2012年高考数学 备考冲刺之易错点点睛系列 专题02 三角函数（学生版）VIP

用心 爱心 专心1 三角函数三角函数 一 高考预测一 高考预测 该专题是高考重点考查的部分 从最近几年考查的情况看 主要考查三角函数的图象 和性质 三角函数式的化简与求值 正余弦定理解三角形 三角形中的三角恒等变换以及 三角函数 解三角形和平面向量在立体几何 解析几何等问题中的应用 该部分在试卷中 一般是 2 3 个选择题或者填空题 一个解答题 选择题在于有针对性地考查本专题的重要 知识点 如三角函数性质 平面向量的数量积等 解答题一般有三个命题方向 一是以考 查三角函数的图象和性质为主 二是把解三角形与三角函数的性质 三角恒等变换交汇 三是考查解三角形或者解三角形在实际问题中的应用 由于该专题是高中数学的基础知识 和工具性知识 在试题的难度上不大 一般都是中等难度或者较为容易的试题 从近几年 全国各地的高考试题来看 三角函数这部分的试题有以下特点 1 考小题 重在基础运用 二 知识导学二 知识导学 要点要点 1 1 三角函数的概念 同角诱导公式的简单应用 三角函数的概念 同角诱导公式的简单应用 1 1 三角函数的定义是求三角函数值的基本依据 如果已知角终边上的点 则利用三角函数 的定义 可求该角的正弦 余弦 正切值 2 2 同角三角函数间的关系 诱导公式在三角函 数式的化简中起着举足轻重的作用 应注意正确选择公式 注意公式应用的条件 要点要点 2 2 函数函数 y Asin x y Asin x 的解析式 图象问题的解析式 图象问题 频率是 相位是 初相是 其图象的对称轴是直线 2 T 2 f x 凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心 2 Zkkx By 4 由y sinx的图象变换出y sin x 的图象一般有两个途径 只有区别开这两个 用心 爱心 专心2 途径 才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时 提倡先平移后伸缩 但先伸缩 后平移也经常出现 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头无论哪种变形 请切记每一个变换总是对字母 x而言 即图象变换要看 变量 起多大变化 而不是 角变化 多少 途径一 先平移变换再周期变换 伸缩变换 先将y sinx的图象向左 0 或向右 0 平移 个单位 再将图象上各点的横坐标变为原来的倍 0 便得 1 y sin x 的图象 途径二 先周期变换 伸缩变换 再平移变换 先将y sinx的图象上各点的横坐标变为原 来的倍 0 再沿x轴向左 0 或向右 0 平移个单位 便得 1 y sin x 的图象 要点要点 3 3 与三角函数的性质有关的问题 与三角函数的性质有关的问题 1 正弦函数 余弦函数 正切函数的图像 2 三角函数的单调区间 的递增区间是 xysin 2 2 2 2 kk Zk 递减区间是 2 3 2 2 2 kk Zk 的递增区间是 递减区间是 xycos kk22 Zk kk22 Zk 的递增区间是 xytan 22 kk Zk 3 对称轴与对称中心 的对称轴为 对称中心为 sinyx 2 xk 0 kkZ 用心 爱心 专心3 的对称轴为 对称中心为 对于和cosyx xk 0 2 k sin yAx 的形式 在利用周期公式 另外还有图像法和定义法 cos yAx 要点要点 4 4 三角变换及求值 三角变换及求值 1 两角和与差的三角函数 sincoscossin sin sinsincoscos cos tantan tan 1tantan 2 二倍角公式 cossin22sin 2222 sin211cos2sincos2cos 2 2tan tan2 1tan 3 三角函数式的化简 4 三角函数的求值类型有三类 1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 要观察所给角与特殊角间的关系 利用 三角变换消去非特殊角 转化为求特殊角的三角函数值问题 2 给值求值 给出某些角的三角函数式的值 求另外一些角的三角函数值 解题的关键 在于 变角 如等 把所求角用含已知角的式2 子表示 求解时要注意角的范围的讨论 3 给值求角 实质上转化为 给值求值 问题 由所得的所求角的函数值结合所求角的 范围及函数的单调性求得角 要点要点 5 5 正 余弦定理的应用 正 余弦定理的应用 1 直角三角形中各元素间的关系 如图 在 ABC中 C 90 AB c AC b BC a 用心 爱心 专心4 1 三边之间的关系 a2 b2 c2 勾股定理 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 锐角三角函数定义 sinA cosB cosA sinB tanA c a c b b a 2 斜三角形中各元素间的关系 如图 6 29 在 ABC中 A B C为其内 角 a b c分别表示A B C的对边 1 三角形内角和 A B C 2 