2012年高考数学二轮复习 专题5 第3讲 空间向量及其应用（理）同步练习 新人教A版

20122012 年高考数学二轮复习同步练习 专题年高考数学二轮复习同步练习 专题 5 5 立体几何立体几何 第第 3 3 讲讲 空空 间向量及间向量及其其应用 理 应用 理 一 选择题 1 以下命题中 不正确的命题个数为 已知A B C D是空间任意四点 则A B C D 0 B C D A 若 a a b b c c 为空间一个基底 则 a a b b b b c c c c a a 构成空间的另一个基底 对空间任意一点O和不共线三点A B C 若O x y z 其中x y z R R P OA OB OC 则P A B C四点共面 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 解析 由向量的加法运算知 正确 a a b b c c为空间一个基底 则a a b b c c为两两不共线的非零向量 不妨假设a a b b x b b c c y c c a a 即 1 y a a 1 x b b x y c c 0 0 a a b b c c不共面 Error 不存在实数x y使假设成立 故 正确 中若加入x y z 1 则结论正确 故 错误 2 如图ABCD A1B1C1D1是正方体 B1E1 D1F1 则BE1与DF1所成角的余弦值是 A1B1 4 A B 15 17 1 2 C D 8 17 3 2 答案 A 解析 取D为空间直角坐标系原点 DA DC DD1所在直线为x轴 y轴 z轴建立空 间直角坐标系 设AD 4 则B 4 4 0 E1 4 3 4 F1 0 1 4 0 1 4 0 1 4 BE1 DF1 15 BE1 DF1 17 BE1 DF1 cos 即异面直线BE1与DF1所成角的余弦值为 故选 A BE1 DF1 15 17 15 17 3 在 90 的二面角的棱上有A B两点 AC BD分别在这个二面角的两个面内 且都 垂直于棱AB 已知AB 5 AC 3 BD 4 则CD A 5 B 5 23 C 6 D 7 答案 A 解析 由条件知AC AB BD AB AC BD 又C C A B D A B D 2 C A B 2 C 2 A 2 B 2 CD A B D A B D 32 52 42 50 C 5 CD 5 D 22 4 如图所示 已知在直三棱柱ABO A1B1O1中 AOB AO 2 BO 6 D为A1B1的 2 中点 且异面直线OD与A1B垂直 则三棱柱ABO A1B1O1的高是 A 3 B 4 C 5 D 6 答案 B 解析 以 为x轴 y轴 z轴的正方向 建立直角坐标系O xyz 设直三 OA OB OO1 棱柱的高为h 则A1 2 0 h B 0 6 0 D 1 3 h 2 6 h 1 3 h A1B OD 又 2 1 6 3 h2 0 h 4 或h 4 舍 故选 B A1B OD 5 2011 山东济南 已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等 A1在底面ABC 内的射影为 ABC的中心 则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 A B 1 3 2 3 C D 3 3 2 3 答案 B 解析 如图 设A1在面ABC内的射影为O 以O为坐标原点 OA OA1分别为x轴 z轴建立空间直角坐标系 设 ABC边长为 1 则A 0 0 B1 3 3 3 2 1 2 6 3 AB1 5 3 6 1 2 6 3 面ABC的法向量n n 0 0 1 则AB1与底面ABC所成角 的正弦值为 sin cos n n AB1 6 3 75 36 1 4 6 9 2 3 6 如图所示 在四面体P ABC中 PC 平面ABC AB BC CA PC 那么二面角 B AP C的余弦值为 A B 2 2 3 3 C D 7 7 5 7 答案 C 解析 如图 作BD AP于D 作CE AP于E 设AB 1 则易得CE EP PA PB AB 1 2 2 2 22 可以求得BD ED 14 4 2 4 BC BD DE EC 2 2 2 BC2 BD2 DE2 EC2 BD DE DE EC EC BD EC BD 1 4 cos DB EC 7 7 7 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 1 AA1 2 E是侧棱BB1的中点 则直线AE 与平面A1ED1所成角的大小为 A 60 B 90 C 45 D 以上都不正确 答案 B 解析 以点D为原点 DA DC DD1分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角 坐标系 由题意知 A1 1 0 2 E 1 1 1 D1 0 0 2 A 1 0 0 0 1 1 1 1 1 A1E D1E 设平面A1ED1的一个法向量为n n x y z 则Error Error 令z 1 得y 1 x 0 所以n n 0 1 1 cos 1 A n n E A n n E A 2 2 2 所以 180 所以直线AE与平面A1ED1所成的角为 90 A 8 正四棱锥S ABCD的侧棱长为 底面的边长为 E是SA的中点 则异面直线BE 23 和SC所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 设S在底面的射影为O 以O为原点 建立空间直角坐标系O xyz如图 则AO OS 6 2 2 6 4 2 2 A 0 0 S 0 0 C 0 0 6 2 2 2 6 2 E点坐标为 0 B 0 0 6 4 2 4 6 2 B S 0 E 6 4 6 2 2 4 C 6 2 2 2 cos E C B E S C B E S C 1 2 120 E C 异面直线BE与SC的夹角为 60 二 填空题 9 如图所示 平行六面体A1B1C1D1 ABCD中 M分A所成的比为 N分所成的比 C 1 2 A1D 为 2 设A a a A b b c c 试用a a b b c c表示M为 B D AA1 N 答案 a a b b c c 1 3 1 3 1 3 解析 M M N A AA1 A1N A 1 3 C AA1 2 3A1D A A 1 3 B D