2012年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷 Ⅱ 理（浙江卷）

用心 爱心 专心1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷 数学理科 浙江卷 数学理科 浙江卷 本试卷分选择题和非选择题两部分 满分本试卷分选择题和非选择题两部分 满分 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟 分钟 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 选择题部分 共选择题部分 共 5050 分 分 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写 在试卷个答题纸规定的位置上 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 参考公式 参考公式 如果事件A B互斥 那么棱柱的体积公式 P A B P A P B V Sh 如果事件A B相互独立 那么其中S表示棱柱的底面积 h表示棱 柱的高 P A B P A P B 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p 那么n V Sh 3 1 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积 h表示棱 锥的高 Pn k C pk 1 p n k k 0 1 2 n 球的表面积公式 k n 棱台的体积公式S 4 R2 球的体积公式 2211 3 1 SSSShV 其中S1 S2分别表示棱台的上 下底面积 V R3 3 4 h表示棱台的高 其中R表示球的半径 用心 爱心 专心2 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 设 则的 2 0 x1sin1sin 2 xxxx是 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 2 已知 2 1i 则i 13i A 3i B 3i C 3i D 3i 3 设全集U是实数集 R 2 4Mx x 则图中阴影部分所表示的集合是 2 lg 43 Nx yxx A 21 xx B 2 2 xx C 1 2 xx D 2 x x 4 在某项体育比赛中 七位裁判为一选手打出的分数如下 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均值和方差分别为 A 92 2 B 92 2 8 C 93 2 D 93 2 8 5 下列函数中 最小正周期为 且图象关于直线对称的是 3 x A B sin 2 6 yxsin 23 x y C D sin 2 3 yxsin 2 6 yx 6 满足线性约束条件的目标函数的最大值是 23 23 0 0 xy xy x y zxy A 1 B C 2 D 3 3 2 第 3 题图 用心 爱心 专心3 7 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点F且斜率为 0 k k 的 直线与C相交于AB 两点 若3AFFB 则k A 1 B 2 C 3 D 2 8 一个空间四边形的四条边及对角线的长均为 二面角ABCDAC2 的DACB 余弦值为 则下列论断正确的是 1 3 A 空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为ABCD3 B 空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为ABCD4 C 空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为ABCD3 3 D 不存在这样的球使得空间四边形的四个顶点在此球面上ABCD 9 已知点在曲线上 为曲线在点处的切线的倾斜角 则的范围是P 4 1 x y e P A 0 B C D 4 4 2 3 24 3 4 10 二次函数的值域为 0 则的最小值 2 2 f xaxxc xR 11ac ca 为 A 2 B 2 C 4 D 222 2 非选择题部分 共非选择题部分 共 100100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 11 观察下列等式 2 311 1 1 222 22 31411 1 1 222 323 2 由以上等式推测到一 233 3141511 1 1 222 323 4242 个一般的结论 对于n N 2 314121 1 222 32 1 2n n n n 输出 S 结束 开始 1n 0S 50 n 2nn SSn 是 否 用心 爱心 专心4 12 在锐角 ABC中 A B C的对边分别为a b c 6cos ba C ab 则 tantan tantan CC AB 13 右边程序框图的程序执行后输出的结果是 14 已知A 1 2 B 3 4 C 2 2 D 3 5 则向量在向量 AB 上的投影为 CD 15 将 3 个完全相同的小球随机地放入编号依次为 1 2 3 4 5 的盒子里 用随机变 量 表示有球盒子编号的最大值 则的数学期望 E 16 有下列命题 若存在导函数 则 xf 2 2 xfxf 若函数 2 12 sincos 44 xfhxxxh 则 若函数 则 2100 2009 2 1 xxxxxg 2009 2010 g 若三次函数则是 有极值点 的 23 dcxbxaxxf 0 cba xf 充要条件 