万有引力10类题型（已整理）

1 1 万有引力定律万有引力定律 人造地球卫星人造地球卫星 夯实基础知识夯实基础知识 1 开普勒行星运动三定律简介 轨道 面积 周期定律 丹麦开文学家开普勒信奉日心说 对天文学家有极大的兴趣 并有出众的数学才华 开普勒在其导师 弟谷连续 20 年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上 通过四年多的刻苦计算 最终发现了 三个定律 第一定律 所有行星都在椭圆轨道轨道上运动 太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上 第二定律 行星沿椭圆轨道运动的过程中 与太阳的连线在单位时间内扫过的面积面积相等 第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等比值都相等 即k T r 2 3 开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的 给出了行星运动的 规律 2 万有引力定律及其应用 1 内容 宇宙间的一切物体都是相互吸引的 两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比 跟 它们的距离平方成反比 引力方向沿两个物体的连线方向 1687 年 2 r Mm GF 叫做引力常量 它在数值上等于两个质量都是 1kg 的物体相距 1m 时的 2211 1067 6 kgmNG 相互作用力 1798 年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出 万有引力常量的测定 卡文迪许扭秤 实验原理是力矩平衡 实验中的方法有 力学放大 借助于力矩将万有引力的作用效果放大 光学放大 借助于平面境将微小的运动效果放大 万有引力常量的测定使卡文迪许成为 能称出地球质量的人 对于地面附近的物体 m 有 2 E R Mm Gmg 或 GM R2g 式中 RE为地球半径或物体到地球球心间的距离 可得到 G gR M 2 2 定律的适用条件 严格地说公式只适用于质点间的相互作用 当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时 公式可近似使用 此时 r 应为两物体重心间的距 离 对于均匀的球体 r 是两球心间的距离 当两个物体间距离无限靠近时 不能视为质点 定律不再适用 不能依公式算出 F 近为无穷大 2 2 注意 万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来 是自然界中最普遍的规律之一 式中引 力恒量 G 的物理意义是 G 在数值上等于质量均为 1kg 的两个质点相距 1m 时相互作用的万有引力 3 地球自转对地表物体重力的影响 重力是万有引力产生的 由于地球的自转 因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力 重力实 际上是万有引力的一个分力 另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力 如图所示 在纬度为 的地表处 万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力 F 向 mRcos 2 方 向垂直于地轴指向地轴 而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力 mg 其方向与支持力 N 反向 应竖直向下 而不是指向地心 由于纬度的变化 物体做圆周运动的向心力 F 向不断变化 因而表面物体的重力随纬度的变化而变化 即重力加速度 g 随纬度变化而变化 从赤道到两极 R 逐渐减小 向心力 mRcos 2减小 重力逐渐增大 相应重力加速度 g 也逐渐增大 O O N F心 m F引 mg 甲 在赤道处 物体的万有引力分解为两个分力 F向和 m2g 刚好在一条直线上 则有 F F向 m2g 所以 m2g F 一 F向 G m2R 自2 2 21 r mm 物体在两极时 其受力情况如图丙所示 这时物体不再做圆周运动 没有向心力 物体受到的万有引 力 F引和支持力 N 是一对平衡力 此时物体的重力 mg N F引 N o F引 引 丙 N F引 引 o 乙 综上所述重力大小 两个极点处最大 等于万有引力 赤道上最小 其他地方介于两者之间 但差别很小 重力方向 在赤道上和两极点的时候指向地心 其地方都不指向地心 但与万有引力的夹角很小 由于地球自转缓慢 物体需要的向心力很小 所以大量的近似计算中忽略了自转的影响 在此基础上 就有 地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力 即 mg 2 R GmM 说明 由于地球自转的影响 从赤道到两极 重力的变化为千分之五 3 3 地面到地心的距离每增加一千米 重力减少不到万分之三 所以 在近似的计算中 认为重力和万有 引力相等 万有引力定律的应用万有引力定律的应用 基本方法 基本方法 卫星或天体的运动看成匀速圆周运动 F万 F心 方法 轨道上正常转 r T mrm r v m r Mm G 2 2 2 2 2 4 地面 G mgGM gR2 黄金代换式 2 R Mm 1 天体表面重力加速度问题 天体表面重力加速度问题 设天体表面重力加速度为 g 天体半径为 R 由 mg 2 Mm G R 得 g 2 M G R 由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为 