AA1 2 3 A1A A1D1 A A 1 3 B 1 3 D 1 3AA1 a a b b c c 1 3 1 3 1 3 10 2011 郑州模拟 底面是正方形的四棱锥A BCDE中 AE 底面BCDE 且 AE CD a G H分别是BE ED的中点 则GH到平面ABD的距离是 答案 a 3 6 解析 建立如图所示的坐标系 则有A 0 0 a B a 0 0 G 0 0 a 2 D 0 a 0 设平面ABD的法向量为n n x y z 由题意知GH BD 则有GH 面ABD 所以GH到平面ABD的距离等于G点到平面ABD的 距离 设为d a 0 a a a 0 0 0 AB BD GB a 2 由Error 得Error n n 1 1 1 d GB n n n n a 2 3 a 2 3 3a 6 11 2009 四川理 15 如图 已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相等 M是侧棱 CC1的中点 则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 答案 90 解析 作AD BC垂足为D 连结B1D 则AD 平面BC1 在正方形BB1C1C中可证 B1BD BCM B1DB MBC 90 B1D BM 由三垂线定理得B1A BM 故异面直线AB1与BM成 90 角 也可以建立如图所示空间直角坐标系 向量法求解 12 在四面体ABCD中 AB 1 AD 2 BC 3 CD 2 ABC DCB 则二面 3 2 角A BC D的大小等于 答案 3 解析 如图 因 ABC DCB 所以AB BC DC BC 因此向量B C的夹角 2 A D 就是二面角A BC D的大小 而B C B B B A D A D C B B B B B B 又BD A D A C A D 13 所以 DAB 2 于是B C B B 1 1 A D A D 13 1 13 所以 cos A D 1 1 2 1 2 故二面角A BC D的大小等于 3 三 解答题 13 2011 辽宁理 18 如图 四边形ABCD为正方形 PD 平面 ABCD PD QA QA AB PD 1 2 1 证明 平面PQC 平面DCQ 2 求二面角Q BP C的余弦值 解析 如图 以D为坐标原点 线段DA的长为单位长 射线OA为x轴的正半轴建立 空间直角坐标系D xyz 1 依题意有Q 1 1 0 C 0 0 1 P 0 2 0 则 1 1 0 0 0 1 1 1 0 DQ DC PQ 所以 0 0 PQ DQ PQ DC 即PQ DQ PQ DC 故PQ 平面DCQ 又PQ 平面PQC 所以平面PQC 平面DCQ 2 依题意有B 1 0 1 1 0 0 1 2 1 CB BP 设n n x y z 是平面PBC的法向量 即Error 即Error 因此可取n n 0 1 2 设m m是平面PBQ的法向量 则Error 可取m m 1 1 1 所以 cos m m n n 15 5 故二面角Q BP C的余弦值为 15 5 14 2011 北京理 16 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 底面ABCD是菱 形 AB 2 BAD 60 1 求证 BD 平面PAC 2 若PA AB 求PB与AC所成角的余弦值 3 当平面PBC与平面PDC垂直时 求PA的长 解析 1 因为四边形ABCD是菱形 所以AC BD 又因为PA 平面ABCD 所以PA BD 因为PA AC A 所以BD 平面PAC 2 设AC BD O 因为 BAD 60 PA AB 2 所以BO 1 AO CO 3 如图 以O为坐标原点 建立空间直角坐标系O xyz 则 P 0 2 3 A 0 0 B 1 0 0 3 C 0 0 3 所以 1 2 PB 3 0 2 0 AC 3 设PB与AC所成角为 则 cos PB AC PB AC 6 2 2 2 3 6 4 3 由 2 知 1 0 BC 3 设P 0 t t 0 则 1 t 3 BP 3 设平面PBC的法向量m m x y z 则 m m 0 m m 0 BC BP 所以Error 令y 则x 3 z 所以m m 3 3 6 t3 6 t 同理 平面PDC的法向量n n 3 3 6 t 因为平面PBC 平面PDC 所以m m n n 0 即 6 0 解得t 36 t26 所以PA 6 15 2010 江西理 20 如图 BCD与 MCD都是边长为 2 的正三角形 平面MCD 平 面BCD AB 平面BCD AB 2 3 1 求点A到平面MBC的距离 2 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值 解析 解法一 1 取CD中点O 连OB OM 则OB OM OB CD MO CD 3 又平面MCD 平面BCD 则MO 平面BCD 所以MO AB MO 平面ABC M O到平面 ABC的距离相等 作OH BC于H 连MH 则MH BC 求得OH OC sin60 3 2 MH 3 2 3 2 2 15 2 设点A到平面MBC的距离为d 由VA MBC VM ABC得 S MBC d S ABC OH 1 3 1 3 即 2 d 2 2 1 3 1 2 15 2 1 3 1 23 3 2 解得d 2 15 5 2 延长AM BO相交于E 连CE DE CE是平面ACM与平面BCD的交线 由 1 知 O是BE的中点 则四边形BCED是菱形 作BF EC于F 连AF 则AF EC AFB就是二面角A EC B的平面角 设为 因 为 BCE 120 所以 BCF 60 BF 2sin60 3 tan 2 sin AB BF 2 5 5 则所求二面角的正弦值为 2 5 5 解法二 取CD中点O 连OB OM 则OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 则MO 平面BCD 取O为原点 直线OC BO OM为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系如 图 OB OM 则各点坐标分别为C 1 0 0 M 0 0 B 0 0 333 A 0 2 33 1 设n n x y z 是平面MBC的法向量 则 1 0 0 BC