排列组合专题复习及经典例题详解

1 排列组合专题复习及经典例题详解排列组合专题复习及经典例题详解 1 1 学习目标学习目标 掌握排列 组合问题的解题策略 2 2 重点重点 1 特殊元素优先安排的策略 2 合理分类与准确分步的策略 3 排列 组合混合问题先选后排的策略 4 正难则反 等价转化的策略 5 相邻问题捆绑处理的策略 6 不相邻问题插空处理的策略 3 3 难点难点 综合运用解题策略解决问题 4 4 学习过程学习过程 1 1 知识梳理知识梳理 1 1 分类计数原理 加法原理 分类计数原理 加法原理 完成一件事 有几类办法 在第一类办法中有种不 1 m 同的方法 在第 2 类办法中有种不同的方法 在第 n 类型办法中有种不同的方法 2 m n m 那么完成这件事共有种不同的方法 n mmmN 21 2 2 分步计数原理 乘法原理 分步计数原理 乘法原理 完成一件事 需要分成 n 个步骤 做第 1 步有种不 1 m 同的方法 做第 2 步有种不同的方法 做第 n 步有种不同的方法 那么完成这 2 m n m 件事共有种不同的方法 n mmmN 21 特别提醒特别提醒 分类计数原理与 分类 有关 要注意 类 与 类 之间所具有的独立性独立性和并列性并列性 分步计数原理与 分步 有关 要注意 步 与 步 之间具有的相依性相依性和连续性连续性 应用 这两个原理进行正确地分类 分步 做到不重复 不遗漏 3 3 排列 排列 从 n 个不同元素中 任取 m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列排列 时叫做选排列选排列 时叫做全排列全排列 nm nm 4 4 排列数 排列数 从 n 个不同元素中 取出 m m n 个元素的所有排列的个数 叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数 用符号表示 m n P 5 5 排列数公式 排列数公式 Nmnnm mn n mnnnnP m n 1 2 1 排列数具有的性质 排列数具有的性质 1 1 m n m n m n mPPP 特别提醒 特别提醒 规定 0 1 2 6 6 组合 组合 从 n 个不同的元素中 任取 m m n 个不同元素 组成一组 叫做从 n 个不 同元素中取 m 个不同元素的一个组合 7 7 组合数 组合数 从 n 个不同元素中取 m m n 个不同元素的所有组合的个数 叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个不同元素的组合数 用符号表示 m n C 8 8 组合数公式 组合数公式 1 2 1 mnm n m mnnnn P P C m m m nm n 组合数的两个性质组合数的两个性质 mn n m n CC 1 1 m n m n m n CCC 特别提醒 排列与组合的联系与区别特别提醒 排列与组合的联系与区别 联系 都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素 区别 前者是 排成一排 后者是 并成一组 前者有顺序关系 后 者无顺序关系 2 2 典型例题典型例题 考点一考点一 排列问题排列问题 例例 1 1 六人按下列要求站一横排 分别有多少种不同的站法 六人按下列要求站一横排 分别有多少种不同的站法 1 1 甲不站两端 甲不站两端 2 2 甲 乙必须相邻 甲 乙必须相邻 3 3 甲 乙不相邻 甲 乙不相邻 4 4 甲 乙之间间隔两人 甲 乙之间间隔两人 5 5 甲 乙站在两端 甲 乙站在两端 6 6 甲不站左端 乙不站右端 甲不站左端 乙不站右端 解析 1 方法一 要使甲不站在两端 可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个 有 种站法 然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有种站法 根据分步乘法计数原 1 4 P 5 5 P 理 共有站法 480 5 5 1 4 PP 方法二 由于甲不站两端 这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站 有 种站法 然后中间 4 人有种站法 根据分步乘法计数原理 共有站法 2 5 P 4 4 P 480 4 4 2 5 PP 方法三 若对甲没有限制条件共有种站法 甲在两端共有种站法 从 6 6 P 5 5 2P 总数中减去这两种情况的排列数 即共有站法 4802 5 5 6 6 PP 2 方法一 先把甲 乙作为一个 整体 看作一个人 和其余 4 人进行全排列有 种站法 再把甲 乙进行全排列 有种站法 根据分步乘法计数原理 共有 5 5 P 2 2 P 方法二 先把甲 乙以外的 4 个人作全排列 有种站法 再在 5 个空 240 2 2 5 5 PP 4 4 P 3 档中选出一个供甲 乙放入 有种方法 最后让甲 乙全排列 有种方法 共有 1 5 P 2 2 P 240 2 2 1 5 4 4 PPP 3 因为甲 乙不相邻 中间有隔档 可用 插空法 第一步先让甲 乙以外的 4 个人 站队 有种站法 第二步再将甲 乙排在 4 人形成的 5 个空档 含两端 中 有种 4 4 P 2 5 P 站法 故共有站法为 480 2 5 4 4 PP 此外 也可用 间接法 6 个人全排列有种站法 由 2 知甲 