2012年全国部分地区中考数学试题分类解析汇编 与圆有关的解答题VIP

用心 爱心 专心1 20122012 年全国各地中考数学压轴题汇编年全国各地中考数学压轴题汇编 第第 3131 章章 与圆有关的解答题与圆有关的解答题 1 2012 临沂 如图 点 A B C 分别是 O 上的点 B 60 AC 3 CD 是 O 的直径 P 是 CD 延长线上的一点 且 AP AC 1 求证 AP 是 O 的切线 2 求 PD 的长 考点 切线的判定 圆周角定理 解直角三角形 解答 1 证明 连接 OA B 60 AOC 2 B 120 又 OA OC ACP CAO 30 AOP 60 AP AC P ACP 30 OAP 90 OA AP AP 是 O 的切线 2 解 连接 AD CD 是 O 的直径 CAD 90 AD AC tan30 3 ADC B 60 PAD ADC P 60 30 P PAD PD AD 用心 爱心 专心2 2 2012 义乌市 如图 已知 AB 是 O 的直径 点 C D 在 O 上 点 E 在 O 外 EAC D 60 1 求 ABC 的度数 2 求证 AE 是 O 的切线 3 当 BC 4 时 求劣弧 AC 的长 考点 切线的判定 圆周角定理 弧长的计算 解答 解 1 ABC 与 D 都是弧 AC 所对的圆周角 ABC D 60 2 AB 是 O 的直径 ACB 90 BAC 30 BAE BAC EAC 30 60 90 即 BA AE AE 是 O 的切线 3 如图 连接 OC OB OC ABC 60 OBC 是等边三角形 OB BC 4 BOC 60 AOC 120 劣弧 AC 的长为 3 2012 杭州 如图 AE 切 O 于点 E AT 交 O 于点 M N 线段 OE 交 AT 于点 C OB AT 于点 B 已知 EAT 30 AE 3 MN 2 1 求 COB 的度数 2 求 O 的半径 R 3 点 F 在 O 上 是劣弧 且 EF 5 把 OBC 经过平移 旋转和相似变换后 使 它的两个顶点分别与点 E F 重合 在 EF 的同一侧 这样的三角形共有多少个 你能在其 中找出另一个顶点在 O 上的三角形吗 请在图中画出这个三角形 并求出这个三角形与 OBC 的周长之比 用心 爱心 专心3 考点 切线的性质 含 30 度角的直角三角形 勾股定理 垂径定理 平移的性质 旋转的 性质 相似三角形的判定与性质 专题 计算题 分析 1 由 AE 与圆 O 相切 根据切线的性质得到 AE 与 CE 垂直 又 OB 与 AT 垂直 可 得出两直角相等 再由一对对顶角相等 利用两对对应角相等的两三角形相似可得 出三角形 AEC 与三角形 OBC 相似 根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与 A 相等 由 A 的度数即可求出所求角的度数 2 在直角三角形 AEC 中 由 AE 及 tanA 的值 利用锐角三角函数定义求出 CE 的 长 再由 OB 垂直于 MN 由垂径定理得到 B 为 MN 的中点 根据 MN 的长求出 MB 的长 在直角三角形 OBM 中 由半径 OM R 及 MB 的长 利用勾股定理表示出 OB 的长 在 直角三角形 OBC 中 由表示出 OB 及 cos30 的值 利用锐角三角函数定义表示出 OC 用 OE OC EC 列出关于 R 的方程 求出方程的解得到半径 R 的值 3 把 OBC 经过平移 旋转和相似变换后 使它的两个顶点分别与点 E F 重 合 在 EF 的同一侧 这样的三角形共有 6 个 如图所示 每小图 2 个 顶点在圆上 的三角形 延长 EO 与圆交于点 D 连接 DF 由第二问求出半径 的长直径 ED 的长 根据 ED 为直径 利用直径所对的圆周角为直角 得到三角形 EFD 为直角三角形 由 FDE 为 30 利用锐角三角函数定义求出 DF 的长 表示出三角形 EFD 的周长 再 由第二问求出的三角形 OBC 的三边表示出三角形 BOC 的周长 即可求出两三角形的 周长之比 解答 解 1 AE 切 O 于点 E AE CE 又 OB AT AEC CBO 90 又 BCO ACE AEC OBC 又 A 30 COB A 30 2 AE 3 A 30 用心 爱心 专心4 在 Rt AEC 中 tanA tan30 即 EC AEtan30 3 OB MN B 为 MN 的中点 又 MN 2 MB MN 连接 OM 在 MOB 中 OM R MB OB 在 COB 中 BOC 30 cos BOC cos30 BO OC OC OB 又 OC EC OM R R 3 整理得 R2 18R 115 0 即 R 23 R 5 0 解得 R 23 舍去 或 R 5 则 R 5 3 在 EF 同一侧 COB 经过平移 旋转和相似变换后 这样的三角形有 6 个 如图 每小图 2 个 顶点在圆上的三角形 如图所示 延长 EO 交圆 O 于点 D 连接 DF 如图所示 EF 5 直径 ED 10 可得出 FDE 30 FD 5 则 C EFD 5 10 5 15 5 由 2 可得 C COB 3 C EFD C COB 15 5 3 5 1 点评 此题考查了切线的性质 垂径定理 勾股定理 相似三角形的判定与性质 含 30 直角三角形的性质 平移及旋转的性质 以及锐角三角函数定义 熟练掌握定理及 性质是解本题的关键 4 2012 烟台 如图 AB 为 O 的直径 弦 CD AB 垂足为点 E CF AF 且 CF CE 1 