2005中考压轴题

2005 中考压轴题中考压轴题 1 宁德宁德 已知 如图 直线 PA 交 O 于 A E 两点 PA 的垂线 DC 切 O 于点 C 过 A 点作 O 的直径 AB 1 求证 AC 平分 DAB 2 若 DC 4 DA 2 求 O 的直径 证明 1 证法一 连结 BC AB 为 O 的直径 ACB 90 2 分 又 DC 切 O 于 C 点 DCA B DC PE Rt ADC Rt ACB 4 分 DAC CAB 5 分 2 解法一 在 Rt ADC 中 AD 2 DC 4 AC 2 7 分 AD2 DC25 由 1 得 Rt ADC Rt ACB 7 分 AB AC AC AD 即 AB 10 AC2 AD 20 2 O 的直径为 10 10 分 1 证法二 连结 OC OA OC ACO CAO 1 分 又 CD 切 O 于 C 点 OC DC 2 分 CD PA OC PA 3 分 ACO DAC DAC CAO 5 分 2 解法二 过点 O 作 OM AE 于点 M 连结 OC DC 切 O 于 C 点 OC DC 又 DC PA 四边形 OCDM 为矩形 OM DC 4 6 分 又 DC2 DA DE DE 8 AE 6 AM 3 8 分 在 Rt AMO 中 OA 5 OM2 AM2 即 O 的直径为 10 10 分 其余解法相应给分 2 电视台为某个广告公司特约播放甲 乙两部连续剧 经调查 播放甲连续剧平均 每集有收视观众 20 万人次 播放乙连续剧平均每集有收视观众 15 万人次 公司要求电视 台每周共播放 7 集 1 设一周内甲连续剧播 x 集 甲 乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为 y 万 人次 求 y 关于 x 的函数关系式 2 已知电视台每周只能为该公司提供不超过 300 分钟的播放时间 并且播放甲连 续剧每集需 50 分钟 播放乙连续剧每集需 35 分钟 请你用所学知识求电视台每周应播放 甲 乙两部连续剧各多少集 才能使得每周收看甲 乙连续剧的观众的人次总和最大 并 求出这个最大值 解 1 设甲连续剧一周内播 x 集 则乙连续剧播 7 x 集 分 根据题意得 y 20 x 15 7 x y 5x 105 5 分 2 50 x 35 7 x 300 7 分 解得 x 3 8 分 2 3 又 y 5x 105 的函数值随着 x 的增大而增大 9 分 又 x 为自然数 当 x 3 时 y 有最大值 3 5 105 120 万人次 7 x 4 11 分 答 电视台每周应播出甲连续剧 3 集 播放乙连续剧 4 集 才能使每周收视观众的人 次总和最大 这个最大值是 120 万人次 12 分 3 如图 已知直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AB 12cm BC 8cm DC 13cm 动点 P 沿 A D C 线路以 2cm 秒的速度向 C 运动 动点 Q 沿 B C 线路以 1cm 秒的速度向 C 运动 P Q 两点分别从 A B 同时出发 当其中一点到达 C 点时 另一点也随之停止 设运动时间为 t 秒 PQB 的面 积为 ym2 1 求 AD 的长及 t 的取值范围 2 当 1 5 t t0 t0为 1 中 t 的最大值 时 求 y 关于 t 的函数关系式 3 请具体描述 在动点 P Q 的运动过程中 PQB 的面积随着 t 的变化而变化的 规律 解 1 在梯形 ABCD 中 AD BC B 90 过 D 作 DE BC 于 E 点 AB DE 四边形 ABED 为矩形 1 分 DE AB 12cm 在 Rt DEC 中 DE 12cm DC 13cm EC 5cm AD BE BC EC 3cm 2 分 点 P 从出发到点 C 共需 8 秒 3 13 2 点 Q 从出发到点 C 共需 89 少 3 分 8 1 又 t 0 o t 8 4 分 2 当 t 1 5 秒 时 AP3 即 P 运动到 D 点 5 分 当 1 5 t 8 时 点 P 在 DC 边上 PC 16 2t 过点 P 作 PM BC 于 M PM DE 即 PC DC PM DE 16 2t 13 PM 12 PM 16 2t 7 分 12 13 又 BQ t y BQ PM 1 2 t 16 2t 1 2 12 13 t2 t 3 分 12 13 96 13 3 当 0 t 1 5 时 PQB 的面积随着 t 的增大而增大 当 1 5 t 4 时 PQB 的面积随着 t 的增大而 继续 增大 当 4 t 8 时 PQB 的面积随着 t 的增大而减小 12 分 注 上述不等式中 1 5 t 4 400 y0 2 qpxx 设的两根为 0 2 qpxx 1 x 2 x 则 1 x 2 xp qxx 21 21 2 21 2 21 2 21 2 4xxxxxxxxd 14 分 qpqp44 2 2 注 用求根公式进行 两根差 的运算 也可以得到相应猜想的证明 无论是先用 的证明 还是先用 的证明 只要两种证明都正确 即可奖励 3 分 13 厦门厦门 已知抛物线 y x2 2x m 与 x 轴交于点 A x1 0 B x2 0 x2 x1 1 若点 P 1 2 在抛物线 y x2 2x m 上 求 m 的值 2 若抛物线 