2 121 2 212 gRM gRM 在地球的同一纬度处 g 随物体离地面高度的增大而减小 即 mgh GMm R h 2 比较得 gh 2 g hR R 2 利用卫星计算中心天体的质量 利用卫星计算中心天体的质量 某星体 m 围绕中心天体 M 做圆周运动的周期为 T 圆周运动的轨道半径为 r 则 由得中心天体的质量 r T m r Mm G 2 2 2 2 32 4 GT r M 例如 利用月球可以计算地球的质量 利用地球可以计算太阳的质量 可以注意到 环绕星体本身的质量在此是无法计算的 3 计算中心天体的密度 计算中心天体的密度 4 4 V M 3 3 4 R M 32 2 3 RGT r 可见 只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径 r 及运行周期 T 就可以算出天体的质量 M 若知道行星的半径则可得行星的密度 4 发现未知天体 发现未知天体 用万有引力去分析已经发现的星体的运动 可以知道在此星体附近是否有其他星体 例如 历史上 海王星是通过对天王星的运动轨迹分析发现的 冥王星是通过对海王星的运动轨迹分析发现的 人造地球卫星人造地球卫星 这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星 实际上大多数卫星轨道是椭圆 而中学阶段对做椭圆运 动的卫星一般不作定量分析 1 卫星的轨道平面 由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的 所以卫星的轨道平面一定过地球球心 球心一定在卫星的轨道平面内 2 原理 由于卫星绕地球做匀速圆周运动 所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力 3 表征卫星运动的物理量 线速度 角速度 周期等 1 向心加速度与 r 的平方成反比 向 a 向 a 2 r GM 当 r 取其最小值时 取得最大值 向 a a向 max g 9 8m s2 2 R GM 2 线速度 v 与 r 的平方根成反比 v 当 h v r GM 当 r 取其最小值地球半径 R 时 v 取得最大值 vmax 7 9km s R GM Rg 3 角速度与 r 的三分之三次方成反比 当 h 3 r GM 当 r 取其最小值地球半径 R 时 取得最大值 5 5 max 1 23 10 3rad s 3 R GM R g 4 周期 T 与 r 的二分之三次方成正比 T 2 当 h T GM r 3 当 r 取其最小值地球半径 R 时 T 取得最小值 Tmin 2 2 84 min GM R3 g R 5 人造天体在运动过程中的能量关系 类似原子模型 同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同 其中卫星的动能为 r GMm mvEK 22 1 2 由于重力加速度 g 随高度增大而减小 所以重力势能不能再用 Ek mgh 计算 要用到新的重力势能公式 r GMm EP 以无穷远处引力势能为零 M 为地球质量 m 为卫星质量 r 为卫星轨道半径 由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功 所以系统势能减小 故为负 机械能为 r GMm EEE PK 2 同样质量的卫星 轨道半径越大 即离地面越高 卫星具有的机械能越大 发射越困难 当人造天体具有较大的初动能时 它将上升到较高的轨道运动 而在较高轨道上运动的人造天体却 具有较小的动能 如果人造天体在运动中动能减小 它的轨道半径将减小 在这一过程中 因引力对其做正功 故导 致其动能将增大 4 同步卫星 所有的通迅卫星都为同步卫星 同步卫星 同步 的含义就是和地球保持相对静止 又叫静止轨道卫星 其周期等于地球自转周期 既 T 24h 特点 1 地球同步卫星的轨道平面 非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角 而同步卫星一定位于赤道的正上方 不可能 在与赤道平行的其他平面上 这是因为 不是赤道上方的某一轨道上跟着地球的自转同步地作匀速圆运动 卫星的向心力为地球对 它引力的一个分力 F1 而另一个分力 F2的作用将使其运行轨道靠赤道 故此 只有在赤道上空 同步卫 星才可能在稳定的轨道上运行 6 6 2 地球同步卫星的周期 地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同 3 同步卫星必位于赤道上方 h 处 且 h 是一定的 rm r Mm G 2 2 得 2 3 GM r 故 kmRrh35800 4 地球同步卫星的线速度 环绕速度 由得 r m r Mm G 2 2 skm r GM v 08 3 5 运行方向一定自西向东运行 应该熟记常识应该熟记常识 地球公转周期 1 年 自转周期 1 天 24 小时 86400s 地球表面半径 6 4 103km 表面重力加速度 g 9 8 m s2 月球公转周期 27 天 宇宙速度及其意义宇宙速度及其意义 1 三个宇宙速度的值分别为 第一宇宙速度 又叫最小发射速度 最大环绕速度 近地环绕速度 物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射发射速度 又称环绕速度 其值为 km s9 7 1 v 第一宇宙速度的计算 方法一 地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力 G m v 2hr mM hr v 2 hr GM 当 