求证 CF 是 O 的切线 2 若 sin BAC 求的值 用心 爱心 专心5 考点 切线的判定 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 分析 1 首先连接 OC 由 CD AB CF AF CF CE 即可判定 AC 平分 BAF 由圆周角 定理即可得 BOC 2 BAC 则可证得 BOC BAF 即可判定 OC AF 即可证得 CF 是 O 的切线 2 由垂径定理可得 CE DE 即可得 S CBD 2S CEB 由 ABC CBE 根据相似三 角形的面积比等于相似比的平方 易求得 CBE 与 ABC 的面积比 继而可求得 的值 解答 1 证明 连接 OC CE AB CF AF CE CF AC 平分 BAF 即 BAF 2 BAC BOC 2 BAC BOC BAF OC AF CF OC CF 是 O 的切线 2 解 AB 是 O 的直径 CD AB CE ED ACB BEC 90 S CBD 2S CEB BAC BCE ABC CBE sin BAC 2 用心 爱心 专心6 点评 此题考查了切线的判定 垂径定理 相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知 识 此题难度适中 注意掌握辅助线的作法 注意数形结合思想的应用 5 2012 梅州 如图 AC 是 O 的直径 弦 BD 交 AC 于点 E 1 求证 ADE BCE 2 如果 AD2 AE AC 求证 CD CB 考点 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 专题 证明题 分析 1 由在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 即可得 A B 又由对 顶角相等 可证得 ADE BCE 2 由 AD2 AE AC 可得 又由 A 是公共角 可证得 ADE ACD 又由 AC 是 O 的直径 以求得 AC BD 由垂径定理即可证得 CD CB 解答 1 证明 如图 A 与 B 是 对的圆周角 A B 又 1 2 ADE BCE 2 证明 如图 AD2 AE AC 又 A A ADE ACD 用心 爱心 专心7 AED ADC 又 AC 是 O 的直径 ADC 90 即 AED 90 直径 AC BD CD CB 点评 此题考查了圆周角定理 垂径定理一相似三角形的判定与性质 此题难度不大 注 意数形结合思想的应用 6 2012 扬州 如图 AB是 O的直径 C是 O上一点 AD垂直于过点C的切线 垂 足为D 1 求证 AC平分BAD 2 若AC 2 CD 2 求 O的直径 考点 切线的性质 角平分线的性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质 专题 计算题 分析 1 连接OC 根据切线的性质判断出AD OC 得到 DAC OCA 再根据OA OC 得到 OAC OCA 可得AC平分 BAD 2 连接BC 得到 ADC ACB 根据相似三角形的性质即可求出AB的长 解答 解 1 如图 连接OC 用心 爱心 专心8 DC切 O于C AD CD ADC OCF 90 AD OC DAC OCA OA OC OAC OCA 即AC平分 BAD 2 连接BC AB是直径 ACB 90 ADC OAC OCA ADC ACB 在 Rt ADC中 AC 2 CD 2 AD 4 AB 5 点评 本题考查了切线的性质 角平分线的性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质 是一道综合性较强的题目 作出相应辅助线是解题的关键 7 2012 年中考 如图 在 O 中 直径 AB 与弦 CD 相交于点 P CAB 40 APD 65 用心 爱心 专心9 1 求 B 的大小 2 已知 AD 6 求圆心 O 到 BD 的距离 8 2012 资阳 如图 在 ABC 中 AB AC A 30 以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D 交 AC 于点 E 连接 DE 过点 B 作 BP 平行于 DE 交 O 于点 P 连接 EP CP OP 1 BD DC 吗 说明理由 2 求 BOP 的度数 3 求证 CP 是 O 的切线 如果你解答这个问题有困难 可以参考如下信息 为了解答这个问题 小明和小强做了认真的探究 然后分别用不同的思路完成了这个题 目 在进行小组交流的时候 小明说 设 OP 交 AC 于点 G 证 AOG CPG 小强说 过点 C 作 CH AB 于点 H 证四边形 CHOP 是矩形 用心 爱心 专心10 考点 切线的判定 等腰三角形的性质 圆周角定理 专题 探究型 分析 1 连接 AD 由圆周角定理可知 ADB 90 再由 AB AC 可知 ABC 是等腰三角 形 故 BD DC 2 由于 AD 是等腰三角形 ABC 底边上的中线 所以 BAD CAD 故 进 而可得出 BD DE 故 BD DE DC 所以 DEC DCE ABC 中由等腰三角形的性质可得出 ABC 75 故 DEC 75 由三角形内角和定理得出 EDC 的度数 再根据 BP DE 可知 PBC EDC 30 进 而得出 ABP 的度数 再由 OB OP 可知 OBP OPB 由三角形内角和定理即可得 出 BOP 90 3 设 OP 交 AC 于点 G 由 BOP 