y ax2 bx m 与抛物线 y x2 2x m 关于 y 轴对称 点 Q1 2 q1 Q2 3 q2 都在抛物线 y ax2 bx m 上 则 q1 q2的大小关系 是 请将结论写在横线上 不要写解答过程 友情提示 结论要填在答题卡相应的位置上 3 设抛物线 y x2 2x m 的顶点为 M 若 AMB 是直角三角形 求 m 的值 1 解 点 P 1 2 在抛物线 y x2 2x m 上 1 分 2 1 2 1 m 2 分 m 1 3 分 2 解 q1 q2 7 分 3 解解 1 y x2 2x m x 1 m 1 M 1 m 1 8 分 抛物线 y x2 2x m 开口向上 且与 x 轴交于点 A x1 0 B x2 0 x1 x2 m 1 0 AMB 是直角三角形 又 AM MB AMB 90 AMB 是等腰直角三角形 9 分 过 M 作 MN x 轴 垂足为 N 则 N 1 0 又 NM NA 1 x1 1 m x1 m 10 分 A m 0 m2 2 m m 0 m 0 或 m 1 不合题意 舍去 12 分 解解 2 又 NM NA NB x2 x1 2 2m 解得 10 分 A m 0 m2 2 m m 0 m 0 或 m 1 不合题意 舍去 12 分 14 已知 O1与 O2相交于点 A B 过点 B 作 CD AB 分别交 O1和 O2于点 C D 1 如图 8 求证 AC 是 O1的直径 2 若 AC AD 如图 9 连结 BO2 O1 O2 求证 四边形 O1C BO2是平行四边形 若点 O1在 O2外 延长 O2O1交 O1于点 M 在劣弧上任取一点 E 点 E 与 MB 点 B 不重合 EB 的延长线交优弧于点 F 如图 10 所示 连结 AE AF BDA 则 AE AB 请在横线上填上 这四个不等号中的一个 并加 以证明 友情提示 结论要填在答题卡相应的位置上 1 证明 证明 CD AB 1 分 ABC 90 2 分 AC 是 O1的直径 3 分 2 证明证明 1 CD AB ABD 90 AD 是 O2的直径 4 分 AC AD CD AB CB BD 5 分 O1 O2分别是 AC AD 的中点 O1O2 CD 且 O1O2 CD CB 6 分 1 2 四边形 O1C BO2是平行四边形 7 分 证明证明 2 CD AB ABD 90 AD 是 O2的直径 4 分 AC AD O2O1 图 8 DC B A O2O1 图 9 DC B A F M O2 O1 图 10 E DC B A O2O1 图 9 DC B A CD AB CB BD 5 分 B O2分别是 CD AD 的中点 BO2 AC 且 BO2 AC O1C 6 分 1 2 四边形 O1C BO2是平行四边形 7 分 证明证明 3 CD AB ABD 90 AD 是 O2的直径 4 分 O1 O2分别是 AC AD 的中点 O1O2 CD 5 分 CD AB CB BD B 是 CD 的中点 O2B O1C 6 分 四边形 O1C BO2是平行四边形 7 分 证明证明 4 4 CD AB ABD 90 AD 是 O2的直径 4 分 AC AD O1C O2B C D 5 分 O2B O2D O2B D D C O2B D O2B O1C 6 分 四边形 O1C BO2是平行四边形 7 分 AE AB 8 分 证明1 当点E在劣弧上 不与点C重合 时 MC AC AD ACD ADC AEB ACD ADC AFB AE AF 9 分 记AF交BD为G AB CD AF AG AB 10 分 当点E与点C重合时 AE AC AB 当点 E 在劣弧上 不与点 B 重合 时 设 AE 交 CD 与 H CB AE AH AB 11 分 综上 AE AB 12 分 证明证明 2 当点 E 在劣弧上 不与点 C 重合 时 MC 连结 EC DF AD 是 O2的直径 即 AFD 90 EAC EBC DBF DAF AC AD 直角 AFD 直角 AEC AE AF 9 分 证明证明 3 3 当点 E 在劣弧上 不与点 C 重合 时 MC F M O2 O1 图 10 E DC B A 连结 EC DF AD 是 O2的直径 即 AFD 90 DBF DAF ADF DBF 90 又 DBF EBC ABE EBC 90 ADF ABE ABE ACE ADF ACE AC AD 直角 AFD 直角 AEC AE AF 9 分 15 已知 O 是坐标原点 P m n m 0 是函数y k 0 上的点 过点 P 作直线 k x PA OP 于 P 直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点 A a 0 a m 设 OPA 的面积为 s 且 s 1 n4 4 1 当 n 1 时 求点 A 的坐标 2 若 OP AP 求 k 的值 3 设 n 是小于 20 的整数 且 k 求 OP2的最小值 n4 2 解 解 过点 P 作 PQ x 轴于 Q 则 PQ n OQ m 1 当 n 1 时 s 1 分 5 4 a 3 分 2s n 5 2 2 解解 1 OP AP PA OP OPA 是等腰直角三角形 4 分 m n 5 分 a 2 1 an n4 4 1 2 即 n4 4n2 4 0 6 分 k2 4k 4 0 k 2 7 