其中真命题的序号是 17 设向量若直线沿向量 1 1 2 3 3 ababa 的夹角为与082 yx 平移 所得直线过双曲线的右焦点 b1 22 2 2 2 y m x i ii 双曲线的离 心率e cos1 22 22 y m x 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 小题 共小题 共 7272 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本小题满分 14 分 已知函数 2 13sin22cosf xxx 1 求的最大值及取得最大值时的集合 xfx 用心 爱心 专心5 2 设的角的对边分别为 且 求的取值ABC CBA cba 1 0af A cb 范围 19 本小题满分 14 分 已知数列满足 且 n a2 1 a na an a n n n 12 1 Nn 1 求证 数列为等比数列 并求数列的通项公式 1 n a n n a 2 证明 2 321 321 n n aaaa n Nn 20 本小题满分 15 分 如图 在三棱柱中 每个侧面均为正方形 为底边的中点 111 ABCABC DAB 为E 侧棱的中点 1 CC 1 求证 平面 CD 1 AEB 2 求证 平面 1 AB 1 AEB 3 求直线与平面所成角的正弦值 1 B E 11 AAC C 21 本小题满分 15 分 已知中心在原点 焦点在轴上的椭圆的离心率为 且经过点 过点xC 1 2 3 1 2 的直线 与椭圆在第一象限相切于点 2 1 PlCM 1 求椭圆的方程 C 2 求直线 的方程以及点的坐标 lM 3 是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点 满足 P 1 lC A B 2 PA PBPM 若存在 求直线的方程 若不存在 请说明理由 1 l D B C E B1 C1 A A1 用心 爱心 专心6 22 本小题满分 14 分 已知函数 2 ln 1 0 f xaxx a 1 求的单调区间和极值 f x 2 求证 1 lglglg 4lglg 1 23 n n n n eee een n nN 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷年普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷 数学理科 浙江卷 参考答案与评分标准数学理科 浙江卷 参考答案与评分标准 说明 说明 一一 本本解解答答指指出出了了每每题题要要考考查查的的主主要要知知识识和和能能力力 并并给给出出了了一一种种或或几几种种解解法法供供参参考考 如如果果考考生生的的解解法法与与本本解解答答不不同同 可可根根据据试试题题的的主主要要考考查查内内容容比比照照评评分分参参考考制制订订相相应应的的评评分分 细细 则则 二 对计算题二 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题变该题 的内容和难度 的内容和难度 可视影响的程度决定后续部分的给分 可视影响的程度决定后续部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得但不得超过该部分正确解答应得 分数的一半 如果后续部分的解答有较分数的一半 如果后续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 选择题和填空题除四 只给整数分数 选择题和填空题除 1717 题外不给中间分 题外不给中间分 1717 题每格题每格 2 2 分 分 五 未在规定区域内答题 每错一个区域扣卷面总分五 未在规定区域内答题 每错一个区域扣卷面总分 1 1 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 5050 分 在每小题给出的四个选项中分 在每小题给出的四个选项中 只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 1 5 5 BBABDBBABD 6 6 1010 CBCDDCBCDD 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2828 分 分 用心 爱心 专心7 11 12 4 13 625 14 15 4 1 1 12nn 5 102 16 17 i 2 分 ii 2 分 10 103 3 32 1515 题详解 题详解 的可能取值为 1 2 3 4 5 则随机变量的分布列为 12345 P 1 35 3 35 6 35 10 35 15 35 故 1361015 123454 3535353535 E 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共5 5小题 共小题 共7272分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本小题满分 14 分 解 1 2 分22sin32coscos22sin31 2 xxxxxf 2 3 2cos 2 x 4 分 故的最大值为 xf4 5 分 当 下略 时取最大值 kx2 3 2 Zk 的集合为 x Zkkxx 6 7 分 2 由得 0 Af 0 2 3 2cos 2 A kA2 3 2 又 故 A0 3 A 9 分 求求的取值范围解法一 的取值范围解法一 cb 由正弦定理 sin 3 2 sin 3 2 sin sin CcBB A a b 用心 爱心 专心8 10 分 Ks 5uKs 5uKs 5u 3 2 sin sin 3 2 sinsin 3 