2012年高考数学 考前金题100例

用心 爱心 专心 1 金 题1 0 0 例 1 若复数 2i1 i 3 a z R a i 是虚数单位 且z是纯虚数 则 i 2 a C A 5B 52C 102D 40 2 给出 30 个数 1 2 4 7 其规律是 D 第 1 个数是 1 第 2 个数比第 1 个数大 1 第 3 个数比第 2 个数大 2 第 4 个数比第 3 个数大 3 以此类推 要计算这 30 个数的和 现已给出了该问题的程 序框图如图所示 那么框图中判断框 处和执行框 处应分别 填入 D A 30 i 1 ipp B 29 i 1 ipp C 31 i ipp D 30 i ipp 3 已知函数cbxaxxxf 2 2 1 3 1 23 函数 xf在区间 1 0 内取极大值 在 2 1 内取极小值 则 1 2 a b M的取值范围是 B A 4 1 B 1 4 1 C 1 4 1 D 4 1 4 如图是一个几何体的三视图 尺寸如图所示 单位 cm 则这个几何体的体积是 C A 3610 cm3 B 3511 cm3 C 3612 cm3 D 3413 cm3 5 从数字 0 1 2 3 4 5 中任取三个不同的数作为二次函数cbxaxy 2 的系数 则 与x轴有公共点的二次函数的概率是 A A 50 17 B 50 13 C 2 1 D 5 4 6 已知向量jibjiaji 2 1 0 0 1 且a 与b 的夹角为锐角 则实数 的取值范围为 A A 2 1 2 2 B 2 1 C 2 1 2 D 2 用心 爱心 专心 2 7 设nm 是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列四个命题 若 nm 则nm 若 则 若 nm 则nm 若 m 则 m其中正确命题的序号是 D A 和 B 和 C 和 D 和 8 由双曲线1 169 22 yx 上的一点 P 与左右两焦点 F1 F2构成 21F PF 则 21F PF 的 内切圆与x轴切点 N 的坐标为 A A 0 3 或 0 3 B 0 3 C 0 3 D 0 2 或 0 2 9 关于x的函数 sin xxf有以下命题 2 xfxfx R 1 xfxf R xfR 都不是偶函数 R 使 xf是奇函数 其中假命题的序号是 A A B C D 10 已知 2 1 2 2 1 2 xxna a am 则nm 之间的大小关系为 C A nm B nm C nm D nm 11 若圆012 22 yaxyx与圆1 22 yx关于直线1 xy对称 过点 aaC 的圆 P 与y轴相切 则圆心 P 的轨迹方程为 C A 0844 2 yxyB 0222 2 yxy C 0844 2 yxyD 012 2 yxy 12 已知qpxxxf 2 和 x xxg 4 都是定义在 2 5 1 xxA上的函数 对 任意的Ax 存在常数Ax 0 使得 00 xgxgxfxf 且 00 xgxf 则 xf在A上的最大值为 C A 2 5 B 4 17 C 5D 41 40 13 已知直线1 xy与抛物线 0 2 2 pppxyR交于 A B 两点 且 OBOAOBOA 其中 O 为坐标原点 则实数p的值为 A A 2 1 B 2C 2 1 或 2D 6或6 14 若函数 xfy 的图象如图所示 则 xf的解析式可以是 C A xxxf2 2 B xxxf2 2 C 23 3 1 xxxf D 23 3 1 xxxf 15 已知命题 n anP n n 1 1 2 1 N 若该命题为真 则实数a的取值范 围是 A 用心 爱心 专心 3 A 2 3 2 B 2 3 2 C 2 3 3 D 2 3 3 16 函数mxxf 2 在区间 4 1 上有零点的一个充分不必要条件是 C A 方程 xf 0 在区间 1 4 上有实数根 B 8 2 m C 6 2 m D 4 1 m 17 如果命题 p或q 是假命题 则下列命题中正确的是 B A qp 均为真命题B qp 中至少有一个为真命题 C qp 均为假命题D qp 中至多有一个为真命题 18 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 1 e 右焦点为 0 cF 方程 0 2 cbxax的两个实根分别为 21 x x则点 21 xxP A A 必在圆2 22 yx内B 必在圆2 22 yx上 C 必在圆2 22 yx外D 以上三种情况都有可能 19 数列 n a是等比数列 且每一项都是正数 若 491 a a是0672 2 xx的两个根 则 49482521 aaaaa 的值为 B A 2 21 B 39C 39 D 5 3 20 将一骰子连续抛掷三次 它落地时向上的点数依次成等比数列的概率为 C A 6 1 B 36 1 C 27 1 D 18 1 21 若实数yx 满足 11 3399 yxyx 则 yx 33 的取值范围是 C A 30 B 60 C 63 D 6 22 如图是某赛季甲 乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶 图 则甲 乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 C A 62B 63 C 64D 65 23 在ABC 中 已知BCAsin2sinsin 且 6 B 若 ABC 