2016年5月海南省海口市中考数学综合性压轴题含详细解析

2016年海南省海口九年级数学 综合性压轴题 (第 1题图 ) 1 如图 ， 抛物线 y 12c 与 (0， 4)， 与 x 轴交于点 A， B， 且 2， 0) (1)求该抛物线的表达式 (2)若点 过点 E 交 ， 连结 求 (3)若点 点 且 求 解： (1)把点 C(0， 4)， B(2， 0)的坐标分别代入 y 12c 中 ， 得 c 4，12 22 2b c 0， 解得b 1，c 4. 该抛物线的表达式为 y 12x 4. (2)令 y 0， 即 12x 4 0， 解得 4， 2， 点 A( 4， 0)， S 1212. 设点 P 的坐标为 (x， 0)， 则 2 x. S (， 即 S (2 2， 化简 ， 得 S 13(2 x)2. S S S 12S 12 (2 x)4 13(2 x)2 1323x 83 13(x 1)2 3， 当 x 1 时 ， S . (3) 等腰三角形 ， 可能有三种情形： ( )当 ， 如解图 所示 2， 45， 90， 点 2， 2) ,(第 1题图解 ) ( )当 ， 如解图 所示 过点 N 点 N， 则点 N 为 中点 ， 1， 3， 又 等腰直角三角形 ， 3， 点 1， 3) ( )当 ， 等腰直角三角形 ， 点 O 到 距离为 22 4 2 2， 即 的点与点 O 之间的最小距离为 2 2. 2 2 2， 情况不存在 综上所述 ， 点 M 的坐标为 ( 2， 2)或 ( 1， 3) (第 2题图 ) 2 如图 ， 抛物线 y 12n与 ， 与 ， 抛物线的对称轴交 ， 已知点 A( 1， 0)， C(0， 2) (1)求抛物线的表达式 (2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P， 使 以 腰的等腰三角形？如果存在 ， 直接写出点 果不存在 ， 请说明理由 (3)点 过点 E作 ， 当点 四边形 出四边形 的坐标 解： (1) 抛物线 y 12n 经过点 A( 1， 0)， C(0， 2)， 12 m n 0，n 2，解得m 32，n 2. 抛物线的表达式为 y 1232x 2. (2) y 1232x 2， y 12 x 322 258 ， 抛物线的对称轴是直线 x 32. 32. 点 C(0， 2)， 2. 在 ， 由勾股定理 ， 得 52. 以 腰的等腰三角形 ， 如解图 ， 分别以 C， D 为圆心 ， 为半径画圆交对称轴于点 作 x 轴于 H， 2， 4. 点 32， 4 ， 32， 52 ， 32， 52 . (第 2 题图解 ) (3)当 y 0时 ， 0 1232x 2， 解得 1， 4， 点 B(4， 0) 设直线 y b， 将 B， 得 2 b，0 4k b， 解得 k 12，b 2. 直线 y 12x 2. 如解图 ， 过点 M ， 设点 E a， 12a 2 ， 则 F a， 1232a 2 ， 1232a 2 12a 2 122a(0 x 4) S 四边形 S S S 121212 12 52 2 12 122a a 12 122a（ 4 a） . 4a 52 (a 2)2 132 (0 x 4) a 2时 ， S 四边形 S 最大 132， 此时点 E(2， 1) (第 3题图 ) 3 如图所示 ， 点 重合 ， 点A在 点 B在 已知 3， 使点 记为点 D， E在 (1)在如图所示的直角坐标系中 ， 求点 (2)线段 (不与 A， 自点 个单位长度向点 设运动时间为 t(s)(0 t 3)， 过点 M 点 ， 过点 点 ， 求四边形 与时间 式 当 大值是多少？ (3)当 t(0 t 3)为何值时 ， A， D， 求出点 解： (1)根据题意 ， 得 90， 3， 在 ， 32 42 5， 设 x， 在 ， 根据勾股定理 ， 得 即 22 (4 x)2， 解得 x 32， 点 E 0， 32 . 