乙相邻有 6 6 P 种站法 所以不相邻的站法有 240 2 2 5 5 PP 480240720 2 2 5 5 6 6 PPP 4 方法一 先将甲 乙以外的 4 个人作全排列 有种 然后将甲 乙按条件插入站 4 4 P 队 有种 故共有站法 2 2 3P 1443 2 2 4 4 PP 方法二 先从甲 乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲 乙之间的两个位置上 有种 2 4 P 然后把甲 乙及中间 2 人看作一个 大 元素与余下 2 人作全排列有种方法 最后对甲 3 3 P 乙进行排列 有种方法 故共有站法 2 2 P 144 2 2 3 3 2 4 PPP 5 方法一 首先考虑特殊元素 甲 乙先站两端 有种 再让其他 4 人在中间位置 2 2 P 作全排列 有种 根据分步乘法计数原理 共有站法 4 4 P 48 4 4 2 2 PP 方法二 首先考虑两端两个特殊位置 甲 乙去站有种站法 然后考虑中间 4 个位 2 2 P 置 由剩下的 4 人去站 有种站法 由分步乘法计数原理共有站法 4 4 P 48 4 4 2 2 PP 6 方法一 甲在左端的站法有种 乙在右端的站法有种 甲在左端而且乙在右端 5 5 P 5 5 P 的站法有种 故甲不站左端 乙不站右端共有 2 504 种 站法 4 4 P 6 6 P 5 5 P 4 4 P 方法二 以元素甲分类可分为两类 甲站右端有种站法 甲在中间 4 个位置之一 5 5 P 而乙又不在右端有种 故共有 504 种 站法 4 4 1 4 1 4 PPP 5 5 P 4 4 1 4 1 4 PPP 考点二考点二 组合问题组合问题 例例 2 2 男运动员男运动员 6 6 名 女运动员名 女运动员 4 4 名 其中男女队长各名 其中男女队长各 1 1 人人 选派选派 5 5 人外出比赛人外出比赛 在在 下列情形中各有多少种选派方法 下列情形中各有多少种选派方法 1 1 男运动员 男运动员 3 3 名 女运动员名 女运动员 2 2 名 名 2 2 至少有 至少有 1 1 名女运动员 名女运动员 4 3 3 队长中至少有 队长中至少有 1 1 人参加 人参加 4 4 既要有队长 又要有女运动员 既要有队长 又要有女运动员 解析 1 选法为 120 2 4 3 6 CC 2 方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情况 1 女 4 男 2 女 3 男 3 女 2 男 4 女 1 男 由分类计数原理可得总选法数为 246 1 6 4 4 2 6 3 4 3 6 2 4 4 6 1 4 CCCCCCCC 方法二 因 至少 1 名女运动员 的反面为 全是男运动员 故可用间接法求解 从 10 人中任选 5 人有种选法 其中全是男运动员的选法有种 5 10 C 5 6 C 所以 至少有 1 名女运动员 的选法 246 5 6 5 10 CC 3 方法一 可分类求解 只有男队长 的选法为 只有女队长 的选法为 男 女队长都入选 的选 4 8 C 4 8 C 法为 所以共有 2 196 种 选法 3 8 C 4 8 C 3 8 C 方法二 间接法 从 10 人中任选 5 人有种选法 其中不选队长的方法有种 5 10 C 5 8 C 所以 至少 1 名队长 的选法为 196 种 5 10 C 5 8 C 4 当有女队长时 其他人任意选 共有种选法 4 9 C 不选女队长时 必选男队长 共有种选法 而且其中不含女运动员的选法有 4 8 C 种 所以不选女队长时的选法共有种选法 4 5 C 4 5 4 8 CC 所以既有队长又有女运动员的选法共有种 191 4 5 4 8 4 9 CCC 考点三考点三 综合问题综合问题 例例 3 43 4 个不同的球 个不同的球 4 4 个不同的盒子 把球全部放入盒内个不同的盒子 把球全部放入盒内 1 1 恰有 恰有 1 1 个盒不放球 共有几种放法 个盒不放球 共有几种放法 2 2 恰有 恰有 1 1 个盒内有个盒内有 2 2 个球 共有几种放法 个球 共有几种放法 3 3 恰有 恰有 2 2 个盒不放球 共有几种放法 个盒不放球 共有几种放法 解析 1 为保证 恰有 1 个盒不放球 先从 4 个盒子中任意取出去一个 问题转 化为 4 个球 3 个盒子 每个盒子都要放入球 共有几种放法 即把 4 个球分成 2 1 1 的三组 然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球 其余 2 个球放在另外 2 个盒子内 由分步乘法计数原理 共有 144 2 2 1 3 2 4 1 4 PCCC 2 恰有 1 个盒内有 2 个球 即另外 3 个盒子放 2 个球 每个盒子至多放 1 个球 也 就是说另外 3 个盒子中恰有一个空盒 因此 恰有 1 个盒内有 2 个球 与 恰有 1 个盒 不放球 是同一件事 所以共有 144 种放法 3 确定 2 个空盒有种方法 4 个球放进 2 个盒子可分成 3 1 2 2 两类 2 4 C 5 第一类有序不均匀分组有种方法 8 2 2 1 1 3 4 PCC 第二类有序均匀分组有种方法 6 2 2 2 2 2 2 2 4 P P CC 故共有种 84 2 2 2 2 2 2 2 42 2 1 1 3 4 2 4 P P CC PCCC 当堂测试当堂测试 1 1 从 5 