2010高三数学高考新题型解析精选（六）（旧人教版）

用心 爱心 专心 高考数学新题型附解析选编 六 高考数学新题型附解析选编 六 1 已知命题 平面上高考资源网一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD 所成角分别为 则 1coscos 22 若把它推广到空 间长方体中 试写出相应的命题形式 长方体 1111 DCBAABCD 中 对角线 CA1 与棱 11111 DABAAA 所成的角分别为 则 1coscoscos 222 2sinsinsin 222 或是 长方体 1111 DCBAABCD 中 对角线 CA1 与平面 DACABA 1111 所成的角分别为 则 2coscoscos 222 1sinsinsin 222 或是 长方体 CA1 中 对角面 11ACC A 与平面 1111 ADDAABBA 所成的二 面角分别为 则 1coscos 22 2 如果一个数列的各项都是实数 且从第二项开始 每一项与它前一项的平方差是相同的 常数 则称该数列为等方差数列 这个常数叫这个数列的公方差 1 设数列 n a 是公方差为 p 的等方差数列 求 n a 和 1n a 2 nnN 的关系式 2 若数列 n a 既是等方差数列 又是等差数列 证明该数列为常数列 3 设数列 n a 是首项为2 公方差为2的等方差数列 若将 12310 aaaa 这种顺 序的排列作为某种密码 求这种密码的个数 1 解 由等方差数列的定义可知 22 1nn aap 2 nnN 5 分 2 证法一 n a 是等差数列 设公差为d 则 11nnnn aaaad 又 n a 是等方差数列 2222 11nnnn aaaa 7 分 1111 nnnnnnnn aaaaaaaa 即 2 11 20 nnnn d aaaad 10 分 0d 即 n a 是常数列 11 分 证法二 n a 是等差数列 设公差为d 则 1nn aad 1 用心 爱心 专心 又 n a 是等方差数列 设公方差为 p 则 22 1nn aap 7 分 2 代入得 2 20 n ddap 1 2 3 同理有 2 1 20 n ddap 4 两式相减得 即 2 1 2 20 nn d aad 10 分 0d 即 n a 是常数列 11 分 证法三 接证法二 1 2 由 得出 若 0d 则 n a 是常数列 8 分 1 2 若 0d 则 22 n dp a d 是常数 0d 矛盾 10 分 n a 是常数列 11 分 3 依题意 22 1 2 nn aa 2 nnN 2 1 4a 2 42 1 22 n ann 22 n an 或 22 n an 13 分 即该密码的第一个数确定的方法数是1 其余每个数都有 正 或 负 两种 确定方法 当每个数确定下来时 密码就确定了 即确定密码的方法数是 9 2512 种 故 这种密码共512种 16 分 3 已知函数 1 2 log 1 f xx 当点 00 P xy 在 yf x 的图像上高考资源网移动时 点 0 0 1 2 xt QytR 在函数 yg x 的图像上高考资源网移动 1 若点 P 坐标为 1 1 点 Q 也在 yf x 的图像上高考资源网 求t的值 2 求函数 yg x 的解析式 3 当 0t 时 试探求一个函数 h x 使得 f xg xh x 在限定定义域为 0 1 时有最小值而没有最大值 用心 爱心 专心 解 1 当点P坐标为 1 1 点Q的坐标为 11 1 2 t 2 分 点Q也在 yf x 的图像上高考资源网 1 2 1log 11 2 t 即 0t 5 分 根据函数 yf x 的单调性求得 0t 请相应给分 2 设 Q x y 在 yg x 的图像上高考资源网 则 0 0 1 2 xt x yy 即 0 0 21xxt yy 8 分 而 00 P xy 在 yf x 的图像上高考资源网 010 2 log 1 yx 代入得 1 2 log 2 yg xxt 为所求 11 分 3 1 2 1 log 2 x h x xt 或 1 2 3 2 log 2 x h x xt 等 15 分 如 当 1 2 1 log 2 x h x xt 时 f xg xh x 111 222 1 log 1 log 2 log 2 x xxt xt 1 2 2 log 1 x 2 1x 在 0 1 单调递减 2 011x 故 1 2 2 log 1 0 x 即 f xg xh x 有最小值0 但没有最大值 18 分 其他答案请相应给分 参考思路 在探求 h x 时 要考虑以下因素 h x 在 0 1 上高考资源网必须有意义 否则不能参加与 f xg x 的和运算 由于 f x 和 g x 都是以 1 2为底的对数 所以 构造的函数 h x 可以是以 1 2为底的对数 这样与 f x 和 g x 进行的运算转化为真数的乘积 运算 以 1 2为底的对数是减函数 只有当真数取到最大值时 对数值才能取到最小值 为方便起见 可以考虑通过乘积消去 g x 乘积的结果可以是x的二次函数 该二次函数 的图像的对称轴应在直线 1 2 x 的左侧 否则真数会有最小值 对数就有最大值了 考虑到 该二次函数的图像与x轴已有了一个公共点 1 0 故对称轴又应该是 y 轴或在 y 轴的右 侧 否则该二次函数的值在 0 1 上高考资源网的值不能恒为正数 即若抛物线与x轴的另 一个公共点是 0 a 则1 2a 且抛物线开口向下 用心 爱心 专心 4 如图 一个计算装置有两个数据输入口 与一个运算结果输出口 当 分别 输入正整数 nm 时 输出结果记为 nmf 且计算装置运算原理如下 若 分别输入 1 则 1 1 1 f 若 输入固定的正整数 输入的正整数增大 1 则输出结果比原来增大 3 若 输入 1 输入正整数增大 1 则输出结果为原来 3 倍 试求 1 