的面积为 2 1 则B 的对边b等于 D A 31 B 33 C 32 D 3 3 1 24 根据下面的列联表 嗜酒不嗜酒总计 患肝病7775427817 未患肝病2099492148 总计9874919965 得到如下几个判断 有 99 9 的把握认为患肝病与嗜酒有关 有 99 的把握认为患 用心 爱心 专心 4 肝病与嗜酒有关 认为患肝病与嗜酒有关的可能为 1 认为患肝病与嗜酒有关出错的可 能为 10 其中正确命题的个数为 C A 0B 1C 2D 3 25 已知点 F 是双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点 点 E 是该双曲线的右顶点 过 F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A B 两点 若ABE 是锐角三角形 则该双曲线的离 心率e的取值范围是 B A 1 B 1 2 C 21 1 D 21 2 26 自圆0442 22 yxyxC外一点 4 0 P向圆引两条切线 切点分别为 A B 则 PBPA C A 5 6 B 5 54 C 5 12 D 5 58 27 已知 1 1 2 2 1 N xf xf xf xf 猜想 xf的表达式为 B A 22 4 x xfB 1 2 x xf C 1 1 x xfD 12 2 x xf 28 在如图所示的程序框图中 当输出的t的值最大时 n的值等于 C A 6 B 7 C 6 或 7 D 8 29 如图 三棱锥 P ABC 的高 PO 8 AC BC 3 NMACB 30 分别在 BC 和 PO 上 且CMPNxCM2 则下面四个图象中大致描绘了三棱锥 N AMC 的体积 V 与 3 0 xx变化关系的是 A 用心 爱心 专心 5 30 如果点 P 到点 3 2 1 0 2 1 BA及到直线 2 1 x的距离都相等 那么满足该条件的点 P 的个数是 B A 0 个B 1 个C 2 个D 无数个 31 曲线xycos2 在 4 x处的切线方程是0 4 1 yx 32 已知双曲线1 2 n y m x 的一条渐近线方程为xy 3 4 则该双曲线的离心率e为 4 5 3 5 或 33 类比平面内正三角形的 三边相等 三内角相等 的性质 可推知正四面体的一些 性质 各棱长相等 同一顶点上的两条棱的夹角相等 各下面都是全等的正三角形 相邻 两个面所成二面角相等 各个面都是全等的正三角形 同一顶点上的任何两条棱夹角相等 你认为比较合适的是 34 已知yx 是实数且满足1cossin yx 则 cos yx 0 35 在 R 上的可导函数 xf满足 0 0 0 xf xf 则 1 2 ff xf不可能是奇函数 函数 xxfy 在 R 上为增函数 存在区间 ba 对任意 21 baxx 都有 2 2 2121 xfxfxx f 成立 其中正确命题的序号为 将所有正确命题的序号都填上 36 设 分别是方程01 2 xx和01 2 xx的根 若 则 ln 的 值等于 0 37 在ABC 中 G 是ABC 的重心 且0 3 3 GCcGBbGAa 其中cba 分别是 A B C 的对边 则 A 30 38 观察下列等式 3 16 4 3 4 3 16 4 3 4 2 9 3 2 3 2 9 3 2 3 42 1 2 42 1 2 根据这些等式反映的 结果 可以得到一个关于自然数n的等式 这个等式可以表示为 1 1 1 1 N nn n n n n n 39 在斜坐标系xOy中 21 45eexOy 分别是x轴 y轴的单位向量 对于坐标平 面内的点p 如果 11 eyexOP 则 yx叫做点p的斜坐标 1 已知点p的斜坐标为 1 2 则 OP5 2 在此坐标平面内 以 O 为原点 半径为 1 的圆的方程是 45cos2 22 xyyx 40 一个长方形的各顶点均在同一球的表面上 且一个顶点上的三条棱长为 2 2 3 则 此球的表面积为 17 41 给出下列命题 函数 10 aaay x 且与函数 10 log aaay x a 且的定义 用心 爱心 专心 6 域相同 函数 3 xy 与函数 x y3 的值域相同 使函数 2 1 x ax y在区间 2 上为增 函数a的取值范围是 2 1 其中错误命题的序号是 42 已知向量 3sin cos sin 3 cos xxbxxa 若baxfx 3 2 则 函数 xf的单调增区间为 3 4 9 43 在 RtABC 中 两直角边分别为ba 设h为斜边长的高 则 222 111 bah 由此 类比 三棱锥ABCS 中的三条侧棱 SA SB SC 两两垂直 且长度分别为cba 设棱锥底 面 ABC 上的高为h则 2222 1111 cbah 44 下列三个命题 1 k 是 函数kxkxy 22 sincos 的最小正周期为 的充要条件 3 a 是 直线032 ayax与直线7 1 3 ayax相互垂直 的充要条件 函数 3 4 2 2 x x y的最小值为 2 其中假命题的为 将你认为是假命题的序号都填上 45 已知函数xxaxaxf 2 sin2 3 sin 3 sin 其中ax 0 为常数 1 当 2 1 3 sin x时 求 xf的值 2 当使0 xf恒成立时a的最小值 解析 1 0 x 3 2 3 3 x由 2 1 3 sin x得 63 x 即 2 x此时 2 2 2 1 2 1 2 aaafxf 2 已知函数化为 