2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷解析版）

20122012 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 湖南卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 湖南卷 解析版 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 设集合 M 1 0 1 N x x2 x 则 M N A 0 B 0 1 C 1 1 D 1 0 0 答案 B 解析 M 1 0 1 M N 0 1 0 1N 点评 本题考查了集合的基本运算 较简单 易得分 先求出 再利用交集定义得出 M N 0 1N 2 命题 若 则 tan 1 的逆否命题是 4 A 若 则 tan 1 B 若 则 tan 1 4 4 C 若 tan 1 则 D 若 tan 1 则 4 4 答案 C 解析 因为 若 则 的逆否命题为 若 则 所以 若 则pqp q 4 tan 1 的逆否命题是 若 tan 1 则 4 点评 本题考查了 若 p 则 q 形式的命题的逆命题 否命题与逆否命题 考查分析问 题的能力 3 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示 则该几何体的俯视图不可能是 答案 D 解析 本题是组合体的三视图问题 由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知 原图下 面图为圆柱或直四棱柱 上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱 都可能 是该几何体的俯视图 不可能是该几何体的俯视图 因为它的正视图上面应为如图的矩形 点评 本题主要考查空间几何体的三视图 考查空间想象能力 是近年高考中的热点题型 4 设某大学的女生体重 y 单位 kg 与身高 x 单位 cm 具有线性相关关系 根据一组 样本数据 xi yi i 1 2 n 用最小二乘法建立的回归方程为 0 85x 85 71 则 y 下列结论中不正确的是 A y 与 x 具有正的线性相关关系 B 回归直线过样本点的中心 xy C 若该大学某女生身高增加 1cm 则其体重约增加 0 85kg D 若该大学某女生身高为 170cm 则可断定其体重比为 58 79kg 答案 D 解析 解析 由回归方程为 0 85x 85 71 知随的增大而增大 所以 y 与 x 具有正 yyx 的线性相关关系 由最小二乘法建立的回归方程得过程知 所以回归直线过样本点的中心 利用回归 ybxabxybx aybx xy 方程可以预测估计总体 所以 D 不正确 点评 本题组要考查两个变量间的相关性 最小二乘法及正相关 负相关的概念 并且是 找不正确的答案 易错 5 已知双曲线 C 1 的焦距为 10 点 P 2 1 在 C 的渐近线上 则 C 的方程 2 2 x a 2 2 y b 为 A 1 B 1 C 1 D 1 答案 A 2 20 x 2 5 y 2 5 x 2 20 y 2 80 x 2 20 y 2 20 x 2 80 y 解析 设双曲线 C 1 的半焦距为 则 2 2 x a 2 2 y b c210 5cc 又C 的渐近线为 点 P 2 1 在 C 的渐近线上 即 b yx a 12 b a A2ab 又 C 的方程为 1 222 cab 2 5 5ab 2 20 x 2 5 y 点评 本题考查双曲线的方程 双曲线的渐近线方程等基础知识 考查了数形结合的思想 和基本运算能力 是近年来常考题型 6 函数 f x sinx cos x 的值域为 6 A 2 2 B C 1 1 D 33 3 2 3 2 答案 B 解析 f x sinx cos x 6 31 sincossin3sin 226 xxxx 值域为 sin 1 1 6 x f x 33 点评 利用三角恒等变换把化成的形式 利用 f xsin Ax sin 1 1x 求得的值域 f x 7 在 ABC 中 AB 2 AC 3 1 则 AB BC A BC A B C D 372 223 答案 A 解析 由下图知 AB BC A cos 2 cos 1AB BCBBCB 又由余弦定理知 解得 1 cos 2 B BC 222 cos 2 ABBCAC B AB BC 3BC A B C 点评 本题考查平面向量的数量积运算 余弦定理等知识 考查运算能力 考查数形结合 思想 等价转化思想等数学思想方法 需要注意的夹角为的外角 AB BC B 8 已知两条直线 y m 和 y m 0 与函数的图像从左至右 1 l 2 l 8 21m 1 l 2 logyx 相交于点 A B 与函数的图像从左至右相交于 C D 记线段 AC 和 BD 在 X 轴 2 l 2 logyx 上的投影长度分别为 a b 当 m 变化时 的最小值为 b a A B C D 16 28 28 44 