2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（四）

1 20122012 中考数学压轴题中考数学压轴题 二次函数动点问题 四 二次函数动点问题 四 1 如图 直线与轴交于点 与轴交于点 已知二次函数的图象经124 3 4 xyxAyC 过点 和点 AC 0 1 B 1 求该二次函数的关系式 2 设该二次函数的图象的顶点为 求四边形的面积 MAOCM 3 有两动点 同时从点出发 其中点以每秒个单位长度的速度沿折线DEOD 2 3 按 的路线运动 点以每秒个单位长度的速度沿折线按OACOACE4OCA 的路线运动 当 两点相遇时 它们都停止运动 设 同时从OCADEDE 点出发 秒时 的面积为 S OtODE 请问 两点在运动过程中 是否存在 若存在 请求出此时 的值 DEDEOCt 若不存在 请说明理由 请求出 S 关于 的函数关系式 并写出自变量 的取值范围 tt 设是 中函数 S 的最大值 那么 0 S 0 S 解 1 令 则 令则 0 x4 y0 y3 x 3 0A 0 4C 二次函数的图象过点 可设二次函数的关系式为 0 4C 4 2 bxaxy 又 该函数图象过点 3 0A 1 0B 解之 得 0934 04 ab ab 3 4 a 3 8 b 所求二次函数的关系式为 4 3 8 3 4 2 xxy 2 4 3 8 3 4 2 xxy 3 16 1 3 4 2 x 顶点M的坐标为 过点M作MF轴于F 16 1 3 x AFMAOCMFOCM SSS 四边形梯形 101 3 16 4 2 1 3 16 13 2 1 四边形AOCM的面积为 10 3 不存在DE OC 若DE OC 则点D E应分别在线段OA CA上 此时 在中 12t RtAOC 5AC 2 设点E的坐标为 11 xy 5 44 3 1 t x 5 1212 1 t x DEOC t t 2 3 5 1212 3 8 t 2 不满足 不存在 3 8 t12t DEOC 根据题意得D E两点相遇的时间为 秒 11 24 4 2 3 543 现分情况讨论如下 当时 01t 2 13 43 22 Sttt A 当时 设点E的坐标为12t 22 xy 5 445 4 2 t y 5 1636 2 t y tt t tS 5 27 5 12 5 1636 2 3 2 1 2 当 2 时 设点 E 的坐标为 类似 可得t 11 24 33 xy 5 1636 3 t y 设点D的坐标为 44 yx 5 3 2 3 4 4 t y 5 126 4 t y AOEAOD SSS 5 126 3 2 1 5 1636 3 2 1 tt 5 72 5 33 t 80 243 0 S 2 已知 如图 抛物线经过 三点 2 yaxbxc 1 0 A 5 0 B 0 5 C 1 求抛物线的函数关系式 2 若过点C的直线与抛物线相交于点E 4 m 请求出 CBE的面积S的值 ykxb 3 在抛物线上求一点使得 ABP0为等腰三角形并写出点的坐标 0 P 0 P 4 除 3 中所求的点外 在抛物线上是否还存在其它的点P使得 ABP为等腰三 0 P 角形 若存在 请求出一共有几个满足条件的点 要求简要说明理由 但不证P 明 若不存在这样的点 请说明理由 P 3 解 1 抛物线经过点 1 0 A 5 0 B 1 5 ya xx 又 抛物线经过点 0 5 C 55a 1a 抛物线的解析式为 2 1 5 65yxxxx 2 E点在抛物线上 m 42 4 6 5 3 直线y kx b过点C 0 5 E 4 3 解得k 2 b 5 5 43 b kb 设直线y 2x 5 与x轴的交点为D 当y 0 时 2x 5 0 解得x 5 2 D点的坐标为 0 5 2 S S BDC S BDE 10 1515 5 5 5 3 2222 3 抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上 0 3 4 P 点为所求满足条件的点 0 3 4 P 4 除点外 在抛物线上还存在其它的点P使得 ABP为等腰三角形 0 P 理由如下 