90 可知 AOG 90 在 Rt AOG 中 由 OAG 30 可知 由于 所以 再根据 AGO CGP 可得出 AOG CPG 由相似三角形形的性质可知 GPC AOG 90 故可得出 CP 是 O 的切线 解答 1 解 BD DC 连接 AD 如图 1 AB 是直径 ADB 90 AB AC BD DC 2 解 AD 是等腰三角形 ABC 底边上的中线 BAD CAD BD DE BD DE DC DEC DCE ABC 中 AB AC A 30 DCE ABC 180 30 75 DEC 75 EDC 180 75 75 30 BP DE 用心 爱心 专心11 PBC EDC 30 ABP ABC PBC 75 30 45 OB OP OBP OPB 45 BOP 90 3 证明 证法一 设 OP 交 AC 于点 G 则 AOG BOP 90 在 Rt AOG 中 OAG 30 又 又 AGO CGP AOG CPG GPC AOG 90 CP 是 O 的切线 证法二 过点 C 作 CH AB 于点 H 如图 2 则 BOP BHC 90 PO CH 在 Rt AHC 中 HAC 30 CH AC 又 PO AB AC PO CH 四边形 CHOP 是平行四边形 四边形 CHOP 是矩形 OPC 90 CP 是 O 的切线 用心 爱心 专心12 点评 本题考查的是切线的判定定理 等腰三角形的性质 圆周角定理及相似三角形的判 定与性质 在判定圆的切线时构造直角三角形 再利用直角三角形的性质去证明过 圆心的直线与切线垂直 9 2012 德州 如图 点 A E 是半圆周上的三等分点 直径 BC 2 AD BC 垂足为 D 连接 BE 交 AD 于 F 过 A 作 AG BE 交 BC 于 G 1 判断直线 AG 与 O 的位置关系 并说明理由 2 求线段 AF 的长 考点 切线的判定 等边三角形的判定与性质 垂径定理 解直角三角形 专题 计算题 证明题 分析 1 求出弧 AB 弧 AE 弧 EC 推出 OA BE 根据 AG BE 推出 OA AG 根据切线 的判定即可得出答案 2 求出等边三角形 AOB 求出 BD AD 长 求出 EBC 30 在 FBD 中 通过 解直角三角形求出 DF 即可 解答 解 1 直线 AG 与 O 的位置关系是 AG 与 O 相切 理由是 连接 OA 点 A E 是半圆周上的三等分点 弧 AB 弧 AE 弧 EC 点 A 是弧 BE 的中点 OA BE 又 AG BE OA AG AG 与 O 相切 2 点 A E 是半圆周上的三等分点 AOB AOE EOC 60 又 OA OB ABO 为正三角形 又 AD OB OB 1 BD OD AD 用心 爱心 专心13 又 EBC EOC 30 在 Rt FBD 中 FD BD tan EBC BD tan30 AF AD DF 答 AF 的长是 点评 本题考查了解直角三角形 垂径定理 切线的判定等知识点的应用 能运用定理进 行推理和计算是解此题的关键 注意 垂径定理和解直角三角形的巧妙运用 题目 比较好 难度也适中 10 2012 湘潭 如图 在 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P AC AB 点 P 在半 圆弧 AB 上运动 不与 A B 两点重合 过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点 1 如图 1 求证 PCD ABC 2 当点 P 运动到什么位置时 PCD ABC 请在图 2 中画出 PCD 并说明理由 3 如图 3 当点 P 运动到 CP AB 时 求 BCD 的度数 考点 圆周角定理 全等三角形的性质 垂径定理 相似三角形的判定 专题 几何综合题 分析 1 由 AB 是 O 的直径 根据直径对的圆周角是直角 即可得 ACB 90 又由 PD CD 可得 D ACB 又由在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 即可得 A P 根据有两角对应相等的三角形相似 即可判定 PCD ABC 2 由 PCD ABC 可知当 PC AB 时 PCD ABC 利用相似比等于 1 的相 似三角形全等即可求得 3 由 ACB 90 AC AB 可求得 ABC 的度数 然后利用相似 即可得 PCD 的度数 又由垂径定理 求得 然后利用圆周角定理求得 ACP 的度数 继 而求得答案 解答 1 证明 AB 是 O 的直径 ACB 90 PD CD D 90 D ACB A 与 P 是对的圆周角 A P 用心 爱心 专心14 PCD ABC 2 解 当 PC 是 O 的直径时 PCD ABC 理由 AB PC 是 O 的半径 AB PC PCD ABC PCD ABC 3 解 ACB 90 AC AB ABC 30 PCD ABC PCD ABC 30 CP AB AB 是 O 的直径 ACP ABC 30 BCD AC ACP PCD 90 30 30 30 点评 此题考查了圆周角定理 垂径定理 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定 与性质以及直角三角形的性质等知识 此题综合性较强 难度适中 注意数形结合 思想的应用 11 2012 济宁 如图 AB 是 O 的直径 AC 是弦 OD AC 于点 D 过点 A 作 O 的切线 AP AP 与 OD 的延长线交于点 P 连接 PC BC 