分 解解 2 OP AP PA OP OPA 是等腰直角三角形 4 分 m n 5 分 设 OPQ 的面积为 s1 则 s1 s 2 mn 1 1 2 1 2 n4 4 即 n4 4n2 4 0 6 分 k2 4k 4 0 k 2 7 分 3 解解 1 PA OP PQ OA OPQ OAP 设 OPQ 的面积为 s1 则 8 分 s1 s PO2 AO2 即 化简得 2n4 2k2 k n4 4k 0 9 分 k 2 2k n4 0 k 2 或 k 舍去 10 分 n4 2 当 n 是小于 20 的整数时 k 2 OP2 n2 m2 n2 k2 n2 又 m 0 k 2 n 是大于 0 且小于 20 的整数 当 n 1 时 OP2 5 当 n 2 时 OP2 5 当 n 3 时 OP2 32 9 11 分 4 32 4 9 85 9 当 n 是大于 3 且小于 20 的整数时 即当 n 4 5 6 19 时 OP2得值分别是 42 52 62 192 4 42 4 52 4 62 4 192 192 182 32 5 12 分 4 192 4 182 4 32 OP2的最小值是 5 13 分 解解 2 OP2 n2 m2 n2 k2 n2 n2 22 n2 n 4 11 分 2 n 当 n 时 即当 n 时 OP2最小 2 n2 又 n 是整数 而当 n 1 时 OP2 5 n 2 时 OP2 5 12 分 OP2的最小值是 5 13 分 解解 3 PA OP PQ OA OPQ P AQ 8 分 PQ QA OQ PQ n a m m n 化简得 2n4 2k2 k n4 4k 0 9 分 k 2 2k n4 0 k 2 或 k 舍去 10 分 n4 2 解解 4 4 PA OP PQ OA OPQ P AQ 8 分 s1 s s1 OQ2 PQ2 化简得 2n4 2k2 k n4 4k 0 9 分 k 2 2k n4 0 k 2 或 k 舍去 10 分 n4 2 解解 5 PA OP PQ OA OPQ OAP 8 分 OP OA OQ OP OP2 OQ OA 化简得 2n4 2k2 k n4 4k 0 9 分 k 2 2k n4 0 k 2 或 k 舍去 10 分 n4 2 18 如图 BC 是 O 的直径 A 是弦 BD 延长线上一点 切线 DE 平分 AC 于 E 1 求 证 AC 是 O 的切线 2 若 AD DB 3 2 AC 15 求 O 的直径 3 求的值 EDC sin 1 连结 OE 由中位线证平行 证 EDO ECO 2 由 ABADAC 2 得出 AB 的长 再用勾股定理求 O 的直径为 3 kkDBAD2 3 65 5 5 19 12 分 已知 如图 O 和 O 相交于 A B 两点 O 经过点 O 点 C 在 1212 A O B 上运动 点 C 不与 A B 重合 AC 的延长线交 O 于 P 连结 AB BC BP 22 1 按题意将图形补充完整 2 当点 C 在 A O B 上运动时 图中不变的角有 2 OCB A D E 将符合要求的角都写上 3 线段 BC PC 的长度存在何种关系 写出结论 并加以证明 4 设 O 和 O 的半径为 当 满足什么条件时 为等腰直角三 121 r 2 r 1 r 2 rBCP 角形 1 作图 2 ACB BCP APB CBP 3 连结 AO BO 22 AO B ACB 2 P ACB CBP P CBP P CB CP 2 4 要使 BCP 为等腰直角三角形 已有 CB CP 只需 BCP 只需弦 AB 为直 90 径 C 点与 O 重合 是必须满足的条件 2 2 2 2 1 2 2 rr 21 2rr 20 某商场经营一批进价为元的小商品 在市场营销中发现日销售单价元与日销售量2x 件有如下关系 y x35911 y 181462 1 预测此商品日销售单价为 11 5 元时的日销售量 2 设经营此商品日销售利润 不考虑其他因素 为元 根据销售规律 试求日销售P 利润元与销售单价元之间的函数关系式 问日销售利润是否存在最大值或最小值 PxP 若有 试求出 若无 请说明理由 设销售单价 元 与日销售量 件 的关系式为 根据题意得 xybkxy 所求函数关系式为 bk bk 112 96 24 2 b k 120 242 xxy 当元时 5 11 x124 5 112 y 2 小商品的进价为 2 元 利润与进价 件数之间的关系有 50 7 2 2414 248282 242 2 2 222 xxxxxxxyxP 当或时 P 有最小值2 x12 x0 P 当时 P 有最大值 7 x50 P 21 梅州东海体育用品商场为了推销某一运动服 先做了市场调查 得到数据如下表 卖出价格 x 元 件 50515253 销售量 p 件 500490480470 1 以 x 作为点的横坐标 p 作为纵坐标 把表中的 O1 O2 A B 图 8 p 件 500 490 480 470 50 51 52 53 x 元 件 数据 在图 8 中的直角坐标系中描出相应的点 观察连结 各点所得的图形 判断 p 与 x 的函数关系式 2 如果这种运动服的买入件为每件 40 元 试求销售 利润 y 元 与卖出价格 x 元 件 的函数关系式 销售利润 销售收入 买入支出 3 在 2 的条件下 当卖出价为多少时 能获得最大利润 解 