2012年高考数学二轮复习 专题5 第1讲 空间几何体同步练习 新人教A版

用心 爱心 专心 1 20122012 年高考数学二轮复习同步练习 专题年高考数学二轮复习同步练习 专题 5 5 立体几何立体几何 第第 1 1 讲讲 空空间间 几何体几何体 一 选择题 1 文 2011 北京文 5 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的表面积是 A 32 B 16 16 2 C 48 D 16 32 2 答案 B 解析 由三视图知 四棱锥为正四棱锥 四个侧面为四个全等的三角形 由图知三角 形的高h 2 S 4 2 4 16 所以表面积为S 4 4 16 16 2 1 2222 理 2011 北京理 7 某四面体的三视图如图所示 该四面体四个面的面积中最大的 是 A 8 B 6 2 C 10 D 8 2 答案 C 解析 依题意 该四面体如图所示 其中 BC CD AB 平面 BCD BC 4 CD 3 AB 4 用心 爱心 专心 2 于是AC 4 BD 5 2 S BCD 6 S ABC 8 S ACD 6 S ABD 10 故选 C 2 2 2011 广东文 9 如下图 某几何体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图 分别是等边三角形 等腰三角形和菱形 则该几何体体积为 A 4 B 4 3 C 2 D 2 3 答案 C 解析 由三视图知S 2 2 2 h 3 所以V Sh 2 3 2 1 233 1 3 1 333 3 2011 江西文 9 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如图所示 则该几何体 的左视图为 答案 D 解析 左视图为正方形含有一条对角线 即 D 项中的对角线 4 2011 福建福州质检 某简单几何体的一条对角线长为a 在该几何体的正视图 侧 视图与俯视图中 这条对角线的投影都是长为的线段 则a等于 2 A B 23 C 1 D 2 答案 B 解析 可以把该几何体想象为一长方体AC1 设AC1 a 则由题意知A1C1 AB1 BC1 设长方体的长 宽 高分别为x y z 则x2 y2 2 y2 z2 2 z2 x2 2 三式相 2 加得 2 x2 y2 z2 2a2 6 a 故选 B 3 5 2011 山东威海模拟 已知球的表面积等于 16 圆台上 下底面圆周都在球面上 用心 爱心 专心 3 且下底面过球心 圆台的母线与底面的夹角为 则圆台的轴截面的面积是 3 A 9 B 3 3 2 C 3 D 6 3 答案 C 解析 本题考查简单组合体的知识 如右图 过圆台的轴截面截球得截面如下 AB为球的大圆的直径 据题意知球的半径为 2 DAB 60 连结OD 易知三角形OAD为等边三角形 AD 2 DE AE 1 故 3 DC 2 2 1 2 故S梯形ABCD 2 4 3 1 233 6 2011 天津十二区县联考 理 3 如图 直三棱柱的正视图面积为 2a2 则侧视图的 面积为 A 2a2 B a2 C a2 D a2 3 3 4 答案 C 解析 由正视图的面积为 2a2 则直三棱柱的侧棱长为 2a 侧视图为矩形 一边长为 2a 另一边长为a 所以侧视图的面积为a2 3 23 7 2011 广东深圳 利用斜二测画法可以得到 三角形的直观图是三角形 平行四 边形的直观图是平行四边形 正方形的直观图是正方形 菱形的直观图是菱形 以上结 论正确的是 A B C D 答案 A 用心 爱心 专心 4 解析 因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质 故 正确 对于 只 有平行于x轴的线段长度不变 所以不正确 故选 A 8 文 2011 辽宁文 10 已知球的直径SC 4 A B是该球球面上的两点 AB 2 ASC BSC 45 则棱锥S ABC的体积为 A B 3 3 2 3 3 C D 4 3 3 5 3 3 答案 C 分析 本题考查球的相关性质以及三棱锥体积的求法 解析 如图所示 由题意知 在棱锥S ABC中 SAC SBC都是等腰直角三角形 其中 AB 2 SC 4 SA AC SB BC 2 取SC的中点D 易证SC垂直于面ABD 因此棱锥 2 S ABC的体积为两个棱锥S ABD和C