22 00 242 54APBP 分别以 为圆心半径长为 4 画圆 分别与抛物线交于点 ABB 1 P 2 P 3 P 除去 两个点外 其余 6 个点为满足条件的点A 4 P 5 P 6 PBA 3 如图 在直角坐标系中 点A的坐标为 2 0 连接OA 将线段OA绕原点O顺时 针旋转120 得到线段OB 1 求点B的坐标 2 求经过A O B三点的抛物线的解析式 4 3 在 2 中抛物线的对称轴上是否存在点C 使 BOC的周长最小 若存在 求出点 C的坐标 若不存在 请说明理由 4 如果点P是 2 中的抛物线上的动点 且在x轴的下方 那么 PAB是否有最大面 积 若有 求出此时P点的坐标及 PAB的最大面积 若没有 请说明理由 注意 本题中的结果均保留根号 解 1 过点 B 作 BD x 轴于点 D 由已知可得 OB OA 2 BOD 60 在 Rt OBD 中 ODB 90 OBD 30 OD 1 DB 点 B 的坐标是 1 33 2 设所求抛物线的解析式为 由已知可得 2 yaxbxc 解得 0 3 420 c abc abc 3 3 abc 2 3 0 3 所求抛物线解析式为 备注 a b的值各得 1 分 2 32 3 33 yxx 3 存在 由 配方后得 2 32 3 33 yxx 2 33 1 33 yx 抛物线的对称轴为 也可用顶点坐标公式求出 1x 点 C 在对称轴上 BOC 的周长 OB BC CO 1x OB 2 要使 BOC 的周长最小 必须 BC CO 最小 点 O 与点 A 关于直线对称 有 CO CA1x BOC 的周长 OB BC CO OB BC CA 当 A C B 三点共线 即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时 BC CA 最小 此时 BOC 的周长最小 设直线 AB 的解析式为 则有 解得 ykxb 3 20 kb kb 32 3 33 kb 直线 AB 的解析式为 32 3 33 yx 当时 所求点 C 的坐标为 1 1x 3 3 y 3 3 5 4 设 P 则 xy 200 xy 2 32 3 33 yxx 过点 P 作 PQ y 轴于点 Q PG x 轴于点 G 过点 A 作 AF PQ 轴于点 F 过点 B 作 BE PQ 轴于点 E 则 PQ PG 由题意可得 x y PABAFPBEPAFEB SSSS 梯形 111 222 AFBEFEAF FPPE BE 111 3 12 2 1 3 222 yyy xxy 33 3 22 yx 将 代入 化简得 2 33 3 22 PAB Sxx 当时 PAB 得面积有最大值 最大面积为 2 319 3 228 x 1 2 x 9 3 8 此时 312 313 34324 y 点 P 的坐标为 13 24 4 如图 已知与轴交于点和的抛物线的顶点为 抛物线与关x 10 A 5 0 B 1 l 3 4 C 2 l 1 l 于轴对称 顶点为 x C 1 求抛物线的函数关系式 2 l 2 已知原点 定点 上的点与上的点始终关于轴对称 则当点O 0 4 D 2 lP 1 l P x 运动到何处时 以点为顶点的四边形是平行四边形 PDOP P 3 在上是否存在点 使是以为斜边且一个角为的直角三角形 2 lMABM AB30 若存 求出点的坐标 若不存在 说明理由 M 解 解 1 由题意知点的坐标为 C 34 设的函数关系式为 2 l 2 3 4ya x 又点在抛物线上 10 A 2 3 4ya x 解得 2 1 3 40a 1a 抛物线的函数关系式为 或 2 l 2 3 4yx 2 65yxx 2 与始终关于轴对称 与轴平行 P P x PP y 6 设点的横坐标为 则其纵坐标为 Pm 2 65mm 即 4OD 2 2654mm 2 652mm 当时 解得 2 652mm 36m 当时 解得 2 652mm 32m 当点运动到或或或时 P 36 2 36 2 322 322 以点为顶点的四边形是平行四边形 P POD DOP P 3 满足条件的点不存在 理由如下 若存在满足条件的点在上 则MM 2 l 或 90AMB 