1 p 与 x 成一次函数关系 设函数关系式为 p kx b 则 50050 49051 kb kb 解得 k 10 b 1000 p 10 x 1000 经检验可知 当 x 52 p 480 当 x 53 p 470 时也适合这一关系式 所求的函数关系为 p 10 x 1000 2 依题意得 y px 40p 10 x 1000 x 40 10 x 1000 y 10 x2 1400 x 40000 3 由 y 10 x2 1400 x 40000 可知 当时 y 有最大值 1400 70 2 10 x 卖出价格为 70 元时 能花得最大利润 22 如图 9 已知 C D 是双曲线在第一象限分支上的两点 直线 CD 分别交 x 轴 m y x y 轴于 A B 两点 设 C x1 y1 D x2 y2 连结 OC OD O 是坐标有点 若 BOC AOD 且 tan OC 1 3 10 1 求 C D 的坐标和 m 的值 2 双曲线上是否存在一点 P 使得 POC 和 POD 的 面积相等 若存在 给出证明 若不存在 说明理由 解 1 过点 C 作 CG x 轴于 G 则 CG y1 OG x1 在 Rt OCG 中 GCO BOC 1 tan 3 OG CG 即又 1 1 1 3 x y 11 3yx 10OC 即 22 11 10 xy 22 11 3 10 xx 解得 x1 1 或 x1 1 不合舍去 x1 1 y1 3 点 C 的坐标为 C 1 3 又点 C 在双曲线上 可得 m 3 过 D 作 DH y 轴于 H 则 DH y2 OH x2 在 Rt ODH 中 1 tan 3 DH OH 即 又 x2y2 3 解得 y2 1 或 y2 1 不合舍去 2 2 1 3 x y 22 3yx x2 3 y2 1 点 D 的坐标为 D 3 1 2 双曲线上存在点 P 使得 POCPOD SS 图 9 A B C D P O x y 图 9 A B C D P O x y GH 这个点就是 COD 的平分线与双曲线的交点 3 y x 点 D 3 1 OD OD OC 10 点 P 在 COD 的平分线上 则 COP POD 又 OP OP POC POD POCPOD SS 23 已知 如图 10 甲 正方形 ABCD 的边长为 2 点 M 是 BC 的中点 P 是线段 MC 上的一个 动点 P 不运动到 M 和 C 以 AB 为直径做 O 过点 P 作 O 的切线交 AD 于点 F 切点为 E 1 求四边形 CDFP 的周长 2 试探索 P 在线段 MC 上运动时 求 AF BP 的值 3 延长 DC FP 相交于点 G 连结 OE 并延长交直线 DC 于 H 如图乙 是否存在点 P 使 EFO EHG 如果存在 试求此时的 BP 的长 如果不存在 请说明理由 解 1 四边形 ABCD 是正方形 A B 90 AF BP 都是 O 的切线 又 PF 是 O 的切线 FE FA PE PB 四边形 CDFP 的周长为 AD DC CB 2 3 6 2 连结 OE PF 是 O 的切线 OE PF 在 Rt AOF 和 Rt EOF 中 AO EO OF OF Rt AOF Rt EOF AOF EOF 同理 BOP EOP EOF EOP 180 90 FOP 90 1 2 即 OF OP AF BP EF PE OE2 1 3 存在 EOF AOF EHG AOE 2 EOF 当 EFO EHG 2 EOF 即 EOF 30 时 Rt EFO Rt EHG 此时 EOF 30 BOP EOP 90 30 60 BP OB 0 tan603 24 资阳 如图 9 已知 O 为坐标原点 AOB 30 ABO 90 且点 A 的坐标为 2 0 1 求点 B 的坐标 2 若二次函数 y ax2 bx c 的图象经过 A B O 三点 求此二次函数的解析式 3 在 2 中的二次函数图象的 OB 段 不包括点 O B 上 是否存在一点 C 使得四边 形 ABCO 的面积最大 若存在 求出这个最大值及此时点 C 的坐标 若不存在 请说明理 由 1 在 Rt OAB 中 AOB 30 OB 过点 B 作 BD 垂直于 x 轴 垂足为3 D 则 OD BD 点 B 的坐标为 1 分 2 3 2 3 2 3 2 3 图 10 2 将 A 2 0 B O 0 0 三点的坐标代入 y ax2 bx c 得 2 3 2 3 2 分 420 933 422 0 abc abc c 解方程组 有 a b c 0 3 分 3 32 3 34 所求二次函数解析式是 y x2 x 4 分 3 32 3 34 3 设存在点 C x x2 x 其中 0 x 使四边形 ABCO 面积最大 3 32 3 343 2 OAB 面积为定值 只要 OBC 面积最大 四边形 ABCO 面积就最大 5 分 过点 C 作 x 轴的垂线 CE 垂足为 E 交 OB 于点 F 则 S OBC S OCF S BCF 11 22 CFOECFED 4 3 2 1 CFODCF 6 分 而 CF yC yF 22 2 34 332 3 3 3333 xxxxx S OBC 7 分xx 4 33 2 3 2 当 x 时 OBC 面积最大 最大面积为 8 分 4 3 32 39 此时 点 C 坐标为 四边形 ABCO 的面积为 9 