名男医生 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队 要求其中男 女医生都 有 则不同的组队方案共有 A 70 种 B 80 种 C 100 种 D 140 种 解析 分为 2 男 1 女 和 1 男 2 女两大类 共有种 70 2 4 1 5 1 4 2 5 CCCC 解题策略 解题策略 合理分类与准确分步的策略 2 2 2020 年北京奥运会组委会要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分 别从事司机 导游 翻译 礼仪四项不同工作 若其中小张和小赵只能从事前两项工作 其余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方案共有 A 48 种 B 12 种 C 18 种 D 36 种 解析 合理分类 通过分析分为 1 小张和小赵恰有 1 人入选 先从两人中选 1 人 然后把这个人在前两项工作中安排一个 最后剩余的三人进行全排列有种选24 3 3 1 2 1 2 PCC 法 2 小张和小赵都入选 首先安排这两个人做前两项工作有种方法 然后在2 2 2 P 剩余的 3 人中选 2 人做后两项工作 有种方法 故共有种选6 3 3 P36 3 3 2 2 3 3 1 2 1 2 PPPCC 法 解题策略解题策略 特殊元素优先安排的策略 合理分类与准确分步的策略 排列 组合混合问题先选后排的策略 3 3 从 0 1 2 3 4 5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数 组成没有重复数字的四位 数的个数为 A 48 B 12 C 180 D 162 解析 分为两大类 1 含有 0 分步 从另外两个偶数中选一个 有种方法 1 2 C 从 3 个奇数中选两个 有种方法 给 0 安排一个位置 只能在个 十 百位上 2 3 C 选 有种方法 其他的 3 个数字进行全排列 有种排法 根据乘法原理共有 1 3 C 3 3 P 种方法 2 不含 0 分步 偶数必然是 2 和 4 奇数有种不108 3 3 1 3 2 3 1 2 PCCC 2 3 C 6 同的选法 然后把 4 个元素全排列 共种排法 不含 0 的排法有种 根 4 4 P72 4 4 2 3 PC 据加法原理把两部分加一块得 108 72 180 个 4 4 甲组有 5 名男同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同学 若从甲 乙两组中各 选出 2 名同学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 解析 4 人中恰有 1 名女同学的情况分为两种 即这 1 名女同学或来自甲组 或来自 乙组 则所有不同的选法共有种选法 345 1 2 1 6 2 5 2 6 1 3 1 5 CCCCCC 解题策略 解题策略 合理分类与准确分步的策略 5 5 甲 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 则甲 乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法 共有 A 6 B 12 C 30 D 36 解析 法一 甲 乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法可以分为两类 甲 乙所选的课程中 2 门均不相同 甲先从 4 门中任选 2 门 乙选取剩下的 2 门 有 种 6 2 2 2 4 CC 甲 乙所选的课程中有且只有 1 门相同 分为 2 步 从 4 门中先任选一门作为相同 的课程 有种选法 甲从剩余的 3 门中任选 1 门 乙从最后剩余的 2 门中任选 14 1 4 C 门 有种选法 由分步计数原理此时共有种 6 1 2 1 3 CC24 1 2 1 3 1 4 CCC 最后由分类计数原理 甲 乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 6 24 30 种 故选 C 法二 可以先让甲 乙任意选择两门 有种方法 然后再把两个人36 2 4 2 4 CC 全相同的情况去掉 两个人全相同 可以将甲与乙看成为同一个人 从 4 门中任选两门有 种选法 所以至少有一门不相同的选法为种不同的选法 6 2 4 C30 2 4 2 4 2 4 CCC 解题策略 解题策略 正难则反 等价转化的策略 6 6 用 0 到 9 这 10 个 数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A 324 B 328 C 360 D 648 解析 第一类个位是 0 共种不同的排法 第二类个位不是 0 共种不同 2 9 P 1 8 1 8 1 4 CCC 的解法 故共有 328 个 2 9 P 1 8 1 8 1 4 CCC 解题策略 解题策略 合理分类与准确分步的策略 7 7 从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理 则甲 乙至少有 1 人入选 而丙没有入选的 不同选法的总数为 A 85 B 56 C 49 D 28 解析 合理分类 甲 乙全被选中 有种选法 甲 乙有一个被选中 有 1