4 答案 B 解析 在同一坐标系中作出 y m y m 0 图像如下图 8 21m 2 logyx 由 m 得 得 2 log x 12 2 2 mm xx 2 log x 8 21m 8 21 8 21 34 2 2 m m xx 依照题意得 8 21 8 21 8 21 8 21 22 22 22 22 m m m mm m m m b ab a 8 21 8 21 2 22 m m m m 814111 43 1 212222 2 mm m m min 8 2 b a x 8 21 y m 2 logyx ym 1 O AB C D 点评 在同一坐标系中作出 y m y m 0 图像 结合图像可解得 8 21m 2 logyx 二 填空题 本大题共 8 小题 考生作答 7 小题 每小题 5 分 共 35 分 把答案填在答 题卡中对应题号后的横线上 一 选做题 请考生在第 9 10 11 三题中任选两题作答 如果全做 则按前两题记分 9 在直角坐标系 xOy 中 已知曲线 t 为参数 与曲线 1 C 1 1 2 xt yt 2 C sin 3cos xa y 为参数 有一个公共点在 X 轴上 则 0a a 答案 3 2 解析 曲线 直角坐标方程为 与轴交点为 1 C 1 1 2 xt yt 32yx x 3 0 2 曲线 直角坐标方程为 其与轴交点为 2 C sin 3cos xa y 22 2 1 9 xy a x 0 0 aa 由 曲线与曲线有一个公共点在 X 轴上 知 0a 1 C 2 C 3 2 a 点评 本题考查直线的参数方程 椭圆的参数方程 考查等价转化的思想方法等 曲线 与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程 找出与轴交点 即可求得 1 C 2 Cx 10 不等式 2x 1 2 x 1 0 的解集为 答案 1 4 x x 解析 令 则由得的解集 2121f xxx f x 1 3 2 1 41 1 2 3 1 x xx x f x0 为 1 4 x x 点评 绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值 转化为代数不等式 组 11 如图 2 过点 P 的直线与圆 O 相交于 A B 两点 若 PA 1 AB 2 PO 3 则圆 O 的半径等 于 A B P O 答案 6 解析 设交圆 O 于 C D 如图 设圆的半径为 R 由割线定理知PO 1 12 3 3 6 PA PBPC PDrrr 即 A B P O C D A 点评 本题考查切割线定理 考查数形结合思想 由切割线定理知 PA PBPC PD 从而求得圆的半径 二 必做题 12 16 题 12 已知复数 i 为虚数单位 则 z 2 3 zi 答案 10 解析 2 3 zi 2 9686iii 22 8610z 点评 本题考查复数的运算 复数的模 把复数化成标准的形式 利用 abi a bR 求得 22 zab 13 6的二项展开式中的常数项为 用数字作答 2 x 1 x 答案 160 解析 6的展开式项公式是 2 x 1 x 663 166 1 C 2 C 2 1 rrrrrrr r Txx x 由题意知 所以二项展开式中的常数项为 30 3rr 333 46 C 2 1 160T 点评 本题主要考察二项式定理 写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法 14 如果执行如图 3 所示的程序框图 输入 n 3 则输出的数S 1x 答案 4 解析 输入 n 3 执行过程如下 1x 2 6233iS 所以输出的是 1 3 1 1 15iS 0 5 1 0 14iS 4 点评 本题考查算法流程图 要明白循环结构中的内容 一般解法是逐步执行 一步步将 执行结果写出 特别是程序框图的执行次数不能出错 15 函数 f x sin 的导函数的部分图像如图 4 所示 其中 P 为图像x yfx 与 y 轴的交点 A C 为图像与 x 轴的两个交点 B 为图像的最低点 1 若 点 P 的坐标为 0 则 6 3 3 2 2 若在曲线段与 x 轴所围成的区域内随机取一点 则该点在 ABC 内的概率为 A ABC 答案 1 3 2 4 解析 1 当 点 P 的坐标为 0 时 yfx cos x 6 3 3 2 3 3 cos 3 62 2 由图知 设的横坐标分别为 2 22 T AC 1 22 ABC SAC A A B a b 设曲线段与 x 轴所围成的区域的面积为则 A ABCS 由几何概型知该点在 ABC 内 sin sin 2 b b a a Sfx dxf xab 的概率为 2 24 ABC S P S A 点评 本题考查三角函数的图像与性质 几何概型等 1 利用点 P 在图像上求 2 几何概型 求出三角形面积及曲边形面积 代入公式即得 16 设N 2n n N n 2 将 N 个数 x1 x2 xN依次放入编号为 1 2 N 的 N 个位置 得到排列 P0 x1x2 xN 