ABD的体积和 所以棱锥S ABC的体积V SC S 1 3 ADB 4 1 33 4 3 3 理 2011 辽宁理 12 已知球的直径SC 4 A B是该球球面上的两点 AB ASC BSC 30 则棱锥S ABC的体积为 3 A 3 B 2 33 C D 1 3 答案 C 分析 本题考查球的相关性质以及三棱锥体积的求法 难度较大 解析 由题意知 如图所示 在棱锥S ABC中 SAC SBC都是有一个角为 30 的直角三角形 其中 AB SC 4 所以SA SB 2 AC BC 2 作BD SC于D点 易证SC 平面ABD 因 33 此V 2 4 1 3 3 433 用心 爱心 专心 5 二 填空题 9 2011 福建理 12 三棱锥P ABC中 PA 底面ABC PA 3 底面ABC是边长为 2 的正三角形 则三棱锥P ABC的体积等于 答案 3 解析 V 3 2 2 sin60 1 3 1 23 10 文 2011 新课标文 16 已知两个圆锥有公共底面 且两圆锥的顶点和底面的圆 周都在同一个球面上 若圆锥底面面积是这个球面面积的 则这两个圆锥中 体积较小者 3 16 的高与体积较大者的高的比值为 答案 1 3 解析 依据题意画出示意图 设球半径R 圆锥底面半径r 则 r2 4 R2 3 16 即r2 R2 在Rt OO1C中 由OC2 OO O1C2得OO1 R 3 42 1 1 2 所以 高的比为 1 3 理 2011 新课标理 15 已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上 且 AB 6 BC 2 则棱锥O ABCD的体积为 3 分析 本小题考查对球的内接几何体的理解 球的截面性质及四棱锥体积的求解 考 查空间想象能力和运算求解能力 答案 8 3 解析 依题意棱锥O ABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径 如图连接AC 取 AC中点O 连接OO 易知AC AB2 BC2 用心 爱心 专心 6 4 故AO 2 33 在 Rt OAO 中 OA 4 从而OO 2 42 12 所以VO ABCD 2 6 2 8 1 333 11 2011 惠州一模 已知 ABC的斜二测直观图是边长为 2 的等边 A1B1C1 那么原 ABC的面积为 答案 2 6 解析 如图 过C1作C1D1 y1轴 在 A1D1C1中 设C1D1 a 由正弦定理得 a S ABC 2 2 2 a sin2 3 2 sin 46 1 266 12 2011 济南三模 一个几何体的三视图及部分数据如图所示 左视图为等腰三角形 俯视图为正方形 则这个几何体的体积等于 答案 1 3 解析 根据三视图可知 该几何体是高为 2 的四棱锥 且底面正方形的对角线长为 1 V 1 1 2 1 3 1 2 1 3 三 解答题 13 文 一个多面体的直观图 主视图 正前方观察 俯视图 正上方观察 左视图 用心 爱心 专心 7 左侧正前方观察 如下图所示 1 探求AD与平面A1BCC1的位置关系并说明理由 2 求此多面体的表面积和体积 解析 从俯视图可得 底面四边形ABCD和侧面四边形A1C1CB是矩形 又从主视图可 得 BC AB BC BA1 且AB BA1 B BC 面ABA1 A1AB是正三角形 三棱柱是正三棱柱 1 底面四边形ABCD是矩形 AD BC 又 BC 面A1BCC1 AD 面A1BCC1 2 依题意可得 AB BC a S sin60 a a a2 1 2 3 4 V S h a2 a a3 3 4 3 4 S侧 C h 3a a 3a2 S表 S侧 2S底 3a2 2 a2 3 a2 3 4 3 2 此多面体的表面积和体积分别为 3 a2 a3 3 2 3 4 理 下图是一几何体的直观图 正视图 俯视图 侧视图 1 若F为PD的中点 求证 AF 平面PCD 2 求几何体BEC APD的体积 解析 1 证明 由几何体的三视图可知 底面ABCD是边长为 4 的正方形 PA 平面 用心 爱心 专心 8 ABCD PA EB PA 2EB 4 PA AD F为PD的中点 PD AF 又 CD DA CD PA CD AF AF 平面PCD 2 VBEC APD VC APEB VP ACD 4 2 4 4 4 4 4 1 3 1 2 1 3 1 2 80 3 