1 猜想 线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系 并证明你的结论 2 求证 PC 是 O 的切线 考点 切线的判定与性质 全等三角形的判定与性质 三角形中位线定理 圆周角定理 分析 1 根据垂径定理可以得到 D 是 AC 的中点 则 OD 是 ABC 的中位线 根据三角形 用心 爱心 专心15 的中位线定理可以得到 OD BC CD BC 2 连接 OC 设 OP 与 O 交于点 E 可以证得 OAP OCP 利用全等三角形的 对应角相等 以及切线的性质定理可以得到 OCP 90 即 OC PC 即可等证 解答 1 猜想 OD BC CD BC 证明 OD AC AD DC AB 是 O 的直径 OA OB 2 分 OD 是 ABC 的中位线 OD BC OD BC 2 证明 连接 OC 设 OP 与 O 交于点 E OD AC OD 经过圆心 O 即 AOE COE 在 OAP 和 OCP 中 OA OC OP OP OAP OCP OCP OAP PA 是 O 的切线 OAP 90 OCP 90 即 OC PC PC 是 O 的切线 点评 本题考查了切线的性质定理以及判定定理 三角形的中位线定理 证明圆的切线的 问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题 12 2012 德阳 如图 已知点 C 是以 AB 为直径的 O 上一点 CH AB 于点 H 过点 B 作 O 的切线交直线 AC 于点 D 点 E 为 CH 的中点 连接 AE 并延长交 BD 于点 F 直线 CF 交 AB 的延长线于 G 1 求证 AE FD AF EC 2 求证 FC FB 3 若 FB FE 2 求 O 的半径 r 的长 用心 爱心 专心16 考点 切线的判定与性质 等腰三角形的性质 等腰三角形的判定 直角三角形斜边上的 中线 勾股定理 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 专题 证明题 几何综合题 分析 1 由 BD 是 O 的切线得出 DBA 90 推出 CH BD 证 AEC AFD 得出比 例式即可 2 证 AEC AFD AHE ABF 推出 BF DF 根据直角三角形斜边上中线性 质得出 CF DF BF 即可 3 求出 EF FC 求出 G FAG 推出 AF FG 求出 AB BG 连接 OC BC 求出 FCB CAB 推出 CG 是 O 切线 由切割线定理得出 2 FG 2 BG AG 2BG2 在 Rt BFG 中 由勾股定理得出 BG2 FG2 BF2 推出 FG2 4FG 12 0 求出 FG 即 可 解答 1 证明 BD 是 O 的切线 DBA 90 CH AB CH BD AEC AFD AE FD AF EC 2 证明 CH BD AEC AFD AHE ABF CE EH E 为 CH 中点 BF DF AB 为 O 的直径 ACB DCB 90 CF DF BF 即 CF BF 3 解 BF CF DF 已证 EF BF 2 EF FC FCE FEC AHE CHG 90 用心 爱心 专心17 FAH AEH 90 G GCH 90 AEH CEF G FAG AF FG FB AG AB BG 连接 OC BC BF 切 O 于 B FBC CAB OC OA CF BF FCB FBC OCA OAC FCB CAB ACB 90 ACO BCO 90 FCB BCO 90 即 OC CG CG 是 O 切线 GBA 是 O 割线 FB FE 2 由切割线定理得 2 FG 2 BG AG 2BG2 在 Rt BFG 中 由勾股定理得 BG2 FG2 BF2 FG2 4FG 12 0 解得 FG 6 FG 2 舍去 由勾股定理得 AG BG 4 O 的半径是 2 点评 本题考查了切线的性质和判定 相似三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判 定 直角三角形斜边上中线的性质 圆周角定理 勾股定理等知识点的综合运用 题目综合性比较强 有一定的难度 13 2012 年中考 满分 12 分 如图 AB为 O的直径 C为 O上一点 AD和过C点的 切线互相垂直 垂足为D AD交 O于点E 1 求证 AC平分 DAB A B C D E O 第 20 题图 用心 爱心 专心18 2 若 B 60 CD 2 求AE的长 3 在直角三角形ACD中 根据 30 角所对的直角边等于斜边的一半 由CD的长求出 AC的长 在直角三角形ABC中 根据 cos30 及AC的长 利用锐角三角函数定义求 出AB的长 进而得出半径OE的长 由 EAO为 60 及OE OA 得到三角形AEO 为等边三角形 可得出AE OA OE 即可确定出AE的长 法 2 连接EC 由AB为圆O的直径 根据直径所对的圆周角为直角可得出 ACB为 直角 在直角三角形ABC中 由 B的度数求出 3 的度数为 30 可得出 1 的度 数为 30 在直角三角形ADC中 由CD及 tan30 利用锐角三角函数定义求出 AD的长 由 DEC为圆内接四边形ABCE的外角 利用圆内接四边形的外角等于它的 内对角 得到 DEC B 由 B的度数求出 DEC的度数为 60 在直角三角形 DEC中 由 tan60 及DC的长 求出DE的长 最后由AD ED即可求出AE的长 解答 1 证明 如图 1 连接OC CD为 