h v 所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度 7 7 其大小为 r h 地面附近 时 7 9 103m s 1 GM V r 方法二 在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力 重力就是卫星做圆周运动的向心 力 2 1 v mgm rh 当 r h 时 gh g 所以 v1 7 9 103m sgr 第二宇宙速度 脱离速度 如果卫生的速大于而小于 卫星将做椭圆运动km s9 7km s 2 11 当卫星的速度等于或大于的时候 物体就可以挣脱地球引力的束缚 成为绕太阳运动的人km s 2 11 造行星 或飞到其它行星上去 把叫做第二宇宙速度km s 2 11 2 v 第二宇宙速度是挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 物体挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射发射速度 又称逃逸速度 其值为 km s 7 16 3 v 2 当发射速度 v 与宇宙速度分别有如下关系时 被发射物体的运动情况将有所不同 当 v v1时 被发射物体最终仍将落回地面 当 v1 v v2时 被发射物体将环绕地球运动 成为地球卫星 当 v2 v v3时 被发射物体将脱离地球束缚 成为环绕太阳运动的 人造行星 当 v v3时 被发射物体将从太阳系中逃逸 题型解析题型解析 类型题类型题 1 万有引力定律的直接应用万有引力定律的直接应用 例题 下列关于万有引力公式的说法中正确的是 C 2 21 r mm GF A 公式只适用于星球之间的引力计算 不适用于质量较小的物体 B 当两物体间的距离趋近于零时 万有引力趋近于无穷大 C 两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律 D 公式中万有引力常量 G 的值是牛顿规定的 例题 设想把质量为 m 的物体 放到地球的中心 地球的质量为 M 半径为 R 则物体与地球间的 万有引力是 C A B 无穷大C 零D 无法确定 2 R GMm 8 8 例题 设想人类开发月球 不断地把月球上的矿藏搬运到地球上 假如经过长时间开采后 地球仍 可看成均匀球体 月球仍沿开采前的圆轨道运动则与开采前比较 A 地球与月球间的万有引力将变大 B 地球与月球间的万有引力将减小 C 月球绕地球运动的周期将变长 D 月球绕地球运动的周期将变短 解析 设地球和月球的质量分别为 M m 它们之间的引力为 2 r Mm GF 由于地球和月球 m 是一常数 根据数学知识 当 m 时 m 取最大值 m 相差越多 m 越小 越小 2 r Mm GF 地球比月球的质量大 还要把月球上的矿藏搬运到地球上 就使得 m 相差更多 所以 m 就越小 越小 答案 B D 2 r Mm GF 类型题类型题 2 重力加速度重力加速度 g 随离高度随离高度 h 变化情况变化情况 表面重力加速度 2 00 2 R GM gmg R Mm G 轨道重力加速度 22 2 22 1 R h g hR gR hR GM gmg hR GMm hh 例题 设地球表面的重力加速度为 g 物体在距地心 4R R 是地球半径 处 由于地球的引力作用 而产生的重力加速度 g 则 g g 为 D A 1 2 B 1 9 C 1 4 D 1 16 解析 因为 g G g G 所以 g g 1 16 即 D 选项正确 2 R M 2 3 RR M 例题 火星的质量和半径分别约为地球的和 地球表面的重力加速度为 g 则火星表面的重 1 10 1 2 力加速度约为 B A 0 2 g B 0 4 g C 2 5 g D 5 g 分析 两个不同天体表面重力加速度的关系为 9 9 2 121 2 212 gRM gRM 类型题类型题 3 用万有引力定律求天体的质量和密度用万有引力定律求天体的质量和密度 通过观天体卫星运动的周期 T 和轨道半径 r 或天体表面的重力加速度 g 和天体的半径 R 就可以求出 天体的质量 M 由 得 r T m r Mm G 2 2 2 2 32 4 GT r M 又 得 3 3 4 RM 32 3 3 RGT r 例题 已知地球绕太阳公转的轨道半径 r 1 m 公转的周期 T 3 16107s 求太阳的质量 M 解析 根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得 r T m r Mm G 2 2 2 1 96 1030kg 2 32 4 GT r M 例题 宇航员在一星球表面上的某高处 沿水平方向抛出一小球 经过时间 t 小球落到星球表面 测得抛出点与落地点之间的距离为 L 若抛出时初速度增大到 2 倍 则抛出点与落地点之间的距离为 L 已知两落地点在同一水平面上 该星球的半径为 R 万有引力常数为 G 求该星球的质量 M 3 解析 设抛出点的高度为 h 可得 L 3 2222 32hLhL h3 设该星球上的重力加速度为 g 由平抛运动的规律得 可得 2 2 1 gth g 由万有引力定律与牛顿第二定律得 10 10 2 R Mm Gmg 联立以上各式解得 2 2 3 32 Gt LR M 例题 某行星的卫星 在靠近行星的轨道上运动 若要计算行星的密度 唯一要测量出的物理是 D A 行星的半径 B 卫星的半径 C 卫星运行的线速度 D 卫星运行的周期 例题 如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为 T 则可估算此恒 星的密度为多少 