高中数学知识点训练27 数列

用心 爱心 专心 1 训练训练 2727 数数 列列 推荐时间 75 分钟 1 数列 an 中 a3 1 a1 a2 an an 1 n 1 2 3 1 求a1 a2 2 求数列 an 的前n项和Sn 3 设bn log2Sn 存在数列 cn 使得cn bn 3 bn 4 1 试求数列 cn 的前n项和 2 2011 湖北 成等差数列的三个正数的和等于 15 并且这三个数分别加上 2 5 13 后成为等比数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 2 数列 bn 的前n项和为Sn 求证 数列是等比数列 Sn 5 4 3 2011 辽宁 已知等差数列 an 满足a2 0 a6 a8 10 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列的前n项和 an 2n 1 4 某商店投入 81 万元经销某种北京奥运会特许纪念品 经销时间共 60 天 为了获得更多的 利润 商店将每天获得的利润投入到次日的经营中 市场调研表明 该商店在经销这一产品 期间第n天的利润an Error 单位 万元 n N N 记第n天的利润率bn 例如b3 第n天的利润 前n天投入的资金总和 a3 81 a1 a2 1 求b1 b2的值 2 求第n天的利润率bn 3 该商店在经销此纪念品期间 哪一天 的利润率最大 并求该天的利润率 5 设等差数列 an 的前n项和为Sn 公比是正数的等比数列 bn 的前n项和为Tn 已知 a1 1 b1 3 a2 b2 8 T3 S3 15 1 求 an bn 的通项公式 2 若数列 cn 满足a1cn a2cn 1 an 1c2 anc1 2n 1 n 2 对任意n N N 都成 立 求证 数列 cn 是等比数列 6 设数列 an bn 满足 a1 4 a2 5 2 用心 爱心 专心 2 an 1 bn 1 an bn 2 2anbn an bn 1 用an表示an 1 并证明 n N N an 2 2 证明 是等比数列 ln an 2 an 2 3 设Sn是数列 an 的前n项和 当n 2 时 Sn与 2是否有确定的大小关系 若 n 4 3 有 加以证明 若没有 请说明理由 答案 1 解 1 a1 a2 a1 a2 a3 2a1 a3 1 a1 a2 1 2 1 2 2 Sn an 1 Sn 1 Sn 2Sn Sn 1 2 Sn 1 Sn Sn 是首项为S1 a1 公比为 2 的等比数列 1 2 Sn 2n 1 2n 2 1 2 3 bn log2Sn Sn 2n 2 bn n 2 bn 3 n 1 bn 4 n 2 cn n 1 n 2 1 cn 1 n 1 n 2 1 n 1 1 n 2 c1 c2 cn 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 1 n 2 1 2 1 n 2 n 2n 4 2 1 解 设成等差数列的三个正数分别为a d a a d 依题意 得a d a a d 15 解得a 5 所以 bn 中的b3 b4 b5依次为 7 d 10 18 d 依题意 有 7 d 18 d 100 解得d 2 或d 13 舍去 故 bn 的第 3 项为 5 公比为 2 由b3 b1 22 即 5 b1 22 解得b1 5 4 用心 爱心 专心 3 所以 bn 是以 为首项 2 为公比的等比数列 其通项公式为bn 2n 1 5 2n 3 5 4 5 4 2 证明 数列 bn 的前n项和Sn 5 2n 2 5 4 1 2n 1 2 5 4 即Sn 5 2n 2 5 4 所以S1 2 5 4 5 2 Sn 1 5 4 Sn 5 4 5 2n 1 5 2n 2 因此是以 为首项 2 为公比的等比数列 Sn 5 4 5 2 3 解 1 设等差数列 an 的公差为d 由已知条件可得Error 解得Error 故数列 an 的通项公式为an 2 n 2 设数列的前n项和为Sn an 2n 1 即Sn a1 a2 2 an 2n 1 故S1 1 Sn 2 a1 2 a2 4 an 2n 所以 当n 1 时 得 a1 Sn 2 a2 a1 2 an an 1 2n 1 an 2n 1 1 2 1 4 1 2n 1 2 n 2n 1 1 1 2n 1 2 n 2n n 2n 所以Sn 当n 1 时也成立 n 2n 1 综上 数列的前n项和Sn an 2n 1 n 2n 1 4 解 1 当n 1 时 b1 当n 2 时 b2 1 81 1 82 2 当 1 n 20 时 a1 a2 a3 an 1 an 1 bn an 81 a1 a2 an 1 1 81 n 1 1 n 80 当 21 n 60 时 用心 爱心 专心 4 bn an 81 a1 a20 a21 an 1 1 10n 81 20 a21 an 1 1 10n 101 n 21 n 20 20 2n n2 n 1 600 第n天的利润率bn Error 3 当 1 n 20 时 bn 是递减数列 此时bn的最大值为b1 1 n 80 1 81 当 21 n 60 时 bn 2n n2 n 1 600 2 n 1 600 n 1 当且仅当n 即n 40 时 2 2 1 600 1 2 79 1 600 n 成立 又 当n 40 时 bn max 2 79 1 81 2 79 该商店经销此纪念品期间 第 40 天的利润率最大 且该天的利润率为 2 79 5 1 解 设数列 an 的公差为d 数列 bn 的公比为q q 0 由题意得Error 解得Error an n bn 3 2n 1 2 证明 由cn 2cn 1 n 1 c2 nc1 2n 1 n 2 知cn 1 2cn 2 n 2 c2 n 1 c1 2n n 1 2 n 2 两式相减 cn cn 1 c2 c1 2n 1 n 2 cn 1 cn 2 c2 c1 2n 1 1 n 3 cn 2n 1 n 3 当n 1 2 时 c1 1 c2 2 适合上式 cn 2n 1 n N N 即 cn 是等比数列 用心 爱心 专心 5 6 证明 1 由已知得a1 4 a2 5 2 所以b1 1 故an 1bn 1 anbn a1b1 4 bn an 1 4 an an 2 2 an 因为a1 4 2 a2 2 5 2 假设n k k N N 时 ak 2 则ak 1 2 ak 2 2 ak 故 n N N an 2 2 an 1 2 an 2 2 2an an 1 2 an 2 2 2an 所以 2 an 1 2 an 1 2 an 2 an 2 所以 ln 2ln an 1 2 an 1 2 an 2 an 2 所以 n N N 是等比数列 ln an 2 an 2 3 由 2 可知 ln ln 3 2n 1 ln 32n 1 an 2 an 2 解得an 2 32n 1 1 32n 1 1 2 2 1 2 32n 1 1 4 32n 1 1 设cn cn 1 n 2 4 32n 1 1 4 32n 2 1 32n 2 1 1 4 cn cn 1