上的一个动点 EAFBAC AF交CD于点F 交BC延长线于点G 设BEx 1 试用x的代数式表示FC 2 设 FG y EF 求y关于x的函数关系式 并写出定义域 3 当 AEG是等腰三角形时 直接写出BE的长 睿思理科 用心成就梦想 39 模块六 比例的性质 比例中项 黄金分割 三