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出 并按原顺序依次放入 对应的前和后个位置 得到排列 P1 x1x3 xN 1x2x4 xN 将此操作称为 C 变换 将 P1 2 N 2 N 分成两段 每段个数 并对每段作 C 变换 得到 当 2 i n 2 时 将 Pi分成 2i段 2 N 2 p 每段个数 并对每段 C 变换 得到 Pi 1 例如 当 N 8 时 P2 x1x5x3x7x2x6x4x8 此时 x7 2i N 位于 P2中的第 4 个位置 1 当 N 16 时 x7位于 P2中的第 个位置 2 当 N 2n n 8 时 x173位于 P4中的第 个位置 答案 1 6 2 4 3 211 n 解析 1 当 N 16 时 可设为 012345616 Px x x x x xx 1 2 3 4 5 6 16 即为 113571524616 Px x x xx x x xx 1 3 5 7 9 2 4 6 8 16 即 x7位于 P2中的第 6 2159133711 152616 Px x x x x x x x x xx 1 5 9 13 3 7 11 15 2 6 16 个位置 2 方法同 1 归纳推理知 x173位于 P4中的第个位置 4 3 211 n 点评 本题考查在新环境下的创新意识 考查运算能力 考查创造性解决问题的能力 需要在学习中培养自己动脑的习惯 才可顺利解决此类问题 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据 如下表所示 一次购物量1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以 上 顾客数 人 x 3025 y 10 结算时间 分 钟 人 11 522 53 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55 确定 x y 的值 并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望 若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算 且各顾客的结算相互独立 求该顾 客结算前的等候时间不超过 2 5 分钟的概率 注 将频率视为概率 解析 1 由已知 得所以251055 35 yxy 15 20 xy 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所以收集的 100 位顾客一次购物的结算 时间可视为总体的一个容量随机样本 将频率视为概率得 153303251 1 1 5 2 10020100101004 p Xp Xp X 201101 2 5 3 100510010 p Xp X 的分布为X X11 522 53 P 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 X 的数学期望为 33111 11 522 531 9 20104510 E X 记 A 为事件 该顾客结算前的等候时间不超过 2 5 分钟 为该顾客前面 1 2 i X i 第 位顾客的结算时间 则i 121212 11 11 5 1 51 P AP XXP XXP XX 且且且 由于顾客的结算相互独立 且的分布列都与 X 的分布列相同 所以 12 XX 121212 1 1 1 1 5 1 5 1 P AP XP XP XP XP XP X 3333339 20202010102080 故该顾客结算前的等候时间不超过 2 5 分钟的概率为 9 80 点评 本题考查概率统计的基础知识 考查分布列及数学期望的计算 考查运算能力 分 析问题能力 第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55 知 从而解得 计算每一个变量对应的概率 从而求得2510100 55 35 yxy x y 分布列和期望 第二问 通过设事件 判断事件之间互斥关系 从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2 5 分钟的概率 18 本小题满分 12 分 如图 5 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD AB 4 BC 3 AD 5 DAB ABC 90 E 是 CD 的中点 证明 CD 平面 PAE 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等 求四棱锥 P ABCD 的 体积 解析 解法 1 如图 1 连接 AC 由 AB 4 3BC 905 ABCAC 得 是 的中点 所以5 AD 又 CDAE 所以 PAABCD CDABCD 平面平面 PACD 而内的两条相交直线 所以 CD 平面 PAE PA AE是平面PAE 过点 作 BGCDAE ADF GPF 分别与相交于连接 由 CD 平面 