3 sincos 3 cos sin 3 sincos 3 cos sin xxaxxaxf sin2sinsin2 22 xxax 在 0 x上 0 xf恒成立 即0sin2sin 2 xxa恒成立 而0sin x 所以只需0sin2 xa 即xasin2 恒成立 故只需2 sin2 max xa成立 即可 所以使0 xf在 0 x上恒成立时a的最小值为 2 46 ABC 中 cba 分别是角 A B C 的对边 向量 2cos2 sin2 BBm 1 24 sin2 2 nm B n 用心 爱心 专心 7 1 求解 B 的大小 2 若1 3 ba 求c的值 解析 1 nm 0 nm 022cos 24 sinsin4 2 B B B 022cos 2 cos 1 sin2 BBB 02sin21sin2sin2 22 BBB 2 1 sin B B0 6 B或 6 5 2 13 ba 此时 6 B 由余弦定理得 Baccabcos2 222 023 2 cc 2 c或 1 c 47 在ABC 中 设内角 A B C 的对边分别为cba 向量 cos sin2 sin cosAAnAAm 若 2 nm 1 求角的大小 2 若24 b且ac2 求ABC 的面积 解析 1 4 cos 44 sin cos224 cos sin sin2 cos 222 A AAAAAAnm 4 4 cos 44 A 0 4 cos A A 为三角形的内角 4 A 2 由余弦定理知 cos2 222 Abccba 即 4 cos2242 2 24 222 aaa 解得24 a 8 c 16 2 2 824 2 1 sin 2 1 AbcS ABC 48 已知向量 0 1 sin 2cos cos2 xbxxa 令baxf 且 xf的 周期 1 求 4 f的值 2 写出 xf在 2 2 上的单调递增区间 用心 爱心 专心 8 解析 1 4 2sin 2cos2sin2cossincos2 xxxxxxbaxf xf的周期为 1 4 2sin 2 xxf 1 2 cos 2 sin 4 f 2 4 2sin 2 xxf 当 2 24 22 2 Z kkxk 时 xf单调递增 即 8 3 Z kkxk 而 2 2 x 故 xf在 2 2 上的单调递增区间为 8 8 3 49 已知集合 0 84 3 2 2 xxxP 1 函数Pxtxxxf 2cos32 4 sin4 2 的最小值为 3 求t的值 2 若不等式 2xfm 在Px 上恒成立 求实数m的取值范围 解析 1 因为 2 3 2sin 4 22cos322sin22cos32 2 cos 1 2 tx txxtxxxf 由 0 84 3 2 2 xxxP 可得 24 x 所以 3 2 3 2 6 x 则有1 3 2sin 2 1 x 因为函数 Pxtxxxf 2cos32 4 sin4 2 的最小值为 3 所以32 2 1 4 t 解得 1 t 2 因为 2xfm 在Px 上恒成立由已知可得32 m 得1 m 故m的取值 范围是 1 50 向量 sin2 sin cos 0 cos3 cos sinxxxnxxxm 函数 tnmxf 若 xf图象上相邻两个对称轴间的距离为 2 3 且当 0 x时 函数 xf的最小值为 0 1 求函数 xf的表达式 2 在ABC 中 若1 Cf 且 cos cossin2 2 CABB 求Asin的值 解析 1 用心 爱心 专心 9 xtxxxxtnmxf w 2cossincos32sincos 2 6 2sin 22sin3txtx 依题意 xf的周期 3 T 且0 3 2 2 T 3 1 txxf 63 2 sin 2 0 x 6 5 63 2 6 x 1 63 2 sin 2 1 x xf的最小值为1 t 即01 t 1 t 1 63 2 sin 2 xxf 2 11 63 2 sin 2 CCf 1 63 2 sin C 又 0 C 2 C 在ABCRt 中 2 BA cos cossin2 2 CABB 0 1sinsin sinsincos2 22 AAAAA 解得 2 51 sin A 又 1sin0 A 2 15 sin A 51 如图 已知在三棱锥 A BPC 中 MBCACPCAP 为 AB 中点 D 为 PB 中点 且PMB 为正三角形 1 求证 DM 平面 APC 2 求证 平面 ABC平面 APC 3 若 BC 4 AB 20 求三棱锥 D BCM 的体积 解析 证明 1 M为 AB 的中点 D 为 PB 的中点 APMD 又 DM平面 APC AP平面 APC DM平面 APC 2 PMB 为正三角形 D 为 PB 中点 PDMD APMD PBAP 又 PPBPCPCAP AP平面 PBC BC平面PBC BCAP 又 BC平面 ABC 平面 ABC平面 APC 3 AP平面 PBC AP为三棱锥PBCA 的高 APMD MD平面PBC MD为三棱锥PBCM 的高 M 为 AB 的中点 D 为 PB 的中点 MDAP2 PBCMPBCA VV 2 BCDMPCDM VV PBCADBCM VV 4 1 用心 爱心 专心 10 4 20 BCAB 310 212 10 APPCPB 740 PBCA V 710 DBCM V 即 710 BCMD V 52 已知关于x的一元二次函数 1 4 2 bxaxxf 设集合 5 4 3 2 1 1 