分 8 35 4 3 32 325 25 台州 如图 在平面直角坐标系内 C 与 y 轴相切于 D 点 与 x 轴相交于 A 2 0 B 8 0 两点 圆心 C 在第四象限 求点 C 的坐标 连结 BC 并延长交 C 于另一点 E 若线段 BE 上有一点 P 使得 AB2 BP BE 能否 推出 AP BE 请给出你的结论 并说明理由 在直线 BE 上是否存在点 Q 使得 AQ2 BQ EQ 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存 在 也请说明理由 解 C 5 4 过程 1 分 纵 横坐标答对各得 1 分 3 分 能 4 分 连结 AE BE 是 O 的直径 BAE 90 5 分 在 ABE 与 PBA 中 AB2 BP BE 即 AB BE BP AB 又 ABE PBA ABE PBA 7 分 BPA BAE 90 即 AP BE 8 分 分析 分析 假设在直线 EB 上存在点 Q 使 AQ2 BQ EQ Q 点位置有三种情况 若三条线段有两条等长 则三条均等长 于是容易知点 C 即点 Q 若无两条等长 且点 Q 在线段 EB 上 由 Rt EBA 中的射影定理知点 Q 即为 AQ EB 之垂足 若无两条等长 且当点 Q 在线段 EB 外 由条件想到切割线定理 知 QA 切 C 于点 A 设 Q tyt 并过点 Q 作 QR x 轴于点 R 由相似三角形性质 切割线 定理 勾股定理 三角函数或直线解析式等可得多种解法 解题过程 解题过程 当点 Q1与 C 重合时 AQ1 Q1B Q1E 显然有 AQ12 BQ1 EQ1 Q1 5 4 符合题意 9 分 当 Q2点在线段 EB 上 ABE 中 BAE 90 点 Q2为 AQ2在 BE 上的垂足 10 分 AQ2 10 48 BE AEAB 4 8 或5 24 Q2点的横坐标是 2 AQ2 cos BAQ2 2 3 84 5 84 又由 AQ2 sin BAQ2 2 88 点 Q2 5 84 2 88 25 72 25 146 或 11 分 方法一方法一 若符合题意的点 Q3在线段 EB 外 则可得点 Q3为过点 A 的 C 的切线与直线 BE 在第一象限的交点 由 Rt Q3BR Rt EBA EBA 的三边长分别为 6 8 10 故不妨设 BR 3t RQ3 4t BQ3 5t 12 分 由 Rt ARQ3 Rt EAB 得 AB RQ EA AR 3 13 分 即6 4 8 36tt 得 t 7 18 注 此处也可由4 3 3 AEBtgARQtg 列得方程4 3 63 4 t t 或由 AQ32 Q3B Q3E Q3R2 AR2列得方程 22 6345105 tttt 等等 Q3点的横坐标为 8 3t 7 110 Q3点的纵坐标为7 72 即 Q3 7 110 7 72 14 分 方法二方法二 如上所设与添辅助线 直线 BE 过 B 8 0 C 5 4 直线 BE 的解析式是3 32 3 4 xy 12 分 设 Q3 t 3 32 3 4 t 过点 Q3作 Q3R x 轴于点 R 易证 Q3AR AEB 得 Rt AQ3R Rt EAB EA AB AR RQ 3 即 8 6 2 3 32 3 4 t t 13 分 t 7 110 进而点 Q3 的纵坐标为7 72 Q3 7 110 7 72 14 分 方法三方法三 若符合题意的点 Q3在线段 EB 外 连结 Q3A 并延长交y轴于 F Q3AB Q3EA 4 3 3 AEBtgABQtgOAFtg 在 R t OAF 中有 OF 2 4 3 2 3 点 F 的坐标为 0 2 3 可得直线 AF 的解析式为2 3 4 3 xy 12 分 又直线 BE 的解析式是3 32 3 4 xy 13 分 可得交点 Q3 7 110 7 72 14 分 26 玉林 如图 A B 两点的坐标分别是 x1 0 x2 O 其中 x1 x2是关于 x 的方程 x2 2x m 3 O 的两根 且 x1 00 x1x2 m 3 O 得 m 4 解 得 m 3 所以 m 的取值范围是 m 2 4 4 900 5 分APO 2 321 32 OCOB 6 分APO 2221 0 0 0 903 901 904 APO APO 7 分 0 30 APO 在 Rt BAD 中 0 302 APO 8 分32 3 3 630tan6 0 AD 方法一 过点 O 作 OE BC 于点 E 2 33 303 2 3 3 302 0 0 conBEOE BO 9 分332 BEBC BOCBADOADC SSS 四边形 3 4 9 36 2 3 33 2 1 326 2 1 2 1 2 1 OEBCADAB 10 分3 4 15 方法二 在 Rt OAP 中 AP 6tan600 3 OP 2OA 6 3 DP AP AD 3 336 3323 OCOPPC 过点 C 作 CF AP 于 F CPF 300 CF 9 分 2 3 2 1 PC S四边形 OADC S OAP S CDP AP OA DP CF 2 1 2 1 2 1 2 3 3333 10 分 4 315 33 如图 已知二次函数的图像与 x 轴交于点 A 点 B 点 B 在 X 轴的32 2 xaxy 正半轴上 与 y 轴交于点 C 其顶点为 D 直线 DC 