解析 设此恒星的半径为 R 质量为 M 由于卫星做匀速圆周运动 则有 G mR 2 R Mm 2 2 4 T 所以 M 而恒星的体积 V R3 所以恒星的密度 2 32 4 GT R 3 4 V M 2 3 GT 例题 中子星是恒星演化过程的一种可能结果 它的密度很大 现有一中子星 观测到它的自转周 期为 T s 问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定 不致因自转而瓦解 30 1 计算时星体可视为均匀球体 引力常数 G 6 6710m kg s 11 32 解析 设想中子星赤道处一小块物质 只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时 中子星才不会瓦解 设中子星的密度为 质量为 M 半径为 R 自转角速度为 位于赤道处的小物块质量为 m 则 有 Rm R GMm 2 2 T 2 3 3 4 RM 由以上各式得 2 3 GT 代入数据解得 314 1027 1 mkg 例题 设想我国宇航员随 嫦娥 号登月飞船绕月球飞行 飞船上备有以下实验仪器 11 11 A 计时表一只 B 弹簧秤一把 C 已知质量为m 的物体一个 D 天平一只 附砝码一盒 在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月做匀速圆周运动 宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨 道绕行N 圈所用时间为t 飞船的登月舱在月球上着陆后 遥控机器人利用所携带的仪器又进行第二次测量 科学家利用上述两次测量数据便可计算出月球的半径和质量 若已知万有引力常量为 G 则 1 简述机器人是如何通过第二次测量物体在月球所受的重力 F 2 试利用测量数据 用符号表示 球月球的半径和质量 解析解析 1 利用弹簧秤测量物体 m 的重力 F 2 在月球近地表面有 R T m R Mm G 2 2 2 N t T 在月球表面有 F R Mm G 2 则有 2 2 4 m FT R 43 43 16 Gm TF M 答案 1 略 2 2 2 4 m FT R 43 43 16 Gm TF M 类型题类型题 4 双星问题双星问题 宇宙中往往会有相距较近 质量可以相比的两颗星球 它们离其它星球都较远 因此其它星球对它宇宙中往往会有相距较近 质量可以相比的两颗星球 它们离其它星球都较远 因此其它星球对它 们的万有引力可以忽略不计 在这种情况下 它们将围绕它们连线上的某一固定点 几何点 做同周期们的万有引力可以忽略不计 在这种情况下 它们将围绕它们连线上的某一固定点 几何点 做同周期 的匀速圆周运动 这种结构叫做双星 的匀速圆周运动 这种结构叫做双星 由于双星和该固定点总保持三点共线 所以在相同时间内转过的角度必相等 即双星做匀速圆周运 动的角速度必相等 因此周期也必然相同 由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的 因此大小必然相等 由 F m 2r 可 得 m r 1 于是有 L mm m rL mm m r 21 1 2 21 2 1 m1 m2r1 r2O 12 12 列式时须注意 万有引力定律表达式中的 r 表示双星间的距离 按题意应该是 L 而向心力表达式 中的 r 表示它们各自做圆周运动的半径 在本题中为 r1 r2 千万不可混淆 例题 在天文学中 把两颗相距较近的恒星叫双星 已知两恒星的质量分别为 m 和 M 两星之间 的距离为 L 两恒星分别围绕共同的圆心作匀速圆周运动 如图所示 求恒星运动的半径和周期 M m o 解析 两颗恒星在万有引力作用下围绕共同点 O 物理学上把它叫做质心 作匀速圆周运动 O 点在两 颗恒星的连线上 设两颗星到 O 的距离分别为 r R 它们运动的周期为 T 由万有引力定律和牛顿第二 定律 对质量为 m 的恒星有 r T m l Mm G 2 2 2 对质量为 M 的恒星有 R T M l Mm G 2 2 2 r R L 由以上三式解得 l mM M r l mM m R GmM l T 2 3 答案 答案 l mM M r l mM m R GmM l T 2 3 技巧点拔技巧点拔 解圆周运动问题 确定圆心的位置是很重要的 另外 双星系统在宇宙中是比较普遍的 如果两颗星 的质量相差悬殊 如 m M 则 r L R 0 这时可以把大质量星看作静止的 小质量 GM l T 3 2 星围绕大质量星运动 例题 两个星球组成双星 它们在相互之间的万有引力作用下 绕连线上某点做周期相同的匀速圆 周运动 现测得两星中心距离为 R 其运动周期为 T 求两星的总质量 解析 设两星质量分别为 M1和 M2 都绕连线上 O 点作周期为 T 的圆周运动 星球 1 和星球 2 到 O 13 13 的距离分别为 l1和 l2 由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得 M1 G M1 2 l1 M2 2 21 R MM T 2 2 1 22 4 GT lR M2 G M2 2 l2 M1 2 21 R MM T 2 2 2 22 4 GT lR 两式相加得 M1 M2 l1 l2 2 22 4 GT R 2 32 4 GT R 例题 在光滑杆上穿着两个小球 m1 m2 且 m1 2m2 用细线把两球连起来 当盘架匀速转动时 两小球刚好能与杆保持无相对滑动 如图所示 此时两小球到转轴的距离 r1与 r2之比为 r1 r2 m1 m2 A 1 1B 1 C 2 1D 1 22 解析 两球向心力 角速度均相等 