O的切线 OC CD OCD 90 AD CD ADC 90 OCD ADC 180 AD OC 1 2 OA OC 2 3 1 3 即AC平分 DAB 2 解法一 如图 2 AB为 O的直径 ACB 90 又 B 60 1 3 30 A B C D E O 图 2 1 2 3 用心 爱心 专心19 在 Rt ACD中 CD 2 3 AC 2CD 4 3 在 Rt ABC中 AC 4 3 AB 8 AC cos CAB 43 cos30 连接OE EAO 2 3 60 OA OE AOE是等边三角形 AE OA AB 4 1 2 解法二 如图 3 连接CE AB为 O的直径 ACB 90 又 B 60 1 3 30 在 Rt ADC中 CD 2 3 AD 6 CD tan DAC 23 tan30 四边形ABCE是 O的内接四边形 B AEC 180 又 AEC DEC 180 DEC B 60 在 Rt CDE中 CD 2 3 DE 2 CD tan DEC 23 tan60 AE AD DE 4 点评 此题考查了切线的性质 平行线的性质 等边三角形的判定与性质 锐角三角函数 定义 圆内接四边形的性质 以及圆周角定理 利用了转化及数形结合的思想 遇 到直线与圆相切 常常连接圆心与切点 利用切线的性质得到垂直 利用直角三角 形的性质来解决问题 14 2012 恩施州 如图 AB 是 O 的弦 D 为 OA 半径的中点 过 D 作 CD OA 交弦 AB 于 点 E 交 O 于点 F 且 CE CB 1 求证 BC 是 O 的切线 2 连接 AF BF 求 ABF 的度数 3 如果 CD 15 BE 10 sinA 求 O 的半径 A B C D E O 图 3 1 2 3 用心 爱心 专心20 考点 切线的判定 勾股定理 相似三角形的判定与性质 解直角三角形 专题 几何综合题 分析 1 连接 OB 有圆的半径相等和已知条件证明 OBC 90 即可证明 BC 是 O 的切 线 2 连接 OF AF BF 首先证明 OAF 是等边三角形 再利用圆周角定理 同弧 所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出 ABF 的度数 3 过点 C 作 CG BE 于点 G 由 CE CB 可求出 EG BE 5 又 Rt ADE Rt CGE 和勾股定理求出 DE 2 由 Rt ADE Rt CGE 求出 AD 的长 进而求出 O 的半径 解答 1 证明 连接 OB OB OA CE CB A OBA CEB ABC 又 CD OA A AED A CEB 90 OBA ABC 90 OB BC BC 是 O 的切线 2 连接 OF AF BF DA DO CD OA OAF 是等边三角形 AOF 60 ABF AOF 30 用心 爱心 专心21 3 过点 C 作 CG BE 于点 G 由 CE CB EG BE 5 又 Rt ADE Rt CGE sin ECG sin A CE 13 CG 12 又 CD 15 CE 13 DE 2 由 Rt ADE Rt CGE 得 AD CG O 的半径为 2AD 点评 本题考查了切线的判定和性质 等边三角形的判定和性质 圆周角定理以及勾股定 理和相似三角形的判定和性质 题目的综合性不小 难度也不小 15 2012 兰州 如图 Rt ABC中 ABC 90 以AB为直径的 O交AC于点D E是 BC的中点 连接DE OE 1 判断DE与 O的位置关系并说明理由 2 若tanC DE 2 求AD的长 用心 爱心 专心22 考点 切线的判定 全等三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 直角三角形斜边上的 中线 解直角三角形 专题 计算题 证明题 分析 1 连接OD BD 求出 ADB BDC 90 推出DE BE CE 推出 EDB EBD OBD ODB 推出 EDO EBO 90 即可 2 BD x CD 2x 在Rt BCD中 由勾股定理得出 x 2 2x 2 16 求出 x 求出BD 根据tan ABD tanC求出AD BD 代入求出即可 解答 解 1 DE与 O相切 理由如下 连接OD BD AB是直径 ADB BDC 90 E是BC的中点 DE BE CE EDB EBD OD OB OBD ODB EDO EBO 90 用三角形全等也可得到 DE与 O相切 2 tanC 可设BD x CD 2x 在Rt BCD中 BC 2DE 4 BD2 CD2 BC2 x 2 2x 2 16 解得 x 负值舍去 BD x ABD C tan ABD tanC AD BD 答 AD的长是 用心 爱心 专心23 点评 本题综合考查了解直角三角形 等腰三角形的性质 直角三角形斜边上中线性质 切线的判定等知识点 主要培养学生分析问题和解决问题的能力 注意 证切线 的方法 方程思想的运用 16 2012 南通 本小题满分 8 分 如图 O的半径为 17cm 弦AB CD AB 30cm CD 16cm 圆心O位于AB CD的 上方 求AB和CD间的距离 考点 垂径定理 勾股定理 专题 探究型 分析 分别作弦 AB CD 的弦心距 设垂足为 E F 由于 AB CD 则 E O F 三点共线 EF 即为 AB CD 间的距离 由垂径定 理 易求得 AE CF 的长 可连接 OA ODC 在构建的直角三角形中 根据勾股定理 即可求出 OE OF 的长 也就求出了 EF 的长 即弦 AB CD 间的距离 