的函数关系式为 又3 kxy tan OBC 1 1 求 a k 的值 5 分 2 探究 在该二次函数的图像上是否存在点 P 点 P 与点 B C 补重合 使得 PBC 是以 BC 为一条直角边的直角三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不 存在 请你说明理由 5 分 解 1 由直线 y kx 3 与 y 轴相交于点 C 得 C 0 3 tan OBC 1 OBC 450 OB OC 3 点 B 3 0 1 分 点B 3 0 在二次函数 y ax2 2x 3 的图像上 9a 6 3 0 2 分 a 1 3 分 y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点 D 1 4 4 分 又D 1 4 在直线 y kx 3 上 4 k 3 k 1 既 a 1 k 1 5 分 2 在二次函数 y x2 2x 3 的图像上存在点 P 使得 PBC 是以 BC 为一条直角边的直角三角形 6 分 由 1 可知 直线 y x 3 与 x 轴的交点为 E 3 0 OE OC 3 CEO 450 OBC 450 ECB 900 7 分 DCB 900 DCB 是以 BC 为一条直角边的直角三角形 且点 D 1 4 在二次函数的图像上 则点 D 是所求的 P 点 8 分 方法一 设 CBP 900 点 P 在二次函数 y x2 2x 3 的图像上 则 PBC 是以 BC 为一条直角边的直角三角形 CBO 450 OBP 450 设直线 BP 与 y 轴交于点 F 则 F 0 3 直线 BP 的表达式为 y x 3 9 分 解方程组得 32 3 2 xxy xy 或 0 3 y x 5 2 y x 由题意得 点 P 2 5 为所求 综合 得二次函数 y x2 2x 3 的图像上存在点 P 1 4 或 P 2 5 使得 PBC 是以 BC 为一条直角边的直角三角 10 分 方法二 在 y 轴上取一点 F 0 3 则 OF OC 3 由对称性可知 OBF OBC 450 CBF 900 设直线 BF 与二次函数 y x2 2x 3 的图像交于点 P 由 1 知 B 3 0 直线 BF 的函数关系式为 y x 3 以下与方法一同 9 分 34 28 宿迁宿迁 已知 如图 ABC 中 C 90 AC 3 厘米 CB 4 厘米 两个动点 P Q 分别 从 A C 两点同时按顺时针方向沿 ABC 的边运动 当点 Q 运动到点 A 时 P Q 两点运 动即停止 点 P Q 的运动速度分别为 1 厘米 秒 2 厘米 秒 设点 P 运动时间为 秒 t 1 当时间 为何值时 以 P C Q 三点为顶点的三角形的面积 图中的阴影部分 t 等于 2 厘米 2 2 当点 P Q 运动时 阴影部分的形状随之变化 设 PQ 与 ABC 围成阴影部分面 积为 S 厘米 2 求出 S 与时间 的函数关系式 并指出自变量 的取值范围 tt 3 点 P Q 在运动的过程中 阴影部分面积 S 有最大值吗 若有 请求出最大值 若没有 请说明理由 解 1 S PCQ PC CQ 2 1 2 1 3 2 2 tt 3 t t 1 分 解得 1 2 2 分 1 t 2 t 当时间 为 1 秒或 2 秒时 S PCQ 2 厘米 2 3 分t 2 当 0 2 时 S 5 分t 2 3tt 2 39 24 t 当 2 3 时 S 7 分t 2 418 6 55 tt 2 4939 5420 t 当 3 4 5 时 S 9 分t 2 32742 555 tt 2 3915 524 t 3 有 10 分 在 0 2 时 当 S 有最大值 S1 11 分tt 3 2 9 4 在 2 3 时 当 3 S 有最大值 S2 12 分tt 12 5 在 3 4 5 时 当 S 有最大值 S3 13 分tt 9 2 15 4 C BA P Q Q P AB C HA B C Q P HAB C Q P S1 S2 S3 时 S 有最大值 S最大值 14 分t 9 2 15 4 36 黄石 已知 与 相交于 A B 两点 的切线 AC 交 于点 C 直线 1 O 2 O 1 O 2 O EF 过点 B 交 于点 E 交 于点 F 1 O 2 O 1 若直线 EF 交弦 AC 于点 K 时 如图 1 求证 AE CF 2 若直线 EF 交弦 AC 的延长线于点时 如图 2 求证 DA DF DC DE 3 若直线 EF 交弦 AC 的反向延长线于点 在图 3 自作 试判断 1 2 中的结论是否 成立 并证明你的正确判断 1 连结 AB 1 分 AC 是 的切线 1 O E 1 又 F 1 E F AE CF 3 分 2 连结 AB 4 分 AC 是 的切线 1 O E 1 又 A B F C 在 上 可证得 2 1 2 O E 2 又 D D ADE CDF 5 分 DA DF DC DE 7 分 DF DE DC DA 3 1 2 中的结论都成立如图 3 作出图形 8 分 C B DAE AE CF 又 D D ADE CDF 9 分 DA DF DC DE 10 分 DF DE DC DA 37 如图 在直角梯形 ABCD 中 AB CD ABC 90o AB 4 BC CD 9 65 1 在 BC 边上找一点 O 过 O 点作 OP BC 交 