由公式 F m 2r 得 r 则 答案 D m 1 2 1 r r 1 2 m m 2 1 例题 宇宙中存在一些离其他恒星较远的 由质量相等的三颗星组成的三星系统 通常可忽略其他 星体对它们的引力作用 已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式 一种是三颗星位于同一直 线上 两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行 另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个 顶点上 并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行 设每个星体的质量均为 m 1 试求第一种形式下 星体运动的线速度和周期 2 假设两种形式下星体的运动周期相同 第二种形式下星体之间的距离应为多少 解析 14 14 类型题类型题 5 人造卫星的变轨问题人造卫星的变轨问题 例题 神舟三号 顺利发射升空后 在离地面 340km 的圆轨道上运行了 108 圈 运行中需要多次进 行 轨道维持 所谓 轨道维持 就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向 使飞船能保 持在预定轨道上稳定运行 如果不进行轨道维持 由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力 轨道高度会 逐渐降低 在这种情况下飞船的动能 重力势能和机械能变化情况将会是 A 动能 重力势能和机械能都逐渐减小 B 重力势能逐渐减小 动能逐渐增大 机械能不变 C 重力势能逐渐增大 动能逐渐减小 机械能不变 D 重力势能逐渐减小 动能逐渐增大 机械能逐渐减小 解析 由于阻力很小 轨道高度的变化很慢 卫星运行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动 由于摩 擦阻力做负功 根据机械能定理 卫星的机械能减小 由于重力做正功 根据势能定理 卫星的重力势 能减小 由可知 卫星动能将增大 这也说明该过程中重力做的功大于克服阻力做的功 r 1 r GM v 外力做的总功为正 答案选 D 例题 如图所示 某次发射同步卫星时 先进入一个近地的圆轨道 然后在 P 点点火加速 进入 椭圆形转移轨道 该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的 P 远地点为同步轨道上的 Q 到达远地点时 再次自动点火加速 进入同步轨道 设卫星在近地圆轨道上运行的速率为 v1 在 P 点短时间加速后的速 率为 v2 沿转移轨道刚到达远地点 Q 时的速率为 v3 在 Q 点短时间加速后进入同步轨道后的速率为 v4 试比较 v1 v2 v3 v4的大小 并用小于号将它们排列起来 Q v2 v3 P v4 v1 解析 根据题意在 P Q 两点点火加速过程中 卫星速度将增大 所以有 v2 v1 v4 v3 而 v1 v4是 15 15 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度 由于它们对应的轨道半径 r1v4 把以上不等式 连接起来 可得到结论 v2 v1 v4 v3 卫星沿椭圆轨道由 P Q 运行时 由于只有重力做负功 卫星机 械能守恒 其重力势能逐渐增大 动能逐渐减小 因此有 v2 v3 例题 发射地球同步卫星时 先将卫星发射至近地圆轨道 1 然后经点火 使其沿椭圆轨道 2 运行 最后再次点火 将卫星送入同步圆轨道 3 轨道 1 2 相切于 Q 点 轨道 2 3 相切于 P 点 如图 则当 卫星分别在 1 2 3 轨道上正常运行时 以下说法正确的是 Q 1 2 3 P A 卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 上的速率 B 卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 上的角速度 C 卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度 D 卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度 解析 从动力学的角度思考 卫星受到的引力使卫星产生运动的加速度 所以卫星 nn maF 在轨道 上经过 点时的加速度等于它在轨道 上经过 点时的加速度 卫星在轨道 上经过 点时的 加速度等于它在轨道 上经过 点时的加速度 必须注意 如果从运动学的角度思考 r r v an 2 2 由于卫星在不同的轨道上经过相同点时 不但线速度 角速度不同 而且轨道半径 曲率半径 不同 所以不能做出判断 案 B D 例题 欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星 该卫星发射前在赤道附近 北纬 5 左右 南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上等待发射时为 1 状态 发射到近地轨道上做匀速圆周运动 时为 2 状态 最后通过转移 调试 定点在地球同步轨道上时为 3 状态 将下列物理量按从小到大的顺 序用不等号排列 这三个状态下卫星的线速度大小 向心加速度大小 周期大小 解析 比较 2 3 状态 都是绕地球做匀速圆周运动 因为 r2 r3 所以 v3 v2 比较 1 3 状态 周期相同 即角速度相同 而 r1 r3由 v r 显然有 v1 v3 