P和 4 3 2 1 1 2 Q 分别从集合 P 和 Q 中任取一个数作为 a和b 求函数 xfy 在区间 1 上是增函数的概率 解析 函数14 2 bxaxxf的图象对称轴为 a b x 2 要使函数 14 2 bxaxxf在区间 1 上为增函数 当且仅当0 a且1 2 a b 即ba2 时为增函 数 若1 a 则1 2 b 若2 a 则1 1 2 b 若3 a 则1 1 2 b 若4 a 则2 1 1 2 b 若5 a 则2 1 1 2 b 事件包含基本事件的个数是1644332 所求事件的概率为 9 4 36 16 53 1 在区间 4 0 上随机取出两个整数nm 求关于x的一元二次方程 0 2 mxnx有实数根的概率 2 在区间 4 0 上随机取两个数nm 求关于x的一元二次方程0 2 mxnx的实 数根的概率 解析 方程0 2 mxnx有实数根 0 4 mn 1 由于 4 0 nm且nm 是整数 因此 nm 的可能取值共有 25 组 又满足mn4 的分别为 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 n m n m n m n m n m 共 6 组 因此有实数根的 概率为 25 6 2 如图由于 40 40 n m 对应的区域面积为 16 而不等式组 40 40 04 n m mn 表示为阴影部分区域 面积为 2 因此有实数根的概率为 8 1 正方形 阴影 S S 54 已知集合 QPMnnnyyQxxxxP 21 12 0 2410 2 N 在平面直 角坐标系中 点 yx 的坐标MyMx 试计算 1 点 A 正好在第三象限的概率 用心 爱心 专心 11 2 点 A 不在y轴上的概率 3 点 A 正好落在区域10 22 yx上的概率 解析 由集合 0 2410 2 xxxxP可得 0 4 6 P 由 21 12 N nnnyyQ可得 3 1 0 4 6 3 1 QPMQ 因为点 yxA 的坐标 MyMx 所以满足条件的 A 点共有2555 个 1 正好在第三象限点有 4 4 4 6 6 4 6 6 故点 A 正好在第三象限的 概率 25 4 1 P 2 在y轴上的点有 3 0 1 0 0 0 4 0 6 0 故点 A 不在y轴上的概率 5 4 25 5 1 2 P 3 正好落在10 22 yx上的点有 3 0 0 3 3 1 1 3 1 0 0 1 0 0 故 A 落在 10 22 yx上的概率为 25 7 3 P 55 A 是满足不等式组 40 40 y x 的区域 B 是满足不等式组 4 4 4 yx y x 的区域 区域 A 内的点 P 的坐标为 yx 1 当R yx 时 求BP 的概率 2 当Z yx 时 求BP 的概率 解析 画出不等式组 40 40 y x 表示的可行域如图所示 其中 4 0 4 4 0 4 FED 区域 B 为图中阴影部分 1 当R yx 时 事件 BP 的概率为 2 1 DEF PEF S S 2 当Z yx 时 A 中含整点个数BN 2555 中含整点个数 15 2 N从而事件 BP 的概率为 5 3 25 15 0 N N 即 当R yx 时 BP 的概率为 2 1 当Z yx 时 BP 的概率为 5 3 56 有朋自远方来 他乘飞机 火车 汽车 轮船来的概率分别为 0 4 0 3 0 2 0 1 1 求他乘飞机或火车来的概率 2 求他不乘汽车来的概率 解析 记 他乘飞机来 为事件 A 他乘火车来 为事件 B 他乘汽车来 为事件 用心 爱心 专心 12 C 他乘轮船来 为事件 D 由于事件 A B C D 不可能两两同时发生 因此它们彼此互斥 依题意 有 1 0 2 0 3 0 4 0 DPCPBPAP 1 记 他乘飞机或火车来 为事件 E 则 BAE 由于事件 A 与事件 B 互斥 所以 7 03 04 0 BPAPBAPEP即他乘 飞机或火车来的概率为 0 7 2 记 他不乘汽车来 为事件 F 则事件 C 与事件 F 是对立事件 所以 8 02 01 1 CPFP 即他不乘汽车来的概率为 0 8 57 如图 ABCDBCBCD 1 90面 60 ADBBCD E F 分别是 AC AD 上的动点 且 10 AD AF AC AE 1 求证 面 BEF面ABC 2 当 为何值时 面 BEF ACD 解析 1 证明 AB面 BCD DCAB 又BCDC 且BBCAB 得 DC面 ABC 由 AD AF AC AE 得 CDEF EF面 ABC 又 EF面 BEF 故面 BEF面 ABC 2 由 DC面 ABC 可得 BEDC EFBE 若面 BEF面 ACD 则 BE面 ACD ACBE 由1 CDBC 且 90BCD 得2 BD 又 60ADB得 6 AB 在ABC 中 7 AC 由 7 6 2 AEACAEAB 此时 7 6 AC AE 故当 7 6 时 面 BEF面 ACD 58 如图 已知直四棱柱 1111 DCBAABCD 的底面是菱形 FEB 60 分别是棱 1 CC与 1 BB上的点 且 GFBBCEC 2 为 AE 的中点 1 求证 GF平面 ABCD 2 求证 平面 AEF平面 11 CCAA 证明 1 如图 连结 BD 交 AC 于 O 连接 GO 因为 G 为 AE 中 点 所以 OG 2 1 EC 因为 BF 2EC 所以 BF 2 1 EC 所以 OGBF 所以 MOBF 是平行四边形 所以 