解答 解 分别作弦 AB CD 的弦心距 设垂足为 E F AB 30cm CD 16cm AE 1 2 AB 1 2 30 15cm CF 1 2 CD 1 2 16 8cm 在 Rt AOE 中 OE OA2 AE2 172 152 8cm 在 Rt OCF 中 OF OC2 CF2 172 82 15cm EF OF OE 15 8 7cm 答 AB 和 CD 的距离为 8cm 点评 本题考查的是勾股定理及垂径定理 根据题意作出辅助线 构造出直角三角形是 解答此题的关键 17 2012 常德 如图 8 已知 AB AC BAC 120 在 BC 上取 一点 O 以 O 为圆心 OB 为半径作圆 且 O 过 A 点 过 A 作 AD BC 交 O 于 D 求证 1 AC 是 O 的切线 2 四边形 BOAD 是菱形 用心 爱心 专心24 知识点考察 圆的切线的判定 等腰三角形的性质 等边三角形的性质 三角形内角和 平行线的性质 垂直的定义 菱形的判定 能力考察 观察能力 逻辑推理能力 书写表达能力 分析 求证 AC 是 O 的切线 则证 OA AC 很显然要运用圆的切线的判定定理 要证四边形 BOAD 是菱形 先证 BOAD 为平行四边形 再证一组邻边相等 证明 1 AB AC BAC 120 ABC C 30 而 OB OA BAO ABC 30 CAO 120 30 90 OA AC 而 OA 为 O 的半径 AC 是 O 的切线 2 连 OD AD BC DAB ABC 30 DAO 60 而 OA OD OAD 为等边三角形 OB OA AD 又 AD BC ADBO 为平行四边形 且 OA OB 四边形 BOAD 是菱形 点评 这是一个平面几何的综合题 主要集中在圆的切线的判定定理的运用 特殊 四 边形的判定这两个方面 必须搜集 整理题目的已知条件形成清晰的思路 还 要注意推理的严谨性和完整性 18 2012 黔东南州 如图 O 是 ABC 的外接圆 圆心 O 在 AB 上 过点 B 作 O 的切 线交 AC 的延长线于点 D 1 求证 ABC BDC 2 若 AC 8 BC 6 求 BDC 的面积 解 1 证明 BD 是 O 的切线 AB BD ABD 90 AB 是 O 的直径 ACB BCD 90 用心 爱心 专心25 A D 90 CBD D 90 A CBD ABC BDC 2 解 ABC BDC AC 8 BC 6 S ABC AC BC 8 6 24 S BDC S ABC 24 2 19 2012 湛江 如图 已知点 E 在直角 ABC 的斜边 AB 上 以 AE 为直径的 O 与直角边 BC 相切于点 D 1 求证 AD 平分 BAC 2 若 BE 2 BD 4 求 O 的半径 解 1 证明 连接 OD BC 是 O 的切线 OD BC 又 AC BC OD AC 2 3 OA OD 1 3 1 2 AD 平分 BAC 2 解 BC 与圆相切于点 D BD2 BE BA BE 2 BD 4 BA 8 AE AB BE 6 O 的半径为 3 用心 爱心 专心26 20 2012 珠海 已知 AB 是 O 的直径 点 P 在弧 AB 上 不含点 A B 把 AOP 沿 OP 对折 点 A 的对应点 C 恰好落在 O 上 1 当 P C 都在 AB 上方时 如图 1 判断 PO 与 BC 的位置关系 只回答结果 2 当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时 如图 2 1 中结论还成立吗 证明你的结论 3 当 P C 都在 AB 上方时 如图 3 过 C 点作 CD 直线 AP 于 D 且 CD 是 O 的切线 证明 AB 4PD 解 1 PO 与 BC 的位置关系是 PO BC 2 1 中的结论 PO BC 成立 理由为 由折叠可知 APO CPO APO CPO 又 OA OP A APO A CPO 又 A 与 PCB 都为所对的圆周角 A PCB CPO PCB PO BC 3 CD 为圆 O 的切线 OC CD 又 AD CD OC AD APO COP 用心 爱心 专心27 由折叠可得 AOP COP APO AOP 又 OA OP A APO A APO AOP APO 为等边三角形 AOP 60 又 OP BC OBC AOP 60 又 OC OB BC 为等边三角形 COB 60 POC 180 AOP COB 60 又 OP OC POC 也为等边三角形 PCO 60 PC OP OC 又 OCD 90 PCD 30 在 Rt PCD 中 PD PC 又 PC OP AB PD AB 即 AB 4PD 21 2012 长沙 如图 A P B C 是半径为 8 的 O 上的四点 且满足 BAC APC 60 1 求证 ABC 是等边三角形 2 求圆心 O 到 BC 的距离 OD 解答 解 1 在 ABC 中 BAC APC 60 又 APC ABC ABC 60 ACB 180 BAC ABC 180 60 60 60 ABC 是等边三角形 2 ABC 为等边三角形 O 为其外接圆 用心 爱心 专心28 O 为 ABC 的外心 BO 平分 ABC OBD 30 OD 8 4 22 2012 广安 如图 在 ABC 中 ABC ACB 以 AC 为直径的 O 分别交 AB BC 于 点 M N 点 P 在 AB 的延长线上 且 CAB 2 BCP 1 求证 直线 CP 是 O 的切线 2 若 BC 2 sin BCP 求点 B 到 