因此 v1 v3 v2 比较 2 3 状态 都是绕地 球做匀速圆周运动 因为 r2 r3 而向心加速度就是卫星所在位置处的重力加速度 g GM r2 1 r2 所以 16 16 a3 a2 比较 1 3 状态 角速度相同 而 r1 r3 由 a r 2 r 有 a1 a3 所以 a1 a3 a2 比较 1 2 状态 可以认为它们轨道的周长相同 而 v1 v2 所以 T2 T1 又由于 3 状态卫星在同步轨道 周期也是 24h 所以 T3 T1 因此有 T2 T1 T3 例题例题 嫦娥一号 探月卫星以圆形轨道绕月飞行 卫星将获取的信息以微波信号发回地球 假设卫星 绕月的轨道平面与地月连心线共面 各已知物理量如表中所示 地球质 量 月球质量 地球 半径 月球 半径 月球表面 重力加速度 月球绕地轨道半 径 卫星绕月轨道半 径 Mm R1g1r r1 1 嫦娥一号在奔月过程中受地球和月球引力相等时离月球面的高度为多少 2 嫦娥一号绕月球一周所用的时间为多少 解析解析 1 设卫星质量 m 由万有引力定律得 卫星受地球和月球引力相等有 L mm G L mM G 2 2 2 1 又因为 r 卫星到月球表面的距离为 解得 1 R mM mr S 2 由月球对卫星的万有引力提供向心力得 1 2 2 1 2 r T m mm G r 在月球表面有 1 2 1 gm mm G R 解得绕月球一周所用的时间为 11 11 1 2 gr gR r T 答案 1 2 1 R mM mr S 11 11 1 2 gr gR r T 例题例题 我国研制的 嫦娥一号 卫星于 2007 年 10 月 24 日 18 时由长征三甲运载火箭发射升空 星箭分 离后在远地点做了一次变轨 进入到 16 小时轨道 然后分别在 16 小时 24 小时 停泊轨道 48 小时轨道 调相轨道 轨道近地点 各进行了一次变轨 其中在 调相轨道近地点变轨后 嫦娥一号 卫星进入地月转移轨道正式奔月 下列说法中正 确的是 A 嫦娥一号 由 24 小时轨道变为 48 小时轨道时应让其发动机在 A 点点火向后 喷气 B 嫦娥一号 由 24 小时轨道变为 48 小时轨道时应让其发动机在 B 点点火向后 喷气 C 嫦娥一号 沿 24 小时轨道在 B 点的速度大于沿 24 小时轨道在 A 点的速度 D 嫦娥一号 沿 48 小时轨道在 B 点的加速度大于沿 24 小时轨道在 B 点的加速度 解析解析 嫦娥一号 由由 24 小时轨道变为 48 小时轨道应做离心运动 此时要增大速度 若选在 A 点 点火 这样会使卫星进入另一个与 A 点相切的椭圆轨道 而不会进入预定的与 B 点相切的 48 小时轨道 因此要在 B 点点火 A 错 B 对 嫦娥一号 沿 24 小时椭圆轨道运动时 B 点相当于近地点而 A 点相当于 远地点 根据机械能守恒可知 C 选项正确 根据公式 GMm R2 ma 可知 嫦娥一号 沿 48 小时轨道在 B 点 的加速度等于沿 24 小时轨道在 B 点的加速度 故 D 错 17 17 答案 B C 规律总结规律总结 在处理变轨问题时 一定要分清圆周轨道与椭圆轨道 弄清楚轨道切点上速度的关系 再根据机械能的变化分析卫星的运动情况 例题 图 7 是 嫦娥一导奔月 示意图 卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨 进入地月转移轨 道 最终被月球引力捕获 成为绕月卫星 并开展对月球的探 测 下列说法正确的是 A 发射 嫦娥一号 的速度必须达到第三宇宙速度 B 在绕月圆轨道上 卫星周期与卫星质量有关 C 卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D 在绕月圆轨道上 卫星受地球的引力大于受月球的引力 解析解析 嫦娥一号 只是摆脱地球吸引 但并未飞离太阳系 则其发射速度应大于第二宇宙速度而 小于第三宇宙速度 A 错 根据可知绕月周期与卫星质量无关 B 错 根据万有引R T m R Mm G 2 2 2 卫 卫 力定律可知 C 正确 卫星在摆脱地球引力后才能达到绕月圆轨道 故该轨道上 卫星受月球引力远大于 地球引力 D 错 答案答案 C 练习练习 2008 年 9 月我国成功发射神舟七号载人航天飞 船 如图所示为神舟七号绕地球飞行时的电视直播画面 图 中数据显示 飞船距地面的高度约为地球半径的 已知 20 1 地球半径为 R 地面附近的重力加速度为 g 设飞船 大西 洋星绕地球均做匀速圆周运动 1 估算神舟七号飞船在轨运行的加速度大小 2 已知大西洋星距地面的高度约为地球半径的 6 倍 估算大西洋星的速率 解 1 飞船绕地球做匀速圆周运动的加速度为 a 飞船质量为 m1 由万有引力定律和牛顿第二定律得 am hR GMm 1 2 1 20 R h 由物体在地球表明受到的万有引力近似等于物体重力得 gm R GMm 0 2 0 由 式得 gga91 0 441 400 2 大西洋星绕地球做匀速圆周运动的速度为 v 质量为 m2 由万有引力定律和牛顿第二定律 得 6R 由 式得 2 2 2 2 hR vm hR GMm h 7 gR v 类型题类型题 6 卫星的追及问题卫星的追及问题 例题 如右图所示 有A B 两个行星绕同一恒星O 做圆周运动 旋转 方向相同 A 行星的周期为T1 B 行星的周期为T2 在某一时刻两行星第一次 相遇 即两行星距离最近 则 BD A 经过时间t T2 T1 两行星将第二次相遇 18 18 B 经过时间 两行星将第二次相遇 12 21 TT TT t 经过时间 两行星第一次相距最远 12 21 2 1 TT TT t D 经过时间 两行星第一次相距最远 2 21 TT