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 R为外接圆半径 R C c B b A a 2 sinsinsin 3 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两倍 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 在三角形中考查三角函数式变换 是近几年高考的热点 它是在新的载体上进行的三角变 换 因此要时刻注意它重要性 一是作为三角形问题 它必然要用到三角形的内角和定理 正 余弦定理及有关三角形的性质 及时进行边角转化 有利于发现解决问题的思路 其 二 它毕竟是三角形变换 只是角的范围受到了限制 因此常见的三角变换方法和原则都 是适用的 注意 三统一 即 统一角 统一函数 统一结构 是使问题获得解决的突 破口 要点要点 6 6 三角函数的实际应用 三角函数的实际应用 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换 除了应用上述公式和上述变换方法外 还要注 用心 爱心 专心5 意三角形自身的特点 1 角的变换 因为在 ABC 中 A B C 所以 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC 2 三角形边 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin CBACBA 角关系定理及面积公式 正弦定理 余弦定理 r 为三角形内切 圆半径 p 为周长之半 3 在 ABC 中 熟记并会证明 A B C 成等差数列的充 分必要条件是 B 60 ABC 是正三角形的充分必要条件是 A B C 成等差数列且 a b c 成等比数列 在解三角形时 三角形内角的正弦值一定为正 但该角不一定是锐角 也可能为钝角 或 直角 这往往造成有两解 应注意分类讨论 但三角形内角的余弦为正 该角一定为锐角 且有惟一解 因此 在解三角形中 若有求角问题 应尽量避免求正弦值 要点要点 7 7 向量与三角函数的综合 向量与三角函数的综合 三 易错点点睛三 易错点点睛 命题角度 1 三角函数的图象和性质 1 函数 sinx 2 sinx x 0 2 的图像与直线 y k 有且仅有两个不同的交点 f x 则众的取值范围是 考场错解考场错解 2 sin 0 sin3 xx xx 的值域为 0 3 与 y k 有交点 f x f x f x k 0 3 用心 爱心 专心6 A 横坐标缩短到原来的 2 1 倍 纵坐标不变 再向左平行移动 8 个单位长度 考场错解考场错解 将函数 y 2sin 2x 4 的所有点的横坐标缩短到原来的 2 1 倍 得函数 y 2sin x 4 的图像 再向右平行移动子个单位长度后得函数 y 2sin x 2 2 cosx 专家把脉专家把脉 选 B 有两处错误 一是若将函数 2sin 2x 4 横坐标缩短到原来 f x 的 2 1 倍 纵坐标标不变 所得函数 y sin 4x 4 而不是 2sin x 4 f x f x 二是将函数 y f x 对症下药对症下药 选 C 将函数 y 2sin 2x 4 图像上所有的点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 得函数 y 2sin x 4 的图像 再向左平行移动子个单位长度后便得 y 2sin x 4 4 2 cosx 的图像 故选 C 3 设函数 sin 2x 0 y 图像的一条对称轴是直线 x 8 1 求 f x f x 用心 爱心 专心7 2 求函数 y 的单调增区间 3 画出函数 y 在区间 0 上的图像 f x f x 考场错解考场错解 1 x 8 是函数 y 的图像的对称轴 sin 2 8 1 4 f x k 2 k 专家把脉专家把脉 以上解答错在第 2 小题求函数单调区间时 令 2 24 3 2 kkx处 因若把 4 3 2 x看成一个整体 u 则 y sinu 的周期为 2 故应令 4 3 2 x 2 2 2 2Zkkk 解得的 x 范围才是原函数的递增区间 解得所以函数 y sin 2x 4 3 的单调递增区间为 5 88 kxkkZ 8 5 2 1 82 1 Zkkk 3 由 4 3 2sin xy知 x0 8 8 3 8 5 8 7 y 2 2 1010 2 2 故函数 y f x 在区间 0 上图像是 5 求函数的最小正周期和最小值 并写出该函数在上 44 sin2 3sin coscosyxxxx 0 的单调递增区间 用心 爱心 专心8 考场错解考场错解 xxxxy 44 coscossin32sin 2222 sincos sincos xxxx 对症下药对症下药 函数 y sin4x 3sinxcosx cos4x sin2x cos2x sin2x cos2x 2sin2x 3sin2x cos2x 2sin 2x 6 故该函数的最小正周期是 当 2x 6 2k 2 时 即 x k 6 时 y 有最小值 