AD 于 P 且 OP2 AB DC 求 BO 的长 2 以 BC 所在直线为 x 轴 OP 所在直线为 y 轴 建立平面直角坐标系 求经过 A O D 三点的抛物线的解析式 并画出引抛物线的草图 3 在 2 中的抛物线上 连结 AO DO 证明 AOD 为直角三角形 过 P 点 任作一直线与抛物线相交于 A x1 y1 D x2 y2 两点 连结 A O B O 试问 A O D 还为直角三角形吗 请说明理由 解 1 在 BC 上取一点 O 作 OP BC 交 AD 于点 P 由 OP2 BA CD 4 9 36 得 OP 6 取正 过点 A 作直线 AE BC 交 OP 于 E 交 CD 于 F 则 BO AE 3 分6265 5 2 AF FD EP 2 根据题意建立直角坐标系 如图所示 则 A B 4 62 0 62 O 0 0 C D 0 639 63 过 A O D 三点的抛物线的解析式 y ax2 bx c 满足 9 63 63 000 4 62 62 2 2 2 cba cba cba 解得 0 0 6 1 c b a 抛物线的解析式为 7 分 2 6 1 xy 3 连接 OA OD 在 Rt AOB 和 Rt ODC 中 3 6 9 63 3 6 62 4 CD OC BO AB CD OC OB AB Rt AOB Rt ODC AOD 180o 90o 90o AOD 为直角三角形 9 分 3 略 12 分 38 荆门 已知 如图 抛物线与 x 轴交于 A B 两点 与 ymxxy 3 32 3 1 2 轴交于 C 点 ACB 90 求 m 的值及抛物线顶点坐标 过 A B C 的三点的 M 交 y 轴于另一点 D 连结 DM 并延长交 M 于点 E 过 E 点的 M 的切线分别交 x 轴 y 轴于点 F G 求直线 FG 的解析式 在条件 下 设 P 为上的动点 P 不与 C D 重合 连结 PA 交 y 轴于点 A CBD H 问是否存在一个常数 k 始终满足 AH AP k 如果存在 请写出求解过程 如果不 存在 请说明理由 解 由抛物线可知 点 C 的坐标为 0 m 且 m 0 设 A x1 0 B x2 0 则有 x1 x2 3m 1 分 又 OC 是 Rt ABC 的斜边上的高 AOC COB 2 分 OB OC OC OA 即 x1 x2 m2 2 1 x m m x m2 3m 解得 m 0 或 m 3 而 m 0 故只能取 m 3 3 分 这时 4 3 3 1 3 3 32 3 1 22 xxxy 故抛物线的顶点坐标为 4 4 分3 解法一 由已知可得 M 0 A 0 B 3 0 333 C 0 3 D 0 3 5 分 抛物线的对称轴是 x 也是 M 的对称轴 连结 CE3 DE 是 M 的直径 DCE 90 直线 x 垂直平分 CE 3 E 点的坐标为 2 3 6 分3 AOC DOM 90 3 3 OD OM OC OA A B C D E F G M x y O ACO MDO 30 AC DE AC CB CB DE 又 FG DE FG CB 7 分 由 B 3 0 C 0 3 两点的坐标易求直线 CB 的解析式为 3 y 3 8 分x 3 3 可设直线 FG 的解析式为 y n 把 2 3 代入求得 n 5x 3 3 3 故直线 FG 的解析式为 y 5 9 分x 3 3 解法二 令 y 0 解 3 0 得xx 3 32 3 1 2 x1 x2 333 即 A 0 B 3 0 33 根据圆的对称性 易知 M 半径为 2 M 0 33 在 Rt BOC 中 BOC 90 OB 3 OC 33 CBO 30 同理 ODM 30 而 BME DMO DOM 90 DE BC DE FG BC FG EFM CBO 30 在 Rt EFM 中 MEF 90 ME 2 FEM 30 3 MF 4 OF OM MF 5 33 F 点的坐标为 5 0 3 在 Rt OFG 中 OG OF tan30 5 53 3 3 G 点的坐标为 0 5 直线 FG 的解析式为 y 5 解法二的评分标准参照解法一酌定 x 3 3 解法一 存在常数 k 12 满足 AH AP 12 10 分 连结 CP 由垂径定理可知 ACAD P ACH 或利用 P ABC ACO 又 CAH PAC ACH APC 即 AC2 AH AP 11 分 AC AP AH AC 在 Rt AOC 中 AC2 AO2 OC2 2 32 123 或利用 AC2 AO AB 4 1233 AH AP 12 12 分 解法二 存在常数 k 12 满足 AH AP 12 设 AH x AP y 由相交弦定理得 HD HC AH HP 即 33 33 2 xyxxx 化简得 xy 12 即 AH AP 12 解法二的评分标准参照解法一酌定 39 黑龙江 如图 在平面直角坐标系中 Rt ABC 的斜边 AB 在 x 轴上 AB 25 顶点 C 在 y 轴的 负半轴上 tan ACO 点 P 在线段 OC 上 且 PO PC 的长 PO PC 是关于 x 的方程 x2 3 4 2k 4 x 8k O 的两根 1 求 AC BC 的长 2 求 P 点坐标 3 在 x 轴上是否存在点 Q 使以点 A C P Q 为顶点的四边形是梯形 若存在 请直 接写出直线 PQ 的解析式 若不存在 