2 BBCBcb 6 sin 2 B 12 分 3 A 2 0 3 B 6 5 66 B 1 sin 1 62 B 的取值范围为 cb 2 1 14 分 求求的取值范围解法二 的取值范围解法二 cb 余弦定理 222 2cosabcbcA 10 分 22 1bcbc 22 1 31 3 2 bc bcbc Ks 5uKs 5uKs 5u 2bc 13 分 又 即的取值范围为 1 cbcb 2 1 14 分 19 本小题满分 14 分 解 1 由题得 an 1 an n 2 n 1 an 即 nnnn annaaa 1 2 11 故 即数列为等比数列 3 分11 1 2 1 nn a n a n 1 n a n 7 分 nn n a n 2 1 2 1 2 1 1 1 12 n n n na 2 由上知 8 分 12 1 1 n n n a 1210 321 2 1 2 1 2 1 2 1 321 n n n n aaaa 用心 爱心 专心9 14 分 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 n n n n n 20 本小题满分 15 分 解法一解法一 证明 1 设的交点为O 连接 连接 11 ABAB和EOOD 因为为的中点 为的中点 O 1 ABDAB 所以 且 又是中点 OD 1 BB 1 1 2 ODBB E 1 CC 所以 且 EC 1 BB 1 1 2 ECBB 所以 且 ECODECOD 所以 四边形为平行四边形 所以 ECODEOCD 又平面 平面 则 平面 5 分CD 1 ABEEO 1 ABECD 1 ABE 2 因为三棱柱各侧面都是正方形 所以 1 BBAB 1 BBBC 所以平面 1 BB ABC 因为平面 所以 由已知得 所以CD ABC 1 BBCD ABBCAC CDAB 所以平面 CD 11 A ABB 由 1 可知 所以平面 所以 EOCDEO 11 A ABBEO 1 AB 因为侧面是正方形 所以 11 ABAB 又 平面 平面 1 EOABO EO 1 AEB 1 AB 1 AEB 所以平面 1 AB 1 ABE 10 分 3 解 取中点 连接 11 ACF 1 B F EF F B C E B1 C1 A A1 O B C E B1 C1 A A1 D 用心 爱心 专心10 在三棱柱中 因为平面 111 ABCABC 1 BB ABC 所以侧面底面 11 ACC A 111 ABC 因为底面是正三角形 且是中点 111 ABCF 11 AC 所以 所以侧面 111 B FAC 1 B F 11 ACC A 所以是在平面上的射影 所以是与平面所成角 EF 1 B E 11 ACC A 1 FEB 1 B E 11 AAC C 15 分 1 1 1 15 sin 5 B F BE F B E 解法二解法二 如图所示 建立空间直角坐标系 设边长为 2 可求得 0 0 0 A 0 2 0 C 1 0 2 2 C 1 0 0 2 A 3 1 0 B 1 3 1 2 B 0 2 1 E 3 1 0 22 D 3 1 1 22 O 1 易得 33 0 22 CD 33 0 22 EO 所以 所以 CDEO EOCD 又平面 平面 则 平面 5 分CD 1 ABEEO 1 ABECD 1 ABE 2 易得 1 3 1 2 AB 1 3 1 2 AB 1 0 2 1 AE 所以 1 111 0 0ABABABAE 所以 1111 ABABABAE 又因为 111 ABAE A 111 AB AEABE 平面 所以平面 10 分 1 AB 1 ABE 3 设侧面的法向量为 11 AAC C x y z n 因为 0 0 0 A 0 2 0 C 1 0 2 2 C 1 0 0 2 A 所以 1 0 2 0 0 2 2 ACAC 1 3 1 1 B E D O O x y z B C E B1 C1 A A1 用心 爱心 专心11 由 得解得 1 0 0 AC AC n n 0 0 y yz 0 0 y x 不妨令 设直线与平面所成角为 1 0 0 n 1 B E 11 AAC C 所以 1 1 1 315 sincos 55 B E B E B E n n n 所以直线与平面所成角的正弦值为 15 分 1 B E 11 AAC C 15 5 21 本小题满分 15 分 解 1 设椭圆的方程为 由题意得C 22 22 1 0 xy ab ab 22 222 19 1 4 1 2 ab c a abc 解得 故椭圆的方程为 4 分 2 4a 2 3b C 22 1 43 xy 2 因为过点的直线 与椭圆在第一象限相切 所以 的斜率存在 2 1 Pll 故可设直线 的方程为 l 2 1yk x 由得 22 1 43 2 1 xy yk x 222 34 8 21 161680kxkkxkk 因为直线 与椭圆相切 所以 l 222 8 21 4 34 16168 0kkkkk 整理 得 解得 32 63 0k 1 2 k 所以直线 方程为 l 11 2 12 22 yxx 将代入 式 可以解得点横坐标为 1 故切点坐标为 9 分 1 2 k MM 3 1 2 3 若存在直线满足条件 设直线的方程为 1 l 1 l 1 2 1yk x 代入椭圆的方程得 C 222 11111 34 8 21 161680kxkkxkk 用心 爱心 专心12 直线与椭圆相交于不同的两点 设两点的坐标分别为 1 lC A B A B 1122 x yxy 所以 222 111111 8 21 4 34 16168 32 63 0kkkkkk 所以 1 1 2 k 又 11 12 2 1 8 21 34 kk xx k 2 11 12 2 1 16168 34 kk x x k 因为 即 2 PA P