在 ， 32 322 3 52 . (2) 且 90， 四边形 矩形 t1 t， 3 t. S 矩形 D (3 t)， S 矩形 1232t 或 S 矩形 12(t 32)2 98， 当 t322 12 32时 ， S 最大 98. (3) 等腰 三角形有以下两种情况： ( )当 ， 点 P 是 点 ， 32， t 32 1 32(s) 当 t 32时 ， A， D， M 三点构成等腰三角形 ， 过点 M 作 F， 如解图 ， 32， 34， 3 32 32， 点 M 32， 34 . ,(第 3题图解 ) ( )当 3 时 ， 33 52， 6 55 ， t 6 55 1 6 55 (s) 当 t 6 55 s 时 ， A， D， 过点 M 作 点 . 6 55 ， 3 55 ， 3 6 55 ， 点 M 3 65 5， 35 5 . 4 如图 ， 在矩形 5， 203， 垂足是 是点 连结 (第 4题图 ) (1)求 (2)若将 设平移的距离为 m(平移距离指点 当点 B， 直接写出相应的 (3)如图 ， 将 点 B 顺时针旋转一个角 (0 180 )， 记旋转中的 A 在旋转过程中 ， 设 AF所在的直线与直线 于 点 P， 与直线 于点 ， Q 两点 ， 使 等腰 三角形？若存在 ， 求出此时 长；若不存在 ， 请说明理由 解： (1)在 ， 5， 203 ， 由勾股定理 ， 得 52 2032 253 . S 1212 5 203253 4. 在 ， 5， 4， 由勾股定理 ， 得 3. (第 4题图解 ) (2)设平移中的三角形为 ABF， 如解图 所示 由对称点性质可知 ， 1 2. 由平移性质可知 ， A B ， 4 5 1， B F 3. 当点 F落在 A B， 3 4， 3 1 2， BF 3， 即 m 3； 当点 F落在 A B ， 6 2. 1 2， 5 1， 5 6. 又易知 AB B F B D BF 3， BD 253 3 163， 即 m 163 . (3)存在 理由如下： 在旋转过程中 ， 等腰 种情形： 如解图 所示 ， 点 且 易知 2 2 Q. (第 4题图解 ) 1 3 Q， 1 2， 3 Q， A Q AB 5， F Q FA AQ 4 5 9. 在 由勾股定理 ， 得 F F92 32 3 10. (第 4题图解 ) 3 10 253 . 如解图 所示 ， 点 且 易知 2 P. 1 2， 1 P， 则此时点 A落在 3 2， 3 1， AQ， F Q FA AQ 4 在 中 ， 由勾股定理 ， 得 F 即 32 (4 解得 258 . 253 258 12524 . 如解图 所示 ， 点 且 易知 3 4. (第 4题图解 ) 2 3 4 180 ， 3 4， 4 90 12 2. 1 2， 4 90 12 1. A 4 90 12 1， A 180 A 1 90 12 1， A A A Q AB 5， F Q AQ AF 5 4 1. 在 由勾股定理 ， 得 F F12 32 10， 253 10. 如解图 所示 ， 点 且 易知 2 3. (第 4题图解 ) 1 2， 3 4， 2 3， 1 4， 5， 253 5 103 . 综上所述 ， 存在 4组符合条件的点 P， Q， 使 其中 3 10 253， 12524， 253 10或 103 . 5 如图所示 ， 在平面直角坐标系 抛物线 y 14(x m)2 14，与 ， 连结 交 ， 延长 ， 使 连结 作 交于点 E. (1)当 m 2时 ， 求点 (2)求 (3) 设点 x， y)， 求 过点 与第 (3) 题确定的函数图象的另一个交点为 P.