令 2k 2 2x 6 2k 2 k Z 解得 k 6 x k 6 k Z 令 K 0 时 6 x 3 又 0 x 0 x 3 K 1 时 6 5 x 4 3 又 0 x 命题角度 2 三角函数的恒等变形 1 设 为第四象限的角 若 5 13 sin 3sin 则 tan2 考场错解考场错解 填 4 3 5 13 cos22cos sin 2sincoscossin sin 2sin sin 3sin 2 用心 爱心 专心9 4 3 2tan 5 4 5 3 2cos 2sin 2tan 5 3 5 4 1212sin 5 4 2cos 5 8 2cos2 22 cof 考场错解考场错解 1 由 sinx cosx 5 1 平方得 sin2x 2sinxcosx cos2x 5 1 2 即 2sinxcosx 25 24 专家把脉专家把脉 以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误 即由 x x x x x x sin cos cos sin 1sin 2 sin2 2 sinxcosx 2 sinx cosx 变形时认为 2sin2 1 cosx 用错了公式 因 为 2sin2 1 cosx 因此原式化简结果是错误的 对症下药对症下药 解法 1 1 由 sinx cosx 5 1 平方得 sin2x 2sinxcosx cos2x 25 1 即 用心 爱心 专心10 2sinxcosx 25 24 sinx cosx 2 1 2sinxcosx 1 25 49 25 24 又 2 x 0 sinx0 sinx cosx 0 sinx cosx 5 7 2 解法 2 1 联立方程 1cossin 5 1 cossin 22 22 xx xx 由 得 slnx 5 1 cosx 将其代入 整理得 25cos2x 5cosx 12 0 cosx 5 3 或 cosx 5 4 2 x 0 5 4 cos 5 3 sin x x 故 sinx cosx 5 7 2 sinxcosx 2 cosx sinx 125 108 5 3 5 4 2 5 4 5 3 3 已知 6sin2 sin cos 2cos2 0 2 求 sin 2 3 的值 考场错解考场错解 由已知得 3sin 2cos 2sin cos 0 3sin 2cos 0 或 2sin cos 0 tan 3 2 或 tan 2 1 又 sin 2 3 sin2 cos 3 cos2 sin 3 用心 爱心 专心11 将 tan 2 1 时代入上式得 10 334 2 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1 3 2sin 2 2 2 即 10 334 3 26 5 13 6 3 2sin 或 专家把脉专家把脉 上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用 2 tan 0 tan 2 1 应舍去 因此原题只有一解 将代入上式得 sin 2 3 3 26 5 13 6 3 2 1 3 2 1 2 3 3 2 1 3 2 2 2 2 2 tan 3 专家把脉专家把脉 上面解答在三角恒等变形中 用错了两个公式 1 cos2x 2sin2x sin 2 x sinx 因为 cos2x 1 2sin2x 2cos2x 用心 爱心 专心12 1 1 cos2x 2cos2x 由诱导公式 奇变偶不变 知 sin 2 x cosx 对症下药对症下药 sin 44 1 sin 2 1 cos 2 1 2 cos 2 sin cos4 cos2 22 yx a xax xx a x x 其中角 满足 f x 2 1 1 sin a 由已知有 44 1 2 a 4 解之得 a 15 考场错解考场错解 设 S 为十字形的面积 则 S 2xy 2sin cos sin2 4 3sinx B 2x 3sinx C 2x 3sinx D 与 x 的取值有关 考场错解 选 A 设 2x 3sinx 2 3cosx 0 x0 f x f x 用心 爱心 专心13 在 0 2 上是增函数 0 即 2x 3sinx 选 A f x f x 0 f 专家把脉专家把脉 3 3 2 cosx 当 0 x 2 时 不一定恒大于 0 只有当 fx fx x arccos 2 3 2 时 才大于 0 因而原函数在 0 2 先减后增函数 因而 2x 与 3sinx 的大小不确 fx f x 定 3 设在 0 的全部极值点按从小到大的顺序 a1 a2 an 证明 f x 2 an 1 an 的全部正实根 且满足 a1 a2 a3 an 那么对于 an 1 an tanan 1 tanan 1 tanan 1 tanan tan an 1 an 由于 2 n 1 an n 1 2 n an 1 n 则 2 an 1 an0 由 式知 tan an 1 an 0 由此可知 an 1 an必在第二象限 用心 爱心 专心14 2 an 1 an0 是 0 的任意正实根 即 x0 tanx0 