AC 的距离 3 在第 2 的条件下 求 ACP 的周长 考点 切线的判定与性质 等腰三角形的性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质 解 直角三角形 专题 几何综合题 分析 1 根据 ABC AC 且 CAB 2 BCP 在 ABC 中 ABC BAC BCA 180 得到 2 BCP 2 BCA 180 从而得到 BCP BCA 90 证得直线 CP 是 O 的切 线 2 作 BD AC 于点 D 得到 BD PC 从而利用 sin BCP sin DBC 求得 DC 2 再根据勾股定理求得点 B 到 AC 的 距离为 4 3 先求出 AC 的长度 然后利用 BD PC 的比例线段关系求得 CP 的长度 再由勾 股定理求出 AP 的长度 从而求得 ACP 的周长 用心 爱心 专心29 解答 解 1 ABC AC 且 CAB 2 BCP 在 ABC 中 ABC BAC BCA 180 2 BCP 2 BCA 180 BCP BCA 90 直线 CP 是 O 的切线 2 如右图 作 BD AC 于点 D PC AC BD PC PCB DBC BC 2 sin BCP sin BCP sin DBC 解得 DC 2 由勾股定理得 BD 4 点 B 到 AC 的距离为 4 3 如右图 连接 AN 在 Rt ACN 中 AC 5 又 CD 2 AD AC CD 5 2 3 BD CP CP 在 Rt ACP 中 AP AC CP AP 5 20 ACP 的周长为 20 点评 本题考查了切线的判定与性质等知识 考查的知识点比较多 难度较大 23 2012 张家界 如图 O 的直径 AB 4 C 为圆周上一点 AC 2 过点 C 作 O 的切线 DC P 点为优弧上一动点 不与 A C 重合 1 求 APC 与 ACD 的度数 用心 爱心 专心30 2 当点 P 移动到 CB 弧的中点时 求证 四边形 OBPC 是菱形 3 P 点移动到什么位置时 APC 与 ABC 全等 请说明理由 考点 切线的性质 全等三角形的判定与性质 菱形的判定 解答 解 1 连接 AC 如图所示 AC 2 OA OB OC AB 2 AC OA OC ACO 为等边三角形 AOC ACO OAC 60 APC AOC 30 又 DC 与圆 O 相切于点 C OC DC DCO 90 ACD DCO ACO 90 60 30 4 分 2 连接 PB OP AB 为直径 AOC 60 COB 120 当点 P 移动到 CB 的中点时 COP POB 60 COP 和 BOP 都为等边三角形 AC CP OA OP 则四边形 AOPC 为菱形 8 分 3 当点 P 与 B 重合时 ABC 与 APC 重合 显然 ABC APC 当点 P 继续运动到 CP 经过圆心时 ABC CPA 理由为 CP 与 AB 都为圆 O 的直径 CAP ACB 90 在 Rt ABC 与 Rt CPA 中 Rt ABC Rt CPA HL 10 分 用心 爱心 专心31 24 2012 宜宾 如图 O1 O2相交于 P Q 两点 其中 O1的半径 r1 2 O2的半 径 r2 过点 Q 作 CD PQ 分别交 O1和 O2于点 C D 连接 CP DP 过点 Q 任作一 直线 AB 交 O1和 O2于点 A B 连接 AP BP AC DB 且 AC 与 DB 的延长线交于点 E 1 求证 2 若 PQ 2 试求 E 度数 考点 相交两圆的性质 三角形内角和定理 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 解 直角三角形 解答 1 证明 O1的半径 r1 2 O2的半径 r2 PC 4 PD 2 CD PQ PQC PQD 90 PC PD 分别是 O1 O2的直径 在 O1中 PAB PCD 在 O2中 PBA PDC PAB PCD 即 2 解 在 Rt PCQ 中 PC 2r1 4 PQ 2 cos CPQ CPQ 60 在 Rt PDQ 中 PD 2r2 2 PQ 2 sin PDQ PDQ 45 CAQ CPQ 60 PBQ PDQ 45 又 PD 是 O2的直径 PBD 90 ABE 90 PBQ 45 用心 爱心 专心32 在 EAB 中 E 180 CAQ ABE 75 答 E 的度数是 75 25 2012 武汉 在锐角三角形 ABC 中 BC 4 sinA 1 如图 1 求三角形 ABC 外接圆的直径 2 如图 2 点 I 为三角形 ABC 的内心 BA BC 求 AI 的长 考点 三角形的内切圆与内心 三角形的面积 勾股定理 圆周角定理 解直角三角形 解答 1 解 作直径 CD 连接 BD CD 是直径 DBC 90 A D BC 4 sin A sin D CD 5 答 三角形 ABC 外接圆的直径是 5 2 解 连接 IC BI 且延长 BI 交 AC 于 F 过 I 作 IE AB 于 E AB BC 4 I 为 ABC 内心 BF AC AF CF sin A BF 在 Rt ABF 中 由勾股定理得 AF CF AC 2AF I 是 ABC 内心 IE AB IF AC IG BC IE IF IG 设 IE IF IG R ABI ACI BCI 的面积之和等于 ABC 的面积 AB R BC R AC R AC BF 用心 爱心 专心33 即 4 R 4 R R R 在 AIF 中 AF IF 由勾股定理得 AI 答 AI 的长是 