请说明理由 A B C D E F G M x y P H O 解 1 ACB 900 CO AB ACO ABC tan ABC 3 4 Rt ABC 中 设 AC 3a BC 4a 1 分 则 AB 5a 5a 25 a 5 AC 15 1 分 BC 20 1 分 2 S ABC AC BC OC AB OC 12 1 分 1 2 1 2 PO PC 4 2k 12 k 4 1 分 方程可化为 x2 12x 32 O 解得 x1 4 x2 8 1 分 PO PC PO 4 P O 4 1 分 3 存在 直线 PQ 解析式为 y x 4 或 y 4 3 分 4 3 4 27 解析式答对一个得 2 分 答对两个得 3 分 40 宜昌宜昌 如图 1 已知 ABC 的高 AE 5 BC ABC 45 F 是 AE 上的点 G 40 3 是点 E 关于 F 的对称点 过点 G 作 BC 的平行线与 AB 交于 H 与 AC 交于 I 连接 IF 并延长交 BC 于 J 连接 HF 并延长交 BC 于 K 1 请你探索并判断四边形 HIKJ 是怎样的四边形 并对你得到的结论予以证明 2 当点 F 在 AE 上运动并使点 H I K J 都在 ABC 的三条边上时 求线段 AF 长的 取值范围 图 2 供思考用 第 23 题 解 1 点 G 与点 E 关于点 F 对称 GF FE 1 分 HI BC GIF EJF 又 GFI EFJ GFI EFJ GI JE 2 分 同理可得 HG EK HI JK 四边形 HIKJ 是平行四边形 3 分 注 说明四边形 HIJK 是平行四边形评 1 分 利用三角形全等说明结论的正确性评 2 分 C G I JE C B A B EK H F B A 2 1 2 当 F 是 AE 的中点时 A G 重合 所以 AF 2 5 4 分 如图 1 AE 过平行四边形 HIJK 的中心 F HG EK GI JE HG BE GI EC CE BE GI HG CK BJ 当点 F 在 AE 上运动时 点 K J 随之在 BC 上运动 图 1 如图 2 当点 F 的位置使得 B J 重合时 这时点 K 仍为 CE 上的某一点 不与 C E 重合 而且点 H I 也分别在 AB AC 上 6 分 这里为独立评分点 以上过程只要叙述大体清楚 说理较为明确即可评 2 分 不说明 者不评分 知道要说理但部分不正确者评 1 分 设 EF x AHG ABC 45 AE 5 BE 5 GI AG HG 5 2x CE 5 7 分 3 40 AGI AEC AG AE GI CE 图 2 5 2x 5 5 5 9 分 3 40 x 1 AF 5 x 4 AF 4 10 分 2 5 41 已知 以原点 O 为圆心 5 为半径的半圆与 y 轴交于 A G 两点 AB 与半圆相切于点 A 点 B 的坐标为 3 yB 如图 1 过半圆上的点 C xC yC 作 y 轴的垂线 垂足为 D Rt DOC 的面积等于 3 8 2 C x 1 求点 C 的坐标 2 命题 如图 2 以 y 轴为对称轴的等腰梯形 MNPQ 与 M1N1P1Q1的上底和下底都分 别在同一条直线上 NP MQ PQ P1Q1 且 NP MQ 设抛物线 y a0 x2 h0过 点 P Q 抛物线 y a1x2 h1过点 P1 Q1 则 h0 h1 是真命题 请你以 Q 3 5 P 4 3 和 Q1 p 5 P1 p 1 3 为例进行验证 当图 1 中的线段 BC 在第一象限时 作线段 BC 关于 y 轴对称的线段 FE 连接 BF CE 点 T 是线段 BF 上的动点 如图 3 设 K 是过 T B C 三点的抛物线 y ax2 bx c 的顶点 求 K 的纵坐标 yK的取值范围 第 25 题 C GI EK H F B A C G I J B EK H F B A 1 2 3 B O x y O x y T F E G y x A O C B P1 Q1M1 N1N MQ P 解 1 yB 5 半径 xCyC y2C 25 得 C 4 3 2 分和 C 4 3 3 分 2 13 8 2 C x 2 C x 2 过点 P 4 3 Q 3 5 的抛物线 y a0 x2 h0即为 y x2 得 h0 2 7 53 7 53 7 过 P1 p 1 3 Q1 p 5 的抛物线 y a1x2 h1即为 y 2 2 22105 2121 pp x pp h1 2 2105 21 pp p h0 h1 4 分 53 7 2 2105 21 pp p 2 73 3 7 21 pp p 2 73 3 7 21 pp p MQ M1Q1 其中 MQ 6 0 p 1 2M1Q1 3 可知 0 p 3 7p 3 0 2p 1 0 3 p 0 因而得到 h0 h1 0 证得 h0 h1 或者说明 2p 1 0 在 0 p 3 时总是大于 0 得到 h0 h1 0 5 2 143618pp 分 显然抛物线 y ax2 bx c 的开口方向向下 a 0 当 T 运动到 B 点时 这时 B T K 三点重合即 B 为抛物线的顶点 yK 5 6 分 将过点 T B C 三点的抛物线 y ax2 bx c 沿 x 轴平移 使其对称轴为 y 轴 这时 yK不 变 8 分 这里为独立评分点 则由上述 的结论 当 T 在 FB 上运动时 过 F 3