则存在一个非负整数 k 使 fx x0 2 k k 即 x0在第二或第四象限内 由 式 cosx tanx x 在第二象 fx 限或第四象限中的符号可列表如下 X 0 2 xk 0 x kx 0 K 为奇数 0 的符号 fx K 为偶 数 0 所以满足 0 的正根 x0都为 f x 的极值点 由题设条件 a1 a2 an 为方程 x fx tanx 的全部正实根且满足 a1 a2 0 且 a b a b 其中 k 0 由 a b a b 0 得 a 2 b 2 2 1 a b 0 即 3 2 11 3 0 解得 6 8511 6 8511 或 由 a b a b 得 1 即 1 综上所述实数 的取值范围是 6 8511 6 8511 1 1 3 已知 O 为 ABC 所在平面内一点且满足032 OCOBOA 则 AOB 与 AOC 的面积之比 为 A 1 B 3 2 2 3 C D 2 用心 爱心 专心16 AOB 的面积与 AOC 的面积之比为 3 2 选 B 2 不妨设 A 0 0 B 1 0 C 0 1 O x y 则由专家会诊向量的基本概念是向 量的基础 学习时应注意对向量的夹角 模等概念的理解 不要把向量与实数胡乱类比 向量的运算包括两种形式 1 向量式 2 坐标式 在学习时不要过分偏重坐标式 有些 题目用向量式来进行计算是比较方便的 那么对向量的加 减法法则 定比分点的向量式 等内容就应重点学习 在应用时不要出错 解题时应善于将向量用一组基底来表示 要会 应用向量共线的充要条件来解题 命题角度 5 平面向量与三角 数列 2 函数 y 2sin2x 的图像按向量 c m n 平移后得到 y 2sin2 x m n 的图像 即 y f x 的图像 由 1 得 f x 2sin2 x 1 12 2 1 6 nmm y f x 的图像 由 1 得 f x 2sin2 1 12 x 1 12 2 nmm 2 已知 i j 分别为 x 轴 y 轴正方向上的单位向量 2 2 5 1121 NnnAAAAjOAjOA mnnn 1 求 2 87 的坐标和求 nn OBOAAA 考场错解 1 由已知有 2 1 2 1 1111 nnnnnnnn AAAAAAAA得 用心 爱心 专心17 专家把脉 向量是一个既有方向又有大小的量 而错解中只研究大小而不管方向 把向量 与实数混为一谈 出现了很多知识性的错误 对症下药 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 21 6 657687111 AAAAAAAAAAAAAAA nnnnnnn 1n A 16 1 4 2 1 4 6 871221 jjAAjOAOAAA 又 12 12 12 12 22 1 33 29 0 29 2 1 24 2 1 2 1 2 1 1 2 11 4 4 4 1211 4 1 3 21 1 1 nnOBjninjinjjBBOBOBOA jjjjjAAAAOAOAjAAjAAAA nnnn n n n n nnn n nn nn nn 的坐标是同理的坐标为 知由 3 在直角坐标平面中 已知点 P1 1 2 P2 2 22 P3 3 23 Pn n 2n 其中 n 是正 整数 对平面上任一点 Ao 记 A1为 Ao关于点 P1的对称点 A2为 A1 关于点 P2的对称点 An为 An 1关于点 Pn的对称点 考场错解 第 2 问 由 1 知 2 AAo 2 4 依题意 将曲线 C 按向量 2 4 平移得 到 因此 曲线 C 是函数 y g x 的图像 其中 g x 是以 3 为周期的周期函数 且当 x 2 1 时 g x 1g x 2 4 于是 当 x 1 4 时 g x 1g x 1 4 3 12 4 3 12 2 2 2 2 12 12 1 2 2 22 3 13 1432112222 2422 nn n nnnOkkk nnOnO n n PPPPPPAAkPPAA AAAAAAAA 得由于 用心 爱心 专心18 专家会诊专家会诊 向量与三角函数 数列综合的题目 实际上是以向量为载体考查三角函数 数列的知 识 解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数 数列的问题 转化时 不要把向量与实数搞混淆 一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大 向量与数列结 合的题目 综合性强 能力要求较高 命题角度 6 平面向量与平面解析几何 1 典型例题 已知椭圆的中心在原点 离心率为 2 1 一个焦点 F m 0 m 是大于 0 的常数 1 求椭圆的方程 2 设 Q 是椭圆上的一点 且过点 F Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M 若 2 QFMQ 求 化时出现错误 依题意 2 QFMQ 应转化为QFMQ2 再分类求解 k 对症下药 1 设所求椭圆方程为 2 2 2 2 b y a x 1 a b O 由已知得 c m 2 梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上 原点 O 为 AB 的中点 AB 3 24 2 3 24 CDAC BD M 为 CD 的中点 1 求点 M 的轨迹方程 2 过 M 作 AB 的垂线 垂足为 N 若存在常数 o 使PNMP o 且 P 点到 A B 的距离和为定值 求 点 P 的轨迹 C 的方程 考场错解 第 2 问 设 P x y M xo yo 则 N 0 yo PNMPyyxPNyyxxMP oooo 又 用心 爱心 专心19 x xo ox y yo o yo y o 1 专家把脉 对PNMP o 分析不够 匆忙设坐标进行坐标运算 实际上 M N P 三点 共线 它们的纵坐标是相等的 导致后面求出 o 1 是错误的 对症下药 1 解法 1 设 M x y 则 C x 1 即 x y 1 x y 1 0 得 x2 y2 1 又 x 0 M 的轨迹方程是 x2 y2 1 x 0 解法 2 设 AC 与 BD 交于 E 连结 EM EO AC BD CED AEB 90 又 M O 分 3 ABCD 是边长为 2 的正方形纸片 以某动直线 l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻 折 使得每次翻折后点 都落在 AD 上 记为 B 折痕 l 与 AB 交于点 E 使 M 满足关系式 BEEM 1 建立适当坐标系 求点 M 的轨迹方程 2 若曲线 C 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的 对症下药 1 解法 1 以 AB 所在的直线为 y 轴 AB 的中点为坐标原点 建立如图 6 6 所示的直角坐标系 别 A 0 1 B 0 1 设 E 0 t 则由已知有 0 t 1 由 BEEB 用心 爱心 专心20 2 由 1 结合已知条件知 C 的方程是 x2 4y 2 x 2 由4 BF BA 知 F 0 2 1 设过 F 的直线的斜率为 k 则方程为 y 2 1 KX P x1 y1 Q x2 y2 由FQPF 得 x1 x2 联立直线方程和 C 得方程是 x2 4kx 2 0 由 2 x 2 知上述方程在 2 2 内有两 个解 由 次函数的图像知 4 1 4 1 k 由 x x2可得 21 1 2 21 2 1 1 xxxx 由 韦达定理得 8k2 2 2 1 2 1 2 1 解得 考场错解 1 设椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x F c 0 联立 y x c 与 1 2 2 2 2 b y a x 得 专家把脉 OBOA 与 3 1 共线 不是相等 错解中 认为OBOA 3 1 这是错 误的 共线是比例相等 用心 爱心 专心21 x y x1 y1 x2 y2 21 21 yyY xxX M x y 在椭圆上 x1 x2 23 y1 y2 2 3b2 即 2 2 1 3 2 1 yx 2 2 3 2 2 23 yx 2 x1x2 2y1y2 3b2 由 1 知 x2 x2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 3 cbcac 2 8 3 22 2222 21 c ba baca xx x1x2 3y1y2 x1 x2 3 x1 c x2 c 4x1x2 3 x1 x2 c 3c2 2 3 2 2 9 2 2 3 ccc 0 又 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 1 3 2 1 byxbyx 又 代入 得 2 2 1 故 2 2为定值 定值 为 1 1 在 ABC 中 sinA cosA 2 2 2 ACAB 3 求 tanA 的值和 ABC 的面积 sin 45 60 4 62 当 A 165 时 tanA tan 45 120 2 3 sinA sin 45 120 用心 爱心 专心22 对症下药 解法 1 sinA cosA 2 2 AAA 0 2 1 45cos 2 2 45cos 2又得 180 A 45 60 得 A 105 tanA tan 45 60 2 3 sinA sin 45 60 4 62 S ABC 26 4 3 sin 2 1 AABAC 解法 2 sinA cosA 2 1 cossin2 2 2 AA又 0 A0 cosA 0 225225 或 专家把脉 没有考虑 x 的范围 由于三角形的两边之差应小于第三边 两边之和应大于第 三边 1 x 3 对症下药 前同错解 1 x 3 x 225 应舍去 正方形的边长为225 用心 爱心 专心23 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 已知B 60 若 cos B C 求 cosC的值 若a 5 5 求 ABC的面积 11 14 AC CB 2 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c 且c