30BAM 30ABM 11 42 22 BMAB 过点作于点 可得 MMEAB E30BMEBAM 11 21 22 EBBM 3EM 4OE 点的坐标为 M 43 但是 当时 4x 2 46 451624533y 不存在这样的点构成满足条件的直角三角形 M 5 如图 在平面直角坐标系xOy中 抛物线y x 2 bx c 与x轴交于A 1 0 2 1 B 5 0 两点 1 求抛物线的解析式和顶点C的坐标 2 设抛物线的对称轴与x轴交于点D 将 DCB绕点C按顺时针方向旋转 角的两边CD 和CB与x轴分别交于点P Q 设旋转角为 0 90 当 等于多少度时 CPQ是等腰三角形 设BP t AQ s 求s与t之间的函数关系式 解 1 根据题意 得 解得 7 抛物线的解析式为y x 2 3x 即y x 3 2 2 2 1 2 5 2 1 顶点C的坐标为 3 2 2 CD DB AD 2 CD AB DCB CBD 45 若CQ CP 则 PCD 1 2 PCQ 22 5 当 22 5 时 CPQ是等腰三角形 若CQ PQ 则 CPQ PCQ 45 此时点Q与D重合 点P与A重合 当 45 时 CPQ是等腰三角形 若PC PQ 则 PCQ PQC 45 此时点Q与B重合 点P与D重合 0 不合题意 当 22 5 或 45 时 CPQ是等腰三角形 连接AC AD CD 2 CD AB ACD CAD 45 AC BC 22 22 22 当 0 45 时 ACQ ACP PCQ ACP 45 BPC ACP CAD ACP 45 ACQ BPC 又 CAQ PBC 45 ACQ BPC BC AQ BP AC AQ BP AC BC 8 2222 当 45 90 时 同理可得AQ BP AC BC 8 8 s t 8 20122012 中考数学压轴题选讲 四 中考数学压轴题选讲 四 1 如图 直线与轴交于点 与轴交于点 已知二次函数的图象经124 3 4 xyxAyC 过点 和点 AC 0 1 B 9 1 求该二次函数的关系式 2 设该二次函数的图象的顶点为 求四边形的面积 MAOCM 3 有两动点 同时从点出发 其中点以每秒个单位长度的速度沿折线DEOD 2 3 按 的路线运动 点以每秒个单位长度的速度沿折线按OACOACE4OCA 的路线运动 当 两点相遇时 它们都停止运动 设 同时从OCADEDE 点出发 秒时 的面积为 S OtODE 请问 两点在运动过程中 是否存在 若存在 请求出此时 的值 DEDEOCt 若不存在 请说明理由 请求出 S 关于 的函数关系式 并写出自变量 的取值范围 tt 设是 中函数 S 的最大值 那么 0 S 0 S 2 已知 如图 抛物线经过 三点 2 yaxbxc 1 0 A 5 0 B 0 5 C 1 求抛物线的函数关系式 10 2 若过点C的直线与抛物线相交于点E 4 m 请求出 CBE的面积S的值 ykxb 3 在抛物线上求一点使得 ABP0为等腰三角形并写出点的坐标 0 P 0 P 4 除 3 中所求的点外 在抛物线上是否还存在其它的点P使得 ABP为等腰三角 0 P 形 若存在 请求出一共有几个满足条件的点 要求简要说明理由 但不证明 若不P 存在这样的点 请说明理由 P 3 如图 在直角坐标系中 点A的坐标为 2 0 连接OA 将线段OA绕原点O顺时 针旋转120 得到线段OB 11 1 求点B的坐标 2 求经过A O B三点的抛物线的解析式 3 在 2 中抛物线的对称轴上是否存在点C 使 BOC的周长最小 若存在 求出点C的 坐标 若不存在 请说明理由 4 如果点P是 2 中的抛物线上的动点 且在x轴的下方 那么 PAB是否有最大面积 若有 求出此时P点的坐标及 PAB的最大面积 若没有 请说明理由 注意 本题中的结果均保留根号 4 如图 已知与轴交于点和的抛物线的顶点为 抛物线与关x 10 A 5 0 B 1 l 3 4 C 2 l 1 l 于轴对称 顶点为 x C 12 1 求抛物线的函数关系式 2 l 2 已知原点 定点 上的点与上的点始终关于轴对称 则当点O 0 4 D 2 lP 1 l P x 运动到何处时 以