GF OB 因为 OB 平面 ABCD GF 平面 ABCD 所以 GF 平面 ABCD 2 在直四棱柱 1111 DCBAABCD 中 OBCC 1 又因为底 面 ABCD 为菱形 所以ACOB 得 OB平面 AA1CC1 因为 GF OB 所以 GF平面 AA1CC1 又 GF平面 AEF 所以 AEF 平面 AA1CC1 用心 爱心 专心 13 59 如图 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直 MAFAB 1 2 是 线段 EF 的中点 1 求证 AM 平面 BDE 2 求证 AM 平面 BDF 解析 1 连结 BD AC BD AC O 连结 EO O M 为中点 且四边形 ACEF 为矩形 所以 EM OA EM OA 四边形 EOAM 为平行四边形 AM EO EO平面 BDE AM平面 BDE AM 平面 BDE 2 连结 OF AC 2 2 AB AO AF 1 四边形 OAFM 为正方形 OFAM 又ACBD 面 ABCD面 ACEF 则 BD平面 ACEF AM平面 ACEF BDAM 由 知 AM平面 BDF 60 如图四边形 ABCD 为矩形 AD平面 ABE AE EB BC 2 F 为 CE 上的点 且 BF平面 ACE 1 求证 BEAE 2 求三棱锥 D AEC 的体积 3 设 M 在线段 AB 上 且满足 AM 2MB 试在线段 CE 上确定 一点 N 使得 MN 平面 DAE 解析 1 ABEAD平面 BCAD ABEBC平面 则BCAE 又 ACEBF平面 则BFAE BCEAE平面 又BCEBE平面 BCAE 2 3 4 222 3 1 ADCEAECD VV 3 在三角形 ABE 中过 M 点作 MG AE 交 BE 于 G 点 在三角形 BEC 中过 G 点作 GN BC 交 EC 于 N 点 连 MN 则由比例关系易得 CN CE 3 1 MG AE MG 平面 ADE AE 平面 ADE MG 平面 ADE 同理 GN 平面 ADE 平面 MGN 平面 ADE 又 MN 平面 MGN MN 平面 ADE N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点 61 如图 已知在棱柱 1111 DCBAABCD 的底面是菱形 且 1 AA面 ABCD FAAADDAB 1 60 1 为棱 1 AA的中点 M 为线段 1 BD的中点 1 求证 MF面 ABCD 2 试判断直线MF与平面 11B BDD的位置关系 并证明 你的结论 3 求三棱锥BDFD 1 的体积 解析 1 连结 AC BD 交于点 O 再连结 MO 用心 爱心 专心 14 AAOM 1 且AAOM 1 2 1 又 AAAF 1 2 1 OM AF 且 OM AF 四边形 MOAF 是平行四边形 MF OA 又 OA面 ABCD MF 面 ABCD 2 MF平面 BDD1B1 底面 ABCD 是菱形 BDAC 又 BB1面 ABCD AC平面 11B BDD MF AC MF平面 11B BDD 3 过点 B 作ADBH 于 H AA1平面 ABCD BH 平面 ABCD AABH 1 BH平面 11A ADD 在 R tABH 中 1 60 ABDAB 2 3 BH 12 3 2 3 11 2 1 3 1 3 1 111 BHSVV FDDFDDBBDFD三棱锥三棱锥 62 在数列 n a中 1 1 11 n n n ac a aa c为常数 N n 且 521 aaa成公比不 为 1 的等比数列 1 求证 数列 1 n a 是等差数列 2 求c的值 3 设 1 nnn aab 求数列 n b的前n项和为 n S 解析 1 1 1 n n n ac a a 且1 1 a 显然0 n a c aa ac aa nn n nn 1111 1 又c为常数 数列 1 n a 是等差数列 2 由 1 知 cncn aan 1 1 1 11 1 1 1 a c a c a 41 1 1 1 52 又 521 aaa成等比数列 cc41 1 1 1 2 解得 2 0 cc或 当0 c时 nn aa 1 不合题意 2 c 3 由 2 知2 c 12 1 n an 12 1 12 1 2 1 12 12 1 1 nnnn aab nnn 用心 爱心 专心 15 12 1 1 2 1 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 nnn Sn 63 数列 n a中 0 2 11 N nccnaaa nn 且 321 aaa成等比数列 1 求c的值 2 求 n a的通项公式 解析 1 cacaa32 2 2 321 因为 321 aaa成等比数列 所以 32 2 2 2 cc 解得0 c或2 c 0 c 2 c 2 当2 n时 由cnaa nn 1 得cnaacaacaa nn 1 2 12312 各式相加成c nn cnaan 2 1 1 21 1 又2 2 1 ca 故 2 2 1 2 2 nnnnnan 当1 n时 上式也成立 所以 2 2 N nnnan 64 已知数列 n a中 1 1 a 前n项的和为 n S 对任意自然数 n an 2 是43 n S与 1 2 3 2 n S的等差中项 1 求通项 n a 2 求 n S 解析 1 由已知得 