14 如图所示 四棱锥P ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形 其中BD是 圆的直径 ABD 60 BDC 45 ADP BAD 1 求线段PD的长 2 若PC R 求三棱锥P ABC的体积 11 解析 1 BD是圆的直径 BAD 90 又 ADP BAD DP 3R AD BA DP AD AD2 BA BDsin60 2 BDsin30 4R2 3 4 2R 1 2 2 在 Rt BCD中 CD BDcos45 R 2 PD2 CD2 9R2 2R2 11R2 PC2 PD CD 又 PDA 90 PD 底面ABCD S ABC AB BCsin 60 45 R R R2 则三棱锥P 1 2 1 22 3 2 2 2 1 2 2 2 3 1 4 ABC的体积为 VP ABC S ABC PD R2 3R R3 1 3 1 3 3 1 4 3 1 4 15 文 2011 福建文 20 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD 点E 在线段AD上 且CE AB 1 求证 CE 平面PAD 用心 爱心 专心 9 2 若PA AB 1 AD 3 CD CDA 45 求四棱锥P ABCD的体积 2 解析 1 PA 底面ABCD EC 平面ABCD CE PA 又 AB AD CE AB CE AD 又 PA AD A CE 平面PAD 2 由 1 知CE AD 在 Rt ECD中 DE CDcos45 1 CE CDsin45 1 又 AB CE 1 AB CE 所以四边形ABCE为矩形 S四边形ABCD S矩形ABCE S CDE AB AE CE DE 1 2 1 2 1 1 1 2 5 2 又PA 底面ABCD PA 1 所以V四棱锥p ABCD S四边形ABCD PA 1 1 3 1 3 5 2 5 6 理 2011 重庆理 19 如图 在四面体ABCD中 平面ABC 平面 ACD AB BC AD CD CAD 30 1 若AD 2 AB 2BC 求四面体ABCD的体积 2 若二面角C AB D为 60 求异面直线AD与BC所成角的余弦值 解析 1 解 如图 设F为AC的中点 由于AD CD 所以DF AC 故由平面ABC 平面ACD 知DF 平面ABC 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高 且DF ADsin30 1 AF ADcos30 3 在 Rt ABC中 因AC 2AF 2 AB 2BC 3 由勾股定理易知BC AB 2 15 5 4 15 5 故四面体ABCD的体积 V S ABC DF 1 3 1 3 1 2 4 15 5 2 15 5 4 5 用心 爱心 专心 10 2 解法一 如图 设G H分别为边CD BD的中点 则FG AD GH BC 从而 FGH 或其补角是异面直线AD与BC所成的角 设E为边AB的中点 则EF BC 由AB BC 知EF AB 又由 1 有DF 平面ABC 故由 三垂线定理知DE AB 所以 DEF为二面角C AB D的平面角 由题设知 DEF 60 设AD a 则DF AD sin CAD a 2 在 Rt DEF中 EF DF cot DEF a a 2 3 3 3 6 从而GH BC EF a 1 2 3 6 因 Rt ADE Rt BDE 故BD AD a 从而在 Rt BDF中 FH BD 1 2 a 2 又FG AD 从而在 FGH中 因FG FH 由余弦定理得 1 2 a 2 cos FGH FG2 GH2 FH3 2FG GH GH 2FG 3 6 因此 异面直线AD与BC所成角的余弦值为 3 6 解法二 如图 过F作FM AC 交AB于M 已知AD CD 平面ABC 平面ACD 易知 FC FD FM两两垂直 以F为原点 射线FM FC FD分别为x轴 y轴 z轴的正半轴 建 立空间直角坐标系F xyz 不妨设AD 2 由CD AD CAD 30 易知点A C D的坐标分别为A 0 0 3 C 0 0 D 0 0 1 则 0 1 3 AD 3 显然向量k k 0 0 1 是平面ABC的法向量 已知二面角C AB D为 60 故可取平面ABD的单位法向量n n l m n 使得 n n k k