t 例题 A B 两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动 运行方向相同 A 的轨道半径为 r1 B 的轨道半径为 r2 已知恒星质量为 恒星对行星的引力远大于得星间的引力 两行星的轨道半 m 径 r1 r2 若在某一时刻两行星相距最近 试求 1 再经过多少时间两行星距离又最近 2 再经过多少时间两行星距离最远 解析 1 A B 两行星如右图所示位置时距离最近 这时 A B 与恒星在同 一条圆半径上 A B 运动方向相同 A 更靠近恒星 A 的转动角度大 周期短 如 果经过时间 t A B 与恒星连线半径转过的角度相差 2 的整数倍 则 A B 与恒星又位于同一条圆半 径上 距离最近 解 1 设 A B 的角速度分别为 1 2 经过时间 t A 转过的角度为 1t B 转过的角度为 2t A B 距离最近的条件是 1t 2t 3 2 1 2 nn 恒星对行星的引力提供向心力 则 32 2 r mG r mmG mr 即 由得得出 3 1 1 r m G 3 2 2 r m G 求得 3 2 1 3 2 3 1 2 nt r mG r mG n 2 如果经过时间 A B 转过的角度相差 的奇数倍时 则A B 相距最远 即 t 3 2 1 12 21 kktt 故 21 12 k t 把 1 2代入得 3 2 1 3 2 3 1 12 kt r mG r mG k 点评 太阳系有九大行星 它们之间有相对运动 如要知道哈雷彗星下次光顾地球是什么时间 就要分 析两运动间的角速度关系 本题关键是正确写出两行星相距离最近和相距最远的条件 类型题类型题 7 数学知识的运用数学知识的运用 物理是以数学为基础的 合理运用数学知识 可以使问题简化 甚至在有的问题中 数学知识起关键 作用 1 用比值法求解有关问题 用比值法求解有关问题 19 19 例题 全国高考 假设火星和地球都是球体 火星的质量为 M火和地球质量 M地之比 M火 M地 p 火星半径 R火和地球半径 R地之比 R火 R地 q 那么火星表面重力加速度 g火和地球表面重力加速 度 g地之比为 A A B C D pq 2 q p 2 pq q p 2 割补法的运用 割补法的运用 例题 如图所示 在距一质量为 M 半径为 R 密度均匀的球体中心 2R 处 有一质量为 m 的质点 M 对 m 的万有引力的大小为 F 现从 M 中挖出一半径为 r 的球体 如图 OO R 2 求 M 中剩下的部分 对 m 的万有引力的大小 m o o r 解析 根据万有引力定律 挖去的球体原来对质点 m 的引力为 而 2 2 R Mm GF 2 5 1 R mM F 所以剩下的部分对质点 m 的引力为 3 3 r R M M F R rR FF 3 33 9 169 答案 F R rR 3 33 9 169 练习练习 如图所示 在一个半径为 R 质量为 M 的均匀球体中 紧贴球的边缘挖去一个半径为 R 2 的球 形空穴后 对位于球心和空穴中心连线上 与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大 解析解析 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和 其中完整的均质 球体对球外质点 m 的引力这个引力可以看成是 m 挖去球穴后的剩余部分对质点的引力 F1与 2 d Mm GF 半径为 R 2 的小球对质点的引力 F2之和 即 F F1 F2 因半径为 R 2 的小球质量 M 为 M R MRR M 8 1 3 4 23 4 23 4 3 33 则 2 2 2 2 82 Rd Mm G Rd mM GF 所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点 m 的引力 20 20 2 2 21 2 8Rd Mm G d Mm GFFF 22 22 2 8 287 Rdd RdRd GMm 答案 2 2 22 2 8 287 Rdd RdRd GMm 3 代数知识的运用 代数知识的运用 例题 地球同步卫星到地心的距离 r 可由求出 已知式中 a 的单位是 m b 的单位是 2 22 3 4 cba r s c 的单位是 m s2 则 A 是地球半径 b 是球自转的周期 是地球表面处的重力加速度 B 是地球半径 b 是同步卫星绕地心运动的周期 C 是同步卫星的加速度 C a 是赤道周长 b 是地球自转周期 c 是同步卫星的加速度 D a 是地球半径 是同步卫星绕地心运动的周期 c 是地球表面处的重力加速度 解析 同步卫星 m 圆周运动的向心力由地球 对它的引力提供 设地球自转周期为 物体 m 在地球表面的重量约等于地球对它的万有引力 所以 由上r T m r Mm G 2 2 2 4 2 r mM Ggm 两式可得 其中 也可以认为是同步卫星运动的周期 2 22 3 4 gTR r 答案 A D 类型题类型题 8 会求解卫星运动的综合题会求解卫星运动的综合题 例题 某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者 他用天文望远镜观察被太阳光照射的此 卫星 试问 春分那天 太阳光直射赤道 在日落 12 小时内有多长时间该观察者看不见此卫星 已知地 球半径为 R 地球表面处的重力加速度为 g 地球自转周期为 T 不考虑大气对光的折射 太阳光 E O S A R r 解析 设所求的时间为 t 用 m M 分别表示卫星和地球的质量 r 表示卫星到地心的距离 有 2 2 2 T mr r mM G 春分时 太阳光直射地球赤道 如图所示 