基本不等式及其应用（限时练习）

限时作业限时作业 7 基本不等式基本不等式 及其应用及其应用 2 ba ab 一 选择题 1 设 x y R 则 x2 y2 1 是 x y 成立的 2 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析解析 2 x y x 2 y 2 x2 y2 1 x y 2 x2 2 x y y2 2 x y 2 取 x 0 y 不满足 x2 y2 1 故是充分不必要条件 2 答案答案 A 2 下列结论正确的是 A 当 x 0 且 x 1 时 2 x x lg 1 lg B 当 x 0 时 2 x x 1 C 当 x 2 时 的最小值是 2 x x 1 D 当 0 x 2 时 无最大值 x x 1 解析解析 当且仅当 即 x 1 时等号成立 x x 1 2 1 2 x x x x 1 答案答案 B 3 若 a b 都是正实数 是圆周率 e 是自然对数的底数 则下列各式中可能大于 a2 b2的是 A 2 a b 1 B 2 ab C a b 2 ba 2 e D ab 2 解析解析 对于 A 因为 a2 b2 2 a b 1 a 1 2 b 1 2 0 因此 a2 b2 2 a b 1 对于 B a2 b2 2 ab 0 因此 a2 b2 2 ab 对于 D 因为 2 ba 4 6ab 3b3a 22 4 b 3 a 2 2 ba a2 b2 2ab ab 所以 a2 b2 ab 2 2 综上 可知只有 C 满足条件 答案答案 C 4 某学生用一不准确的天平 两臂不等长 称 10 g 药品 他先将 5 g 的砝码放在左盘 将药品放 在右盘使之平衡 然后又将 5 g 的砝码放在右盘 将药品放于左盘使之平衡 则此学生实际所得 药品 A 小于 10 g B 大于 10 g C 大于等于 10 g D 小于等于 10 g 解析解析 设左 右臂长分别为 t1 t2 第一次称的药品为 x1 第二次称的药品为 x2 则有 5t1 x1t2 x2t1 5t2 所以 x1 x2 5 5 2 10 即大于 10g 1 2 2 1 t t t t 答案答案 B 5 若实数 a b 满足 a b 2 则 3a 3b的最小值是 A 18 B 6 C D 32 4 32 解析解析 由均值不等式 得 3a 3b 当且仅当 a b 1 时取等号 所632332 baba 以 3a 3b的最小值是 6 故选 B 答案答案 B 6 一批货物随 17 列货车从 A 市以 a km h 匀速直达 B 市 已知两地铁路线长 400 km 为了 安全 两列车之间的距离不得小于 2 km 那么这批货物全部运到 B 市 最快需要 20 a A 6 h B 8 h C 10 h D 12 h 解析解析 第一列货车到达 B 市的时间为h 由于两列货车的间距不得小于 2 km 所以 a 400 20 a 第 17 列货车到达时间为 8 当且仅当 即 a 400 400 16400 20 16 2 a aa a 400 16400a a a 100 km h 时成立 所以最快需要 8 h 故选择 B 答案答案 B 二 填空题 7 已知 a b R a b a2 b2 24 则 a b 的取值范围是 解析解析 a2 b2 2ab 当且仅当 a b 时取 2 a2 b2 a b 2 即 a2 b2 a b 2 当且仅当 a b 时取 2 1 24 a b a2 b2 a b 2 当且仅当 a b 时取 2 1 即 a b 2 2 a b 48 0 解关于 a b 的二次不等式 得 8 a b 6 答案答案 8 a b 6 8 已知 x y R 且 x 4y 1 且 x y 的最大值为 解析解析 xy x 4y 当且仅当 x 4y 时取等号 4 1 4 1 16 1 2 4 2 yx 2 1 答案答案 16 1 9 已知 a b c 都是正实数 且满足 log4 16a b 则使 4a b c 恒成立的 c 的取值范ab 2 log 围是 解析解析 由条件知 16a b abb 4a b 1 16 a a 1 16 4 a a a 由 0 得 a 1 1 16 a a 令 a 1 t 则 4a b 20 16 36 当且仅当 t 即 t 2 4 420 1 16 44 t t t t t t 4 时取 因此要使不等式 4a b c 恒成立 只要 c 36 又因为 c 为正数 因此 c 0 36 答案答案 0 36 三 解答题 10 已知 a b c 都是正数 且 a b c 1 求证 9 cba 111 证明证明 a b c 都是正数 且 a b c 1 a c a b a cba a 1 1 b c b a a cba b 1 1 c b c a a cba c 1 1 c b c a b c b a a c a b cba 111 111 a c c a c b b c b a a b 3 a c c a c b b c b a a b 2223 3 2 2 2 9 当且仅当 a b c 时取等号 9 cba 111 11 1 已知 a b 是正常数 a b x y 0 求证 并指出等号成立的 yx ba y b x a 222 条件 2 求函数 f x x 0 的最小值 指出取最小值时 x 的值 xx21 92 2 1 1 证明证明 a b x y 都是正数 x y a2 b2 a2 b2 2ab a b 2 当且仅当 即 bx ay y b x a 22 x ya y xb 22 x ya y xb 22 时取 当且仅当 bx ay 时等号成立 yx ba y b x a 222 2 解 解 0 x 2 1 0 1 2x 1 由 1 知 f x 25 1 32 21 9 2 4 2 xx 当且仅当 3 2x 2 1 2x 即 x 0 时取 5 1 2 1 x 时 f x 的最小值为 25 5 1 12 某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房 由于地理位置的限制 房子侧 面的长度 x 不得超过 a 米 房屋正面的造价为 400 元 m2 房屋侧面的造价为 150 元 m2 屋顶和 地面的造价费用合计为 5 800 元 如果墙高为 3 m 且不计房屋背面的费用 1 把房屋总造价 y 表示成 x 的函数 并写出该函数的定义域 2 当侧面的长度为多少时 房屋的总造价最低 最低总造价是多少 解解 1 由题意 可得 y 3 5 800 900 5 800 0 x a 400 12 1502x xx x 16 2 y 900 5 800 900 5 800 13 000 x x 16 x x 16 2 当且仅当 x 即 x 4 时取等号 若 a 4 则当 x 4 时 y 有最小值 13 000 x 16 当 0 a 4 任取 x1 x2 0 a 且 x1 x2 y1 y2 900 5 800 900 5 800 1 1 16 x x 2 2 16 x x 900 x1 x2 16 21 11 xx 21 2121 xx 16 x xx 900 x x1 x2 a x1 x2 0 x1x2 a2 16 y1 y2 0 y