当 以 A， B， D， ,(第 5题图 ) 解： (1)当 m 2 时 ， y 14(x 2)2 1， 把 x 0 代入 y 14(x 2)2 1， 得 y 2， 点 B 的坐标为 (0， 2) (2)延长 交 y 轴于点 F， 90， 点 A(m， 14m)， 点 B(0， m)， |m|， m ( 14m) 14 90 90， 即14m2|m| |m| 4. (3) 点 A 的坐标为 (m， 14m)， 点 D 的坐标为 (2m， 14m 4)， x 2m， y 14m 4， y 14 12x 4， 所求函数的表达式为 y 11612x 4. 作 点 Q， 则 ( )当四边形 平行四边形时 (如解 图 )， 点 P 的横坐标为 3m， 点 P 的纵坐标为 14m 4 14 12m 4， 把点 P(3m， 12m 4)的坐标代入 y 11612x 4， 得 12m 4 116 (3m)2 12 3m 4， 解得 m 0(此时 A， B， D， P 在同一直线上 ， 舍去 )或 m 8. ,图 ) ,图 ),(第 5题图解 ) ( )当四边形 平行四边形时 (如解图 )， 点 P 的横坐标为 m， 点 P 的纵坐标为 14m 4 14 m 4， 把点 P(m， m 4)的坐标代入 y 11612x 4， 得 m 4 11612m 4， 解得 m 0(此时 A， B， D， P 在同一直线上 ， 舍去 )或 m 8. 综上所述 ， m 的值为 8 或 8. 拓展提高 (第 6题图 ) 6 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 直线 l 平行 x 轴 ， 交 y 轴于点 A， 第一象限内的点 B在 连结 动点 90 ， . (1)当动点 重合时 ， 若点 2， 1)， 求 长 (2)当动点 若点 的横坐标相等 ， 求 (3)当动点 点 点 P与 若 2求 解： (1) 点 P 与点 B 重合 ， 点 B 的坐标是 (2， 1)， 点 P 的坐标是 (2， 1) 长为 2. (第 6题图解 ) (2)过点 M 垂足为 M， 过点 N 垂足为 N， 如解图 所示 点 的横坐标相等 ， 90 ， 45 . 90 ， 45 . 90 . 90 . 90 . 90 在 1 1. (3) 若点 过点 M 垂足为 M， 过点 N 垂足为 N， (第 6题图解 ) ， 如解图 所示 12设 x， 2 22x. 1212x. 52x. 90 ， 24x. 90 ， 15x. 90 ， 四边形 152 x. 152 x 52x 155 . 当点 不合题意 若点 过点 M 垂足为 M， 过点 N 垂足为 N， ， 如解图 所示 (第 6题图解 ) 同理可得： 32x， 24x， 15x. 12152 x. 152 x 32x 153 . 综上所述 ， 55 或 153 . (第 7题图 ) 7 如图 ， 正方形 A， 点 4， 4) 点 以每秒 1个单位长度的速度沿 运动；点 同时出发 ， 以相同的速度沿 规定点 时 ， 点 连结 过点 与过点 D， ， 连结 运动的时间为 t(s) (1) _45 _， 点 t， t)(用含 (2)当 (3)探索 长是否随时间 t 的变化而变化？若变化 ， 说明理由；若不变 ， 试求这个定值 解： (1)由题意 ， 得 1 t t， 四边形 正方形 ， 90 . 90 . 90 在 ， 90， A 90 ， 45 . t， t. 点 D 的坐标为 (t， t) (2) 若 则 45 . 90 . 90 ， 点 E 与点 D 重合 点 Q 与点 O 重合 与条件 “ y 轴 ” 矛盾 ， 这种情况应舍去 若 则 45 . 90 . 90 在 ， E 点 E 与点 C 重合 (即 0) 点 P 与点 O 重合 (即 0) 点 B( 4， 4)， t 4. 若 在 ， P L) t， t. 4 t. 90 ， 2(4 t) (第 7题图解 ) 延长 ， 使得 连结 如解图所示 在 90， 45 ， 90 ， 45 . 45 . 在 P t t 2t. 2(4 t) 2t. 解得 t 4 2 4. 当 或 4 2 4时 ， (3)不变 同理于 (2) ， 易得 4 4 8. 该定值为 8. 