当2 n时 2 3 2 43 2 1 nnn SSa 又 1 nnn SSa 得43 2 43 11 nnnn SanSa 上两式相减得 11 3 nnn aaa 2 1 1 n n a a 32n aaa成等比数列 其中4 1 343 222 aSa 即 2 1 2 1 2 qa 当2 n时 12 2 2 1 nn n qaa 即 1 2 1 1 n n a 2 1 n n 2 由 1 知2 n时 43 nn Sa 即 2 4 3 1 naS nn 当2 n时 3 4 2 1 3 1 4 3 1 1 n nn aS 又1 n时 1 11 aS亦适合上式 2 1 3 1 3 4 1 n n S 用心 爱心 专心 16 65 已知等差数列 n a的首项1 1 a 公差0 d 且第 2 项 第 5 项 第 14 项分别是 等比数列 n b的第 2 项 第 3 项 第 4 项 1 求数列 n a与 n b的通项公式 2 设数列 n c对任意的 N n均有 1 2 2 1 1 n n n a b c b c b c 成立 求数列 n c的前 n项和 n S 解析 1 由题意得 2 11 4 13 dadada 解得2 d或0 d 舍去 1 1 a 1 2 nan n b是等比数列 且3 22 ab 9 13 ab 公比3 2 3 b b q 11 11 3 1 nn n qbbb故 3 12 1 n nn bna 2 1 2 2 1 1 n n n a b c b c b c 当2 n时 n n n a b c b c b c 1 1 2 2 1 1 两式相减得 2 1 nn n n aa b c 2 322 1 nbc n nn 又当1 n时 3 12 1 1 ca b c 不适合上式 1 32 3 n n c 2 1 n n 当2 n时 3 31 31 1 21 323212 1 3232323 1 12 21 n n n n nn cccS 又当1 n时 3 1 S适合上式 3n n S 66 已知函数 xf满足2 1 0 fbaxfbxfax且 2 2 xfxf 对 定义域中任意x都成立 1 求函数 xf的解析式 2 正项数列 n a的前n项和为 n S 满足 2 3 4 1 2 n n af S 求证 数列 n a是等差 数列 用心 爱心 专心 17 解析 1 由 0 baxfbxfax 得baxxf 1 若01 ax 则 0 b 不合题意 故01 ax 1 ax b xf 由 1 2 1 a b f 得ba 22 由 2 2 xfxf 对定义域中任意x都成立 得 1 2 1 2 xa b xa b 由此 解得 2 1 a 把 代入 可得1 b 2 2 2 1 2 1 1 x x x xf 2 证明 2 3 4 1 2 2 2 n n n n af S a af 2 11 2 1 4 1 1 4 1 aaaS nn 1 1 a 当2 n时 2 11 1 4 1 nn aS 22 4 1 1 2 1 2 1 nnnnnnn aaaaSSa 得0 2 11 nnnn aaaa 0 n a 02 1 nn aa 即2 1 nn aa 所以数列 n a是等差数列 67 已知yx 之间满足 0 1 4 2 22 b b yx 1 方程 0 1 4 2 22 b b yx 表示的曲线经过一点 2 1 3 求b的值 2 在 1 的条件下 以此轨迹的上顶点 B 为顶点作其内接等腰直角三角形 ABC 存 在吗 若存在 有几个 若不存在 请说明理由 解析 1 0 1 4 1 4 3 2 2 b b 1 b 2 由 1 知 轨迹为椭圆 假设存在满足题设的等腰直角三角形 ABC 且 1 0 B 根 据题意 直角边 BA BC 不可能垂直或平行于x轴 故可设 BA 所在直线为 0 1 kkxy 则 BC 所在的直线方程为1 k x y 用心 爱心 专心 18 由 1 4 1 2 2 y x kxy 得 1 41 8 41 8 2 2 k k k k A 2 2 2 2 2 2 2 2 41 1 8 41 8 41 8 k kk k k k k AB 类比 用 k 1 代替k 得 2 2 41 18 k k BC 由于 BCAB 使 22 41 4 kkk 因为0 13 1 0 kkkk 所以1 k 或 2 53 k 故存在三个满足题意的等 腰直角三角形 68 在平面直角坐标系中 若 2 2 yxbyxa 且 8 ba 1 求动点 yxM的轨迹C的方程 2 过点 0 3 作直线l与曲线 C 交于 A B 两点 设OBOAOP 是否存在这样的 直线l 使得四边形 OAPB 为矩形 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 解析 1 因为 2 2 yxbyxa 且 8 ba 所以动点 yxM到两个定点 2 0 2 0 21 FF 的距离的和为 3 所以轨迹 C 是 2 0 1 F 2 0 2 F为焦点的椭圆 方程为 1 1612 22 yx 2 因为直线l过点 0 3 若直线l是y轴 则 A B 是椭圆的顶点 0 OBOAOP 所以 O 与 P 重合 与四边形是矩形矛盾 若直线l的斜率存在 设直线l的方程为 3 2211 yxByxAkxy 由 02118 34 1 1612 3 22 22 kxxk yx kxy 由于0 21 34 4 18 22 kk恒成立 所以 34 21 34 18 2 