PAE 知 平面 PAE 于是为直线 与平面 PAEBPF 所成的角 且 BGAE 由知 为直线与平面所成的角 PAABCD 平面PBA PBABCD 由题意 知4 2 ABAGBGAF PBABPF 因为所以sin sin PABF PBABPF PBPB PABF 由所以四边形是平行四边形 故90 DABABCADBCBGCD 知 又 BCDG 于是3 GDBC 2 AG 在中 所以Rt BAG4 2 ABAGBGAF 2 22 168 5 2 5 52 5 AB BGABAGBF BG 于是 8 5 5 PABF 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为ABCD 1 53 416 2 S PABCD 118 5128 5 16 33515 VSPA 解法 2 如图 2 以 A 为坐标原点 所在直线分别为建立空 AB AD APxyz轴 轴 轴 间直角坐标系 设则相关的各点坐标为 PAh 4 0 0 4 0 0 4 3 0 0 5 0 2 4 0 0 0 ABCDEPh 易知因为 4 2 0 2 4 0 0 0 CDAEAPh 所以而是平面内8800 0 CD AECD AP CDAE CDAP AP AEPAE 的两条相交直线 所以 CDPAE 平面 由题设和 知 分别是 的法向量 而 PB 与 CD AP PAE平面ABCD平面 所成的角和 PB 与所成的角相等 所以PAE平面ABCD平面 cos cos CD PBPA PB CD PBPA PB CDPBPAPB 即 由 知 由故 4 2 0 0 0 CDAPh 4 0 PBh 2 2 2 160000 16 2 516 h hh h 解得 8 5 5 h 又梯形 ABCD 的面积为 所以四棱锥的体积为 1 53 416 2 S PABCD 118 5128 5 16 33515 VSPA 点评 本题考查空间线面垂直关系的证明 考查空间角的应用 及几何体体积计算 第一 问只要证明即可 第二问算出梯形的面积和棱锥的高 由算得体PACD 1 3 VSPA 积 或者建立空间直角坐标系 求得高几体积 19 本小题满分 12 分 已知数列 an 的各项均为正数 记A n a1 a2 an B n a2 a3 an 1 C n a3 a4 an 2 n 1 2 1 若a1 1 a2 5 且对任意n N 三个数A n B n C n 组成等差数列 求 数列 an 的通项公式 2 证明 数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是 对任意 三个Nn 数A n B n C n 组成公比为q的等比数列 解析 解 对任意 三个数是等差数列 所以Nn A n B n C n B nA nC nB n 即亦即 112 nn aaa 2121 4 nn aaaa 故数列是首项为 公差为 的等差数列 于是 n a1 1 443 n ann 必要性 若数列是公比为 的等比数列 则对任意 有 n aNn 由知 均大于 于是 1 nnq aa 0 n a A n B n C n 12 231 1212 n n nn q aaa aaaB n q A naaaaaa 231 342 231231 n n nn q aaa aaaC n q B naaaaaa 即 所以三个数组成公比为的等比数列 B n A n C n B n q A n B n C nq 充分性 若对于任意 三个数组成公比为的等比数列 Nn A n B n C nq 则 B nqA n C nqB n 于是得即 C nB nq B nA n 2211 nn aaq aa 2121 nn aqaaa 由有即 从而 1n 1 1 BqA 21 aqa 21 0 nn aqa 因为 所以 故数列是首项为 公比为的等比数列 0 n a 22 11 n n aa q aa n a 1 aq 综上所述 数列是公比为的等比数列的充分必要条件是 对任意 n N 三个数 n aq 组成公比为的等比数列 A n B n C nq 点评 本题考查等差数列 等比数列的定义 性质及充要条件的证明 第一问由等差数列 定义可得 第二问要从充分性 必要性两方面来证明 利用等比数列的定义及性质易得证 20 本小题满分 13 分 某企业接到生产 3000 台某产品的 A B 三种部件的订单 每台产品需要这三种部件的数 量分别为 单位 件 已知每个工人每天可生产 部件 件 或 部件 件 或 部件 件 该企业计划安排 名工人分成三组分别生产这三种部件 生产 部件的人 数与生产 部件的人数成正比 比例系数为 k k 为正整数 设生产 部件的人数为 分别写出完成 三种部件生产需要的时间 假设这三种部件的生产同时开工 试确定正整数 k 的值 使完成订单任务的时间最短 并给出时间最短时具体的人数分组方案 解析 解 设完成 A B C 三种部件的生产任务需要的时间 单位 天 分别为 由题设有 123 T x T x T x 123 2 3000100020001500 6200 1 T