8 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 矩形 在坐标原点 ， 顶点 A， 且 2， 1， 矩形对角线 ， 过点 A， ， H. (1) 直接写出点 1， 12 ； 求证： (2)如图 ， 以 ， 若直线 ， 求直线 (3)在 (2)的结论下 ， 梯形 P， 当 G， 求 ,(第 8题图 ) 解： (1) 根据矩形的性质和边长即可求出点 E 的坐标是 1， 12 . 证明： 四边形 矩形 ， 在 ， E (2)连结 延长交 M， 如解图 . 1 12 D 是 中点 ， 在 ， E 2 1 1. 90， 四边形 矩形 ， O 于点 D. O 于 F， 点 E 1， 12 ， 可设 x， 12 在 ， 有 即 (1 x)2 122 12 解得 x 13， 点 H 13， 1 ， 2 13 53. 又 点 G 53， 0 ， 设直线 表达式是 y b， 把点 G， H 的坐标代入 ， 得 0 35k b， 且 1 13k b， 解得 k 34， b 54， 直线 函数表达式为 y 34x 54. (3)连结 如解图 ， 在 ， C (第 8题图解 ) 90， O 于 C， O 于 F， 分 在 ， E 即 分 P 与 相切 ， 圆心 P 必在 ， 过 P 作 垂足为 N， 则 设半径为 r， 则 3 解得 r 14. P 的半径是 14. 9 如图 ， 在平面 直角坐标系中 ， 已知点 4， 0)， 且 4动点 ， B， (第 9题图 ) (1)求抛物线的表达式 (2)是否存在点 P， 使得 存在 ， 求出所有符合条件的点 不存 在 ， 说明理由 (3)过动点 ， 交直线 ， 过点 D作 垂足为F， 连结 当线段 求出点 解： (1)由点 A(4， 0)， 可知 4. 4 4， 1， 点 C(0， 4)， B( 1， 0) 设抛物线的表达式是 y x， 则a b c 0，16a 4b c 0，c 4，解得a 1，b 3，c y 3x 4. (2)存在 如解图 . 第一种情况 ， 当以 C 为直角顶点时 ， 过点 C 作 交抛物线于点 1作 垂足是 M. 90 ， 90 . 90 ， 45 ， 设点 P(m， 3m 4)， 则 m 3m 4 4， 解得： 0(舍去 )， 2. 3m 4 6， 即点 P(2， 6) 第二种情况 ， 当点 A 为直角顶点时 ， 过点 A 作 抛物线于点 过点 垂足是 N， y 轴于点 F. x 轴 45 ， 45 ， 45 ， 设点 P2(n， 3n 4)， 则 n ( 3n 4) 4， 解得 2， 4(舍去 )， 3n 4 6， 则点 坐标是 ( 2， 6) 综上所述 ， 点 P 的坐标是 (2， 6)或 ( 2， 6) (第 9 题图解 ) (3)如解图 ， 连结 由题意可知 ， 四边形 则 根据垂线段最短 ， 可得当 即 由 (1)可知 ， 在 4， 则 4 2， 根据等腰三角形的性质 ， 又 122， 点 . 则 3x 4 2， 解得 x 3 172 ， 当 点 3 172 ， 0 或 3 172 ， 0 . 10 已知在平面直角坐标系 以 P(1， 1)为圆心的 P与 和点 N， 点 出发 ， 沿 个单位长度的速度运动 ， 连结 过点 ， 设点 t(s)(t 0) (第 10题图 ) (1)若点 E在 如图所示 )， 求证： (2)在点 设 a， b， 试用含 b. (3)作点 的对称点 F， 经过 M， 三点的抛物线的对称轴交 ，连结 运动的过程中 ， 是否存在某一时刻 ， 使得以点 Q， O， ， M， 存在 ， 请直接写出 不存在 ， 请说明理由 (第 10题图解 ) 解： (1)证明：如解图 ， 连结 P 与 x 轴 ， y 轴分别相切于点 M 和点 N， 且 90 ， 且 90 . 90 在 ， N (2) 当 t 1 时 ， 点 E 在 y 轴的负半轴上 ， 如解图 ， 由 (1)得 t， 1， b 1 t，