2012年高考数学二轮复习专题辅导资料 专题（6）数学方法之特殊证法

专题六 数学方法之特殊证法专题六 数学方法之特殊证法 考情分析 近几年的高考虽然削弱了在不等式证明方面的要求 但像立体几何中位置关系的认定 数列关系式的认可以及解析几何性质的证明都是频频出现的考试形式 在高考中所占的分 值大约在 30 分左右 这类考题的特点是 1 立体几何证明多以线 面间垂直或平行关系的证明为主 解决此类问题的思路是 应用好在该部分学习的判定定理和性质定理即可 2 数列题可能是与等差等比数列定义或性质有关的结论的证明问题 譬如证明数列 是否为等差或等比数列 这类题目要应用好定义和性质公式 技巧性很强 也可能是复合 不等式知识的或单纯等式形式的与自然数有关的结论的证明问题 解题思路是可能应用数 学归纳法或放缩法 3 解析几何中的解答题经常与平面几何图形相结合 经常判断一些位置关系 此类 题目的证明多要结合几何特征 应用好代数关系式说明 预测 2012 年高考的趋势为 题型 题量以及出题点还和往年一样 基本保持不变 知识交汇 1 定义法 所谓定义法 就是直接用数学定义解决问题 数学中的定理 公式 性质和法则等 都是由定义和公理推演出来 定义是揭示概念内涵的逻辑方法 它通过指出概念所反映的 事物的本质属性来明确概念 定义是千百次实践后的必然结果 它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点 简单地说 定义是基本概念对数学实体的高度抽象 用定义法解题 是最直接的方法 2 反证法 反证法是属于 间接证明法 一类 是从反面的角度思考问题的证明方法 即 肯定 题设而否定结论 从而导出矛盾推理而得 反证法的实质 若肯定定理的假设而否定其 结论 就会导致矛盾 具体地讲 反证法就是从否定命题的结论入手 并把对命题结论的 否定作为推理的已知条件 进行正确的逻辑推理 使之得到与已知条件 已知公理 定理 法则或者已经证明为正确的命题等相矛 矛盾的原因是假设不成立 所以肯定了命题的结 论 从而使命题获得了证明 反证法的证题模式可以简要的概括我为 否定 推理 否定 即从否定结论开始 经 过正确无误的推理导致逻辑矛盾 达到新的否定 可以认为反证法的基本思想就是 否定 之否定 应用反证法证明的主要三步是 否定结论 推导出矛盾 结论成立 实施的具体 步骤是 第一步 反设 作出与求证结论相反的假设 第二步 归谬 将反设作为条件 并由此通过一系列的正确推理导出矛盾 第三步 结论 说明反设不成立 从而肯定原命题成立 在应用反证法证题时 一定要用到 反设 进行推理 否则就不是反证法 用反证法 证题时 如果欲证明的命题的方面情况只有一种 那么只要将这种情况驳倒了就可以 这 种反证法又叫 归谬法 如果结论的方面情况有多种 那么必须将所有的反面情况一一驳 倒 才能推断原结论成立 这种证法又叫 穷举法 一般来讲 反证法常用来证明的题型有 命题的结论以 否定形式 至少 或 至多 唯一 无限 形式出现的命题 或者否定结论更明显 具体 简单的命 题 或者直接证明难以下手的命题 改变其思维方向 从结论入手进行反面思考 问 题可能解决得十分干脆 3 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法 在解数学题中 有着广泛的应用 它是一个递推的数学论证方法 论证的第一步是证明命题在 n 1 或 n 时 0 成立 这是递推的基础 第二步是假设在 n k 时命题成立 再证明 n k 1 时命题也成立 这是无限递推下去的理论依据 它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般 实际上它使 命题的正确性突破了有限 达到无限 这两个步骤密切相关 缺一不可 完成了这两步 就可以断定 对任何自然数 或 n n 且 n N 结论都正确 由这两步可以看出 数学 0 归纳法是由递推实现归纳的 属于完全归纳 运用数学归纳法证明问题时 关键是 n k 1 时命题成立的推证 此步证明要具有目 标意识 注意与最终要达到的解题目标进行分析比较 以此确定和调控解题的方向 使差 异逐步减小 最终实现目标完成解题 运用数学归纳法 可以证明下列问题 与自然数 n 有关的恒等式 代数不等式 三角 不等式 数列问题 几何问题 整除性问题等等 4 不等式的证明方法 1 比较法是证明不等式最基本 最常用 最重要的方法之一 它包括 作差法 与 作商法 比差法的理论依据是 0 baba 0 baba 0 baba 比商法的理论依据是a b R 那么 1 b a ba 1 b a ba 1 b a ba 