2012《新高考全案》高考数学 17-2课外学生练与悟 人教版

用心 爱心 专心 1 第第 1717 章章 第第 2 2 讲讲 一 选择题 1 设函数f x 定义如下表 数列 xn 满足x0 5 且对任意自然数n均有xn 1 f xn 则x2004的值为 x12345 f x 41352 A 1 B 2 C 4 D 5 解析 x1 f x0 f 5 2 x2 f x1 f 2 1 x3 f x2 f 1 4 x4 f x3 f 4 5 x5 f x4 f 5 2 x6 f x5 f 2 1 猜想f x 是以 4 为周期的周期函数 x2004 f x2003 f x3 5 故选 D 答案 D 2 2010 山东 10 观察 x2 2x x4 4x3 cosx sinx 由归纳推理可 得 若定义在 R R 上的函数f x 满足f x f x 记g x 为f x 的导函数 则g x A f x B f x C g x D g x 解析 g x f x f x x f x g x 故选 D 答案 D 3 下列在向量范围内成立的命题类比地推广到复数范围内 仍然为真命题的个数是 a a b b a a b b a a b b a a b b a a2 0 a a b b 2 a a2 2a a b b b b2 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 4 给出下列三个类比结论 用心 爱心 专心 2 ab n anbn与 a b n类比 则有 a b n an bn loga xy logax logay与 sin 类比 则有 sin sin sin a b 2 a2 2ab b2与 a a b b 2类比 则有 a a b b 2 a a2 2a a b b b b2 其中结论正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 正确 答案 B 5 2007 广州一模 如图 面积为S的平面凸四边形的第i 条边的边长记为ai i 1 2 3 4 此四边形内任一点P到第i条边 的距离记为hi i 1 2 3 4 若 k 则 ihi a1 1 a2 2 a3 3 a4 4 4 i 1 类比以上性质 体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为 2S k Si i 1 2 3 4 此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi i 1 2 3 4 若 S1 1 S2 2 K 则 iHi S3 3 S4 4 4 i 1 A B 4V K 3V K C D 2V K V K 解析 V三棱锥 S1H1 S2H2 S3H3 S4H4 1 3 K H1 2H2 3H3 4H4 K iHi 1 3 1 3 4 i 1 iHi 故选 B 4 i 1 3V K 答案 B 6 2009 湖北 10 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 用心 爱心 专心 3 他们研究过上图 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图 中的 1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形 数的是 A 289 B 1024 C 1225 D 1378 解析 根据图形的规律可知第n个三角形数为an 第n个正方形数为 n n 1 2 bn n2 由此可排除 D 1 378 不是平方数 将 A B C 选项代入到三角形表达式中检验可知 符合题意的是 C 选项 答案 C 二 填空题 7 在平面几何中 ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比 把这个结论类比 AE EB AC BC 到空间 在三棱锥A BCD中 如图所示 而DEC平分二面角A CD B且与AB相交于E 则 得到的类比的结论是 解析 由类比推理可知 答案 AE EB S ACD S BCD 8 2010 福建 16 观察下列等式 cos2 2cos2 1 cos4 8cos4 8cos2 1 cos6 32cos6 48cos4 18cos2 1 cos8 128cos8 256cos6 160cos4 32cos2 1 cos10 mcos10 1 280cos8 1 120cos6 ncos4 pcos2 1 用心 爱心 专心 4 可以推测 m n p 解析 各式第一项系数依次为 2 23 25 27 m 依规律可得m 29 512 各式中 cos2 的系数依次为 2 12 2 22 2 32 2 42 p 由规律推出p 2 52 50 由各式系数和为 1 可推出n 400 则m n p 962 答案 962 9 已知圆的方程是x2 y2 r2 则经过圆上一点M x0 y0 的切线方程为x0 x y0y r2 类比上述性质 可以得到椭圆 1 类似的性质为 x2 a2 y2 b2 解析 圆的性质中 经过圆上一点M x0 y0 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y分别用M x0 y0 的横坐标与纵坐标替换 故可得椭圆 1 类似的性质为 x2 a2 y2 b2 过椭圆 1 上一点P x0 y0 的切线方程为 1 x2 a2 y2 b2 x0 x a2 y0y b2 答案 过椭圆 1 上一点P x0 y0 的切线方程为 1 x2 a2 y2 b2 x0 x a2 y0y b2 10 在 Rt ABC中 两直角边分别为a b 设h为斜边上的高 则 由此类 1 h2 1 a2 1 b2 比 三棱锥S ABC中的三条侧棱SA SB SC两两垂直 且长度分别为a b c 设棱锥底 面ABC上的高为h 则得出的正确结论为 解析 在 Rt ABC中 CD为斜边AB边上的高 则CD AB AC BC 1 CD AB AC BC 故 1 h2 1 CD2 AB2 AC2 BC2 a2 b2 b2 a2 1 a2 1 b2 在三棱锥S ABC中 由SA SB SC两两垂直得 VS ABC VC SAB 即hSABC SA SB SC 1 3 1 3 1 2 1 h2 4S ABC2 SA2 SB2 SC2 4 S SAB2 S SBC2 S SAC2 a2b2c2 1 a2 1 b2 1 c2 用心 爱心 专心 5 答案 1 h2 1 a2 1 b2 1 c2 三 解答题 11 用三段论证明函数y x2 2x在 1 上是增函数 证明 任取x1 x2 1 且x1 x2 f x1 f x2 x12 2x1 x22 2x2 x2 x1 x2 x1 2 因为x1 x2 所以x2 x1 0 因为x1 x2 1 x1 x2 所以 x2 x1 2 0 因此 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 于是根据 三段论 得f x x2 2x在 1 上是增函数 12 已知椭圆具有性质 若M N是椭圆C上关于原点对称的两个点 点P是椭圆上任 意一点 当直线PM PN的斜率都存在 并记为kPM kPN时 那么kPM与kPN之积是与点P的位 置无关的定值 试对双曲线 1 写出具有类似特性的性质 并加以证明 x2 a2 y2 b2 解 类似的性质为 若M N是双曲线 1 上关于原点对称的两个点 点P是双 x2 a2 y2 b2 曲线上任意一点 当直线PM PN的斜率都存在 并记为kPM kPN时 那么kPM与kPN之积是与 点P的位置无关的定值 证明如下 设点M P的坐标分别为 m n x y 则N m n 因为点M m n 在已知双曲线上 所以n2 m2 b2 同理y2 x2 b2 b2 a2 b2 a2 则kPM kPN y n x m y n x m y2 n2 x2 m2 定值 b2 a2 x2 m2 x2 m2 b2 a2