21 2 21 k xx k k xx 因为OBOAOP 所以 OAPB 是平行四边形 若存在直线 1 l使得四边形 OAPB 为矩形 则OBOA 即0 OBOA 所以 09 3 1 2121 2 xxkxxk 所以 0 9 34 18 3 34 21 1 22 2 k k k k k 即 4 5 16 5 2 kk 故存在直线3 4 5 xyl 使得四边形 OAPB 为矩形 69 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 离心率 2 2 e 右焦点 F 到上顶点距离为2 用心 爱心 专心 19 点 0 mC是线段 OF 上的一个动点 1 求椭圆的方程 2 是否存在过点 F 且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于 A B 两点 使得 BACBCA 并说明理由 解析 1 由题意知 222 22 2 2 2 acb cb a c 解得1 2 cba 椭圆的方程为 1 2 2 2 y x 2 由 1 得 0 1 F 所以10 m 假设存在满足题意的直线l 设l的方程为 1 xky代入1 2 2 2 y x 得 0224 12 2222 kxkxk 设 2211 yxByxA 则 12 22 12 4 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 12 2 2 2 2121 k k xxkyy 12 2 2 12 4 22 2 2211 k k m k k ymxymxCBCA ABCBCA 而AB的方向向量为 1 k mkmk k k m k k 2 22 2 21 0 12 2 2 12 4 当 2 0 m时 m m k 21 即存在这样的直线l 当1 2 1 m时 k不存在 即不存在这样的直线l 70 已知椭圆的中心在坐标原点 且经过两点 5 5 2 5 52 1 N 若圆的圆心 C 与椭 圆的右焦点重合 圆的半径恰等于椭圆的短半轴长 已知点 yxA为圆 C 上一点 1 求椭圆的标准方程与圆的标准方程 2 求 2AOACAOAC O 为坐标原点 的取值范围 解析 1 设椭圆的方程1 22 nymx 依题意可得 用心 爱心 专心 20 1 5 1 4 1 5 4 nm nm 由 与 可得 1 5 1 nm 所以椭圆的标准方程为 1 5 2 2 y x 所以椭圆的右焦点为 0 2 F 短半轴长为 1 所以圆的标准方程为 1 2 22 yx 2 由 1 得圆心 0 2 C 所以 2 yxAC 而 yxAO 则 42 2 22 xyxAOACAOAC 而034 22 xyx 则34 22 xyx 所以12 2 xAOACAOAC 而1 2 22 yx 则1 2 2 x 即121 x 即31 x 因此7123 x 从而 2AOACAOAC 的取值范围为 7 3 71 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 3 6 F 为右焦点 过 F 点作直线交 椭圆于 MN 两点 且 0 FNMF定点 0 4 A 1 求证 当1 时 有AFMN 2 若1 时 有 3 106 ANAM 求椭圆的方程 3 在 2 确定的椭圆 C 上 当MANANAM tan的值为36时 求直线 MN 方程 解析 1 设 0 2211 cFyxNyxM 则 2221 yxcNFyxcMF 当1 时 FNMF 2 2121 cxxyy NM 两点在椭圆上 1 1 2 2 2 22 2 2 2 1 22 1 b y ax b y ax 2 2 2 1 xx 21 xx 由题意得 21 xx 0 4 2 0 2 cAFyMF 0 AFMF AFMF 2 当1 时 不妨设 22 a b cN a b cM 3 106 4 2 2 2 a b cANAM 又 3 6 a c 22 2 3 ca 2 1 22 cb 3 106 2 3 4 1 4 2 2 2 c c c 0116485 2 cc 用心 爱心 专心 21 2 c或 5 58 c 舍 椭圆的方程为 1 26 22 yx 3 由 AMNAMN SSMANANAMMANANAM 22sin tan NM yyAF 设 0 2 kxkl yMN 由 1 26 2 22 yx xky 得kyyk4 31 22 02 2 k 2 24 31 2424 k kk yy NM 36 31 2424 6 2 22 k kk 012 24 kk 1 2 k 1 k 当xMN 轴时 64 3 62 6 3 62 NMNM yyAFyy 舍 综上 直线 MN 的方程为 2 xy 即02 yx或 0 2 yx 72 椭圆的中心为坐标原点 O 焦点在y轴上 离心率 2 2 e 椭圆上的点到焦点的最 短距离为e 1 直线l与y轴交于点 0 mP与椭圆 C 交于相异两点 A B 且 PBAP 1 求椭圆方程 2 若OPOBOA4 求m的取值范围 22 解析 1 设 0 1 2 2 2 2 ba b x a y C 设 C0 222 bac 由条件知 2 2 1 ca 2 2 a c 2 2 1 cba 故c的方程为 1 2 1 2 2 x y 2 由PBxAP 得 OPOBxOAOP OBxOAOPx 1 3 41 xx 设l与椭圆c交点为 2211 yxByxA 12 22 yx mkxy 