图中圆 E 表示赤道 S 表示卫星 A 表示观察者 O 表示 地心 由图 17 可看出当卫星 S 绕地心 O 转到图示位置以后 设地球自转是沿图中逆时针方向 其正下 方的观察者将看不见它 据此再考虑到对称性 有 21 21 Rr sinTt 2 2 g R M G 2 由以上各式可解得 3 1 2 2 4 arcsin gT RT t 例题 我国发出了一颗同步卫星 定点位置与东经 98 的经线在同一平面内 若把甘肃省嘉峪关处 的经度和纬度近似取为东经 98 和北纬 40 已知地球半径 R 地球自转周期 T 地球表面重力加速度 g 视为常量 和光速 c 试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间 要求用题 给的已知量的符号表示 解析 根据题意 可知同步卫星 嘉峪关 地心在同一平面内 如图 全解 设地球质量为 M 卫星质量为 m 卫星轨道半径为 r 卫星到嘉峪关的距离为 L 如上图 则 地球表面处物体的重量约等于地球对它的万有引力 由数学知识r T m r Mm G 2 2 4 gm R mM G 2 得 又 由以上四式求解得 cos2 22 rRRrL c L t c gTR RR gTR t cos 4 2 4 3 1 2 22 2 3 2 2 22 例题 我国发射的 嫦娥一号 探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行 为了获得月球表面全貌的信息 让卫 星轨道平面缓慢变化 卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球 设地球和月球的质量分别为 M 和 m 地球和月球的半径分别为 R 和 R1 月球绕地球的轨 道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为 r 和 r1 月球绕 地球转动的周期为 T 假定在卫星绕月运行的一个周期 内卫星轨道平面与地月连心线共面 求在该周期内卫星 发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间 用 M m R R1 r r1和 T 表示 忽略月球绕地球转动 对遮挡时间的影响 解析解析 如图所示 设O和分别表示地球和月球的中心 在卫星轨道平面上 A是地月连心线 O 与地月球表面的公切线ACD的交点 D C和B分别是该公切线与地球表面 月球表面和卫星轨道的O O 交点 过A点在另一侧作地月球面的公切线 交卫星轨道于E点 卫星在圆弧上运动时发出的信号被BE 遮挡 设探月卫星的质量为m0 万有引力常量为G 根据万有引力定律有 r T m r Mm G 2 2 2 r T m r Mm G 2 1 0 2 1 0 2 22 22 式中 T1表示探月卫星绕月球转动的周期 由以上两式可得 3 1 2 1 r r m M T T 设卫星的微波信号被遮挡的时间为t 则由于卫星绕月球做匀速圆周运动 应有 式中 1 T t AO C BO C 由几何关系得 1 cosRRr 11cos Rr 由 得 1 11 3 3 1 arccosarccos r R r RR mr MrT t 答案 1 11 3 3 1 arccosarccos r R r RR mr MrT t 练练习习 地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动 地球的轨道半径为 R 1 50 1011m 运转周期为 T 3 16 107s 地球和太阳中心的连线与地球和行星 的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角 简称视角 当行 星处于最大视角处时 是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳 时期 如图甲或图乙所示 该行星的最大视角 14 5 求该行 星的轨道半径和运转周期 sin14 5 0 25 最终计算结果均保留两位有效数字 解 由题意当地球与行星的连线与行星轨道相切时 视角最大 可得行星的轨道半径 r 为 sinrR 代入数据得 10 3 8 10rm 设行星绕太阳的运转周期为 T 由开普勒第三定律 有 33 2 2 Rr TT 代入数据得 6 4 0 10Ts 类型题类型题 9 会求解黄金代换题会求解黄金代换题 例题 我国首个月球探测计划 嫦娥工程 将分三个阶段实施 大约用十年左右时间完成 这极大 地提高了同学们对月球的关注程度 以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题 请你解答 1 若已知地球半径为 R 地球表面的重力加速度为 g 月球绕地球运动的周期为 T 且把月球绕地 球的运动近似看做是匀速圆周运动 试求出月球绕地球运动的轨道半径 2 若某位宇航员随登月飞船登陆月球后 在月球某水平表面上方 h 高处以速度 v0水平抛出一个小 球 小球落回到月球表面的水平距离为 s 已知月球半径为 R月 万有引力常量为 G 试求出月球的质量 M月 解析解析 1 假设地球质量为 M 有 GMm R2 mg 23 23 设月球绕地球运动的轨道半径为 r 有 GM月m r2 m月r 2 T 2 由以上各式可得 3 2 22 4 TgR r 2 设物体下落到月面的时间为t 有h g月t2 2 s v0t 可得 g月 2h v02 s2 根据万有引力定律 mg月 G M月m R月2 解得M月 2h R月2 v02 Gs2 答案 1 2 M月 2h R月2 v02 Gs2 3 2 22 4 TgR