xT xT x xxkxk x 期中均为 1 到 200 之间的正整数 200 1 x kxk x 完成订单任务的时间为其定义域为 123 max f xT x T x T x 易知 为减函数 为增函数 注意到 200 0 1 xxxN k 12 T x T x 3 T x 于是 21 2 T xT x k 1 当时 此时2k 12 T xT x 13 10001500 max max 2003 f xT x T x xx 由函数的单调性知 当时取得最小值 解得 13 T x T x 10001500 2003xx f x 由于 400 9 x 13 400250300 4445 44 44 45 45 44 45 91113 fTfTff 而 故当时完成订单任务的时间最短 且最短时间为 44x 250 44 11 f 2 当时 由于为正整数 故 此时2k 12 T xT x k3k 易知为增函数 则 1 375 max 50 T xxT x T x x T x 13 max f xT x T x 1 max T x T x 1000375 max 50 x xx 由函数的单调性知 当时取得最小值 解得 由于 1 T x T x 1000375 50 xx x 400 11 x 1 400250250375250 3637 36 36 37 37 119111311 TT 而 此时完成订单任务的最短时间大于 250 11 3 当时 由于为正整数 故 此时2k 12 T xT x k1k 由函数的单调性知 23 2000750 max max 100 f xT x T x xx 23 T x T x 当时取得最小值 解得 类似 1 的讨论 此时 2000750 100 xx f x 800 11 x 完成订单任务的最短时间为 大于 250 9 250 11 综上所述 当时完成订单任务的时间最短 此时生产 三种部件的人数2k 分别为 44 88 68 点评 本题为函数的应用题 考查分段函数 函数单调性 最值等 考查运算能力及用数 学知识分析解决实际应用问题的能力 第一问建立函数模型 第二问利用单调性与最值来解 决 体现分类讨论思想 21 本小题满分 13 分 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的点均在 C2 x 5 2 y2 9 外 且对 C1上任意一点 M M 到 直线 x 2 的距离等于该点与圆 C2上点的距离的最小值 求曲线 C1的方程 设 P x0 y0 y0 3 为圆 C2外一点 过 P 作圆 C2的两条切线 分别与曲线 C1相交 于点 A B 和 C D 证明 当 P 在直线 x 4 上运动时 四点 A B C D 的纵坐标之积为定 值 解析 解法 1 设 M 的坐标为 由已知得 x y 22 2 5 3xxy 易知圆上的点位于直线的右侧 于是 所以 2 C2x 20 x 22 5 5xyx 化简得曲线的方程为 1 C 2 20yx 解法 2 由题设知 曲线上任意一点 M 到圆心的距离等于它到直线的距 1 C 2 C 5 0 5x 离 因此 曲线是以为焦点 直线为准线的抛物线 故其方程为 1 C 5 0 5x 2 20yx 当点 P 在直线上运动时 P 的坐标为 又 则过 P 且与圆4x 0 4 y 0 3y 相切得直线的斜率存在且不为 0 每条切线都与抛物线有两个交点 切线方程为 2 Ck 于是 0 4 yyk x 0 即kx y y 4k 0 0 2 54 3 1 kyk k 整理得 22 00 721890 ky ky 设过 P 所作的两条切线的斜率分别为 则是方程 的两个实根 故 PA PC 12 k k 12 k k 00 12 18 724 yy kk 由得 101 2 40 20 k xyyk yx 2 101 2020 4 0 k yyyk 设四点 A B C D 的纵坐标分别为 则是方程 的两个实根 所以 1234 y yyy 01 12 1 20 4 yk yy k 同理可得 02 34 2 20 4 yk yy k 于是由 三式得 0102 1234 12 400 4 4 ykyk y y y y k k 2 012012 12 4004 16ykkyk k k k 22 0012 12 40016 6400 yyk k k k 所以 当 P 在直线上运动时 四点 A B C D 的纵坐标之积为定值 6400 4x 点评 本题考查曲线与方程 直线与曲线的位置关系 考查运算能力 考查数形结合思想 函数与方程思想等数学思想方法 第一问用直接法或定义法求出曲线的方程 第二问设出切 线方程 把直线与曲线方程联立 由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐 A B C D 标之积为定值 体现 设而不求 思想 22 本小题满分 13 分 已知函数 其中a 0 f x ax ex 1 若对一切 x R 1 恒成立 求a的取值集合 f x 2 在函数的图像上取定两点 记直线AB的斜 f x 11 A xf x 22