得 0 1 2 2 222 mkmxxk 0 22 4 1 2 4 2 22222 mkmkkm 用心 爱心 专心 22 2 1 1 2 2 2 21 2 21 k m xx k km xx PBAP3 21 3xx 2 221 221 3 2 xxx xxx 消去 2 x得04 3 21 2 21 xxxx 0 1 1 4 2 2 3 2 2 2 2 k m k km x整理得024 2222 kmmk 显然 4 1 2 m时 不成立 所以 14 22 2 2 2 m m k 因为3 x 0 k 0 14 22 2 2 2 m m k 2 1 1 m或1 2 1 m 容易验证22 22 mk成立 所以0 成立 即所求m的取值范围为 1 2 1 2 1 1 73 某商店投入 81 万元经销某种北京奥运会特许纪念品 经销时间共 60 天 市场调研 表明 该商店在经销这一产品期间第几天的利润 10 1 1 n an 6021 201 n n 单位 万元 N n 为了获得更多的利润 商店将每天获得利润投入到次日的经营中 记第n天的利润 这几天的投入资金总和 天的利润第n bn 例如 81 21 3 3 aa a b 1 求 21 b b的值 2 求第几天的利润率 n b 3 该商店的经销此纪念品期间 哪一天的利润最大 并求该日的利润率 解析 1 当1 n时 81 1 1 b 当2 n时 82 1 2 b 2 当201 n时 1 1321 nn aaaaa 80 1 180 1 81 121 nnaaa a b n n n 当6021 n时 121201 81 n n n aaaa a b 用心 爱心 专心 23 1600 2 20 20 21 101 10 1 2081 10 1 2 121 nn n nn n aa n n 第n天的利润率 6021 1600 2 201 80 1 2 Nnn nn n Nnn n bn 3 当201 n时 80 1 n bn是递减数列 此时 n b的最大值为 81 1 1 b 当6021 n时 70 2 116002 2 1 1600 2 1600 2 2 n n nn n bn 当且仅当 n n 1600 即40 n时 成立 又 81 1 79 2 当40 n时 79 2 max bn 该商店经销此记念品期间 第 40 天的利润率最大 且该日利润为 79 2 74 已知函数 ln 2 1 2 xxxf 1 求函数 xf在区间 1 e上的最大值和最小值 2 求证 在区间 1 上 函数 xf的图象在 3 3 2 xxg 的图象的下方 解析 1 因为 0 1 0 xf x xxfx 单调递增 所以 1 2 2 1 1 2 maxmin e eff 2 设 32 3 2 ln 2 1 xxxxgxfxF 即证明0 xF在 1 上恒成立 x xxx x x xxF 21 1 2 1 2 2 在 1 上 0 x F xF在 1 单调递减 0 6 1 1 max FxF 0 xF在 1 恒成立 75 已知三次函数 0 23 adcxbxaxxf在1 x处得极大值 且2 xf是 奇函数 用心 爱心 专心 24 1 若函数 xf的图象过原点的切线与直线013 yxl垂直 求 xf的解析式 2 当 1 1 x 不等式0 xf恒成立 求实数a的取值范围 解析 1 2 xf是奇函数 2 2 xfxf dcxbxaxxf 23 22 2323 dcxbxaxdcxbxax 02 2 dbx R x 0 b 2 d 2 3 cxaxxf caxxf 2 3 xf在1 x处取得极大值 caxf 2 3 1 3 03acca 又 直线013 yxl的斜率为 3 1 xf的图象过原点的切线与 直线l垂直 3 0 f 3 c 1 a 1 1 333 2 xxxxf 当1 x时 0 x f当11 x时 0 x f xf在1 x处取得极大值 符合题意 23 3 xxxf 2 由 1 知 1 1 3 23 3 xxaxfaxaxxf令0 x f 得1 x或 1 x xf在1 x处得极大值 当1 x时 0 x f 当11 x时 0 x f 0 a 当 1 1 x时不等式0 xf恒成立等价于0 min xf xf在 1 1 上是减函数 xf的最小值为 1 f 0 1 f 022 a 1 a综上所述 a的取值范围是 1 0 a 76 设函数bxxgaxxxxf 2 3 1 23 当21 x时 xf取得极值 1 求a的值 并判断 21 f是函数 xf的极大值还是极小值 2 当 4 3 x时 函数 xf与 xg的图象有两个公共点 求b的取值范围 解析 1 由题意axxxf 2 2 当21 x时 xf取得极值 所以 0 21 f 0 21 2 21 2 a 1 a 此时当21 x时 0 x f 当21 x时 0 x f 则 21 f是函数 xf的极小值 2 设 xgxf 则xxxbbxxx3 3 1 03 3 1 2323 设bxGxxxxF 3 3 1 23 32 2 xxxF 令032 2 xxxF 解得1 x或 3 x 列表如下 函数 xF在 1 3 和 3 4 上是增函数 在 3 1 上是减函数 当1 x时 xF有极大值 3 5 1 F 用心 爱心 专心 25 当3 x时 xF有极小值9 3 F 函数 xf与 xg的图象有两个交点 函数 xF与 xG的图象有两个交点 3 5 3 20 b或9 b 9 3 5 3 20 b 77 设cxbxax