1 mf 的表达式 Nm 2 nmf 的表达式 Nnm 3 若 都输入正整数n 则输出结果 nnf 能否为 2005 若能 求出相应的n 若不能 则请说明理由 解 1 112 31 131 231 131 mm fmfmfmf 2 133131 232 31 1 nnmfnmfnmfnmf m 3 133 1 nnnf n 20057471837 7 6 f 200522082138 8 7 f nnf 输出结果不可能为2005 5 对数列 n a 规定 n a 为数列 n a 的一阶差分数列 其中 1 Nnaaa nnn 对自然数k 规定 n ka 为 n a 的k阶差分数列 其中 11 1 1 n k n k n k n k aaaa 1 已知数列 n a 的通项公式 2 Nnnnan 试判断 n a n a 2 是否为等差 或等比数列 为什么 2 若数列 n a 首项 1 1 a 且满足 2 1 2 Nnaaa n nnn 求数列 n a 的 通项公式 3 对 2 中数列 n a 是否存在等差数列 n b 使得 n n nnnn aCbCbCb 2 2 1 1 对一切自然 Nn 都成立 若存在 求数列 n b 的通项公式 用心 爱心 专心 若不存在 则请说明理由 解 1 2211 2 2 1 nnnnnaaa nnn n a 是首项为 4 公差为 2 的等差数列 222212 2 nnan n a 2 是首项为 2 公差为 0 的等差数列 也是首项为 2 公比为 1 的等比数列 2 n nnn aaa2 1 2 即 n nnnn aaaa2 11 即 n nn aa2 n nn aa22 1 1 1 a 1 2 224 a 2 3 2312 a 3 4 2432 a 猜想 1 2 n n na 证明 当 1 n 时 0 1 211 a 假设 kn 时 1 2 k k ka 1 kn 时 11 1 212222 kkkk kk kkaa 结论也成立 由 可知 1 2 n n na 3 n n nnnn aCbCbCb 2 2 1 1 即 12 2 1 1 2 nn nnnn nCbCbCb 11 1 2 1 1 1 0 1 321 2321 nn nnnn n nnnn nCCCCnnCCCC 存在等差数列 n b nbn 使得 n n nnnn aCbCbCb 2 2 1 1 对一切自然 Nn 都成立 6 对于在区间 m n 上有意义的两个函数 f x 与 g x 如果对任意 x m n 均有 f x g x 1 则称 f x 与 g x 在 m n 上是接近的 否则称 f x 与 g x 在 m n 上高考资源网是非接近的 现有两个函数 f 1 x loga x 3a 与 f 2 x loga ax 1 a 0 a 1 给定区间 a 2 a 3 用心 爱心 专心 1 若 f 1 x 与 f 2 x 在给定区间 a 2 a 3 上都有意义 求 a 的取值范围 2 讨论 f 1 x 与 f 2 x 在给定区间 a 2 a 3 上是否是接近的 解 1 要使 f 1 x 与 f 2 x 有意义 则有 ax aa ax ax 3 10 0 03 且 要使 f 1 x 与 f 2 x 在给定区间 a 2 a 3 上高考资源网有意义 等价于真数的最小值大于 0 即 10 10032 0 3 1 aa aaa aa 且 2 f 1 x 与 f 2 x 在给定区间 a 2 a 3 上高考资源网是接近的 f 1 x f 2 x 1 ax ax aa 1 log 3 log 1 loga x 3a x a 1 a x 2a 2 a2 a 1 对于任意 x a 2 a 3 恒成立 设 h x x 2a 2 a2 x a 2 a 3 且其对称轴 x 2a 2 在区间 a 2 a 3 的左边 3 1 2 1 max min ah a aha xh a xha 0 1926 5 4 69 1 44 aa a a a aa 12 579 12 579 5 4 aa a 或 12 579 0 a 当 12 579 0 a 时 f 1 x 与 f 2 x 在给定区间 a 2 a 3 上高考资源网是接近的 当 12 579 a 1 时 f 1 x 与 f 2 x 在给定区间 a 2 a 3 上高考资源网是非接 用心 爱心 专心 近的 7 已知 xf 是定义在 上高考资源网的函数 m 请给出能 使命题 若m 1 0 则 mf 1 f mf 1 f 成立的一个充分条件 已知 xf 是定义在 上高考资源网的函数 m 请给出能使 命题 若m 1 0 则 mf 1 f mf 1 f 成立的一个充分条件 答案 函数 xf 在 上高考资源网单调递增 或 xf ax b a 0 等 8 歌德巴赫 Goldbach C 德 1690 1764 曾研究过 所有形如 1 1 1 m n m n为 正整数 的分数之和 问题 为了便于表述 引入记号 11 1 1 1 nm m n 2 1 2 1 2 1 432 3 1 3 1 3 1 432 1 1 1 1 1 1 432 nnn 写出你对此问题的研究结论 11 1 1 1 nm m n 1 用数学符号表示 9 集合 P 1 3 5 7 9 2n 1 n N 若a P b P 时 a b P 则运算 可能是 D A 加法 B 除法 C 减法 D 乘法 10 min 1 s 2 s n s max 1 s 2 s n s 分别表示实数 1 s 2 s n s 中 的最小者和最大者 1 作出函数 xf x 3 2 x 1 x R 的图像 2 在求函数 xf x 3 2 x 1 x R 的最小值时 有如下结论 min xf min 3 f 1 f 4 请说明此结论成立的理由 用心 爱心 专心 3 仿照 2 中的结论 讨论当 1 a 2 a n a 为实数时 函数 xf 11 xxa 22 x