26 2012 天门 如图 AB 是 O 的直径 AC 和 BD 是它的两条切线 CO 平分 ACD 1 求证 CD 是 O 的切线 2 若 AC 2 BC 3 求 AB 的长 考点 切线的判定与性质 勾股定理 专题 数形结合 分析 1 过 O 点作 OE CD 于点 E 通过角平分线的性质得出 OE OA 即可证得结论 2 过点 D 作 DF BC 于点 F 根据切线的性质可得出 DC 的长度 继而在 RT DFC 中利用勾股定理可得出 DF 的长 继而可得出 AB 的长度 解答 1 证明 过 O 点作 OE CD 垂足为 E AC 是切线 OA AC 用心 爱心 专心34 CO 平分 ACD OE CD OA OE CD 是 O 的切线 2 解 过 C 点作 CF BD 垂足为 E AC CD BD 都是切线 AC CE 2 BD DE 3 CD CE DE 5 CAB ABD CFB 90 四边形 ABFC 是矩形 BF AC 2 DF BD BF 1 在 Rt CDF 中 CF2 CD2 DF2 52 12 24 AB CF 2 点评 此题考查了切线的性质 角平分线的性质及勾股定理的知识 证明第一问关键是掌 握切线的判定定理 解答第二问关键是熟练切线的性质 难度一般 27 2012 苏州 如图 已知半径为 2 的 O 与直线 l 相切于点 A 点 P 是直径 AB 左侧半 圆上的动点 过点 P 作直线 l 的垂线 垂足为 C PC 与 O 交于点 D 连接 PA PB 设 PC 的长为 x 2 x 4 1 当 x 时 求弦 PA PB 的长度 2 当 x 为何值时 PD CD 的值最大 最大值是多少 考点 切线的性质 二次函数的最值 勾股定理 垂径定理 相似三角形的判定与性质 专题 计算题 用心 爱心 专心35 分析 1 由直线 l 与圆相切于点 A 且 AB 为圆的直径 根据切线的性质得到 AB 垂直于 直线 l 又 PC 垂直于直线 l 根据垂直于同一条直线的两直线平行 得到 AB 与 PC 平行 根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等 再由一对直角相等 利用 两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形 PCA 与三角形 PAB 相似 由相似得比 例 将 PC 及直径 AB 的长代入求出 PA 的长 在直角三角形 PAB 中 由 AB 及 PA 的 长 利用勾股定理即可求出 PB 的长 2 过 O 作 OE 垂直于 PD 与 PD 交于点 E 由垂径定理得到 E 为 PD 的中点 再由 三个角为直角的四边形为矩形得到 OACE 为矩形 根据矩形的对边相等 可得出 EC OA 2 用 PC EC 的长表示出 PE 根据 PD 2PE 表示出 PD 再由 PC PD 表示出 CD 代入所求的式子中 整理后得到关于 x 的二次函数 配方后根据自变量 x 的范 围 利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时 x 的取值 解答 解 1 O 与直线 l 相切于点 A 且 AB 为 O 的直径 AB l 又 PC l AB PC CPA PAB AB 是 O 的直径 APB 90 又 PC l PCA APB 90 PCA APB 即 PA2 PC AB PC AB 4 PA Rt APB 中 AB 4 PA 由勾股定理得 PB 2 过 O 作 OE PD 垂足为 E PD 是 O 的弦 OE PD PE ED 又 CEO ECA OAC 90 四边形 OACE 为矩形 CE OA 2 又 PC x PE ED PC CE x 2 CD PC PD x 2 x 2 4 x PD CD 2 x 2 4 x 2x2 12x 16 2 x 3 2 2 2 x 4 当 x 3 时 PD CD 的值最大 最大值是 2 用心 爱心 专心36 点评 此题考查了切线的性质 平行线的性质 矩形的判定与性质 垂径定理 勾股定理 相似三角形的判定与性质 以及二次函数的性质 熟练掌握性质及定理是解本题的 关键 28 2012 陕西 本题满分 8 分 如图 分别与相切于点 点在PAPB OAAB M 上 且 垂足为 PB OM APMNAP N 1 求证 OM AN 2 若的半径 求的长 OA 3R 9PAOM 答案 解 1 证明 如图 连接 则 OAOAAP MNAP MN OA OM AP 四边形是矩形 ANMO OM AN 2 连接 则 OBOBBP OA MN OA OB OM AP OB MN OMBNPM Rt OBMRt MNP OM MP 设 则 OM x 9 NPx 在中 有 Rt MNP 2 22 3 9 xx 即 5x 5OM 用心 爱心 专心37 29 2012 岳阳 如图所示 在 O 中 弦 AB 与弦 AC 交于点 A 弦 CD 与 AB 交于 点 F 连接 BC 1 求证 AC2 AB AF 2 若 O 的半径长为 2cm B 60 求图中阴影部分面积 考点 扇形面积的计算 圆心角 弧 弦的关系 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 专题 几何综合题 分析 1 由 利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等 再由一对公共角相 等 利用两对对应角相等的两三角形相似可得出 ACF 与 ABC 相似 根据相似