判断a b的大小 当a b R时 可以通过判断a b与 0 的大小来完成 当 a b R 时 可以通过判断与 1 的大小来完成 b a 比较法这种方法其本质就在于单独讨论 a b 不等式难以证明时 就 a b b a 整体讨论 使问题迁移 环境 给问题带来新的结构 对a b 变形后与 0 1 的比较 b a 提供可能 这种变形后的式子结构 a b 能够和 0 1 比较大小是比较法的精髓 b a 作差法中 对差 a b 的变形方法通常有通分 配方 非负数 因式分解 二次函 数的判别式等 作商法的一般步骤是 求商 变形 判断与 1 的大小 方法的选择 若不等式两边含有相同的项 或者作差以后能进行因式分解 能用配方 法 能写成分式判断其符号 可使用作差法 若不等式两边是指数形式 能使分子 分母变形得到相同结果的不等式 用作商 法比较容易 也就是说 凡适合于求 商 运算 并能比较出商与 1 的大小的不等式 一般都适合于用作商法证明 2 综合法 综合法就是由已知出发 根据不等式性质 基本不等式等 逐步推导得到所要证 明的不等式的一种方法 也就是用因果关系书写 从已知出发 借助不等式性质和有 关定理 经过逐步的逻辑推理 最后达到待证不等式得证的全过程 其特点可描述为 执因索果 即从 已知 看 可知 逐步推向 未知 综合法证明题逻辑性很强 它要求每步推理都要有依据 3 分析法 证明不等式 可以从待证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明 不等式转化成为判定这些充分条件是否具备的问题 如果能断定这些充分条件都已具备 那么就可以断定原不等式成立 这种证明方法叫做分析法 分析法是从结论入手 逆求使它成立的充分条件 直到和已知条件沟通为止 概括地 说就是 从未知 看需知 逐步靠拢已知 分析法证明 若A则B 的基本模式是 欲证B为真 只需证B1为真 只需证B2为真 只需证A为真 今已知A为真 故B必真 其逻辑关系是 12 BBBA 4 放缩法 在证明不等式A B时 可以构造出数学式 C C 使A C 且C B 则A B得证 其中 数学式C常常通过将A缩小或将B放大而构成 它的依据是不等式的传递性 这种证明方 法叫做放缩法 用放缩法证明不等式 在高中数学中占有一定的比重 思想方法 题型 1 定义法 例 1 11 天津理 20 已知数列 n a 与 n b 满足 112 3 1 0 2 n nnnnnn b aabab n N 且 12 2 4aa 求 345 a a a 的值 设 2121 nnn caanN 证明 n c 是等比数列 III 设 242 kk SaaakN 证明 4 1 7 6 n k k k S nN a 本小题主要考查等比数列的定义 数列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证能 力 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 I 解 由 3 1 2 n n bnN 可得 1 n n b 为奇数 2 n为偶数 又 112 0 nnnnn b aaba 123123 2344 3454 3 5 4 当n 1时 a a 2a 0 由a 2 a 4 可得a 当n 2时 2a a a 0 可得a 当n 3时 a a 2a 0 可得a II 证明 对任意 nN 21221 20 nnn aaa 22122 20 nnn aaa 212223 20 nnn aaa 得 223 nn aa 将 代入 可得 21232121 nnnn aaaa 即 1 nn cc nN 又 113 1 0 n caa 故c 因此 1 1 n n n c c c 所以 是等比数列 III 证明 由 II 可得 2121 1 k kk aa 于是 对任意 2kNk 且 有 13 35 57 2321 1 1 1 1 1 k kk aa aa aa aa 将以上各式相加 得 121 1 1 k k aak 即 1 21 1 1 k k ak 此式当 k 1 时也成立 由 式得 1 2 1 3 k k ak 从而 22468424 kkk Saaaaaak 2124 3 kkk SSak 所以 对任意 2nNn 4 4342414 11 4342414 nn kmmmm km kmmmm SSSSS aaaaa 1 2221232 2222123 n m mmmm mmmm 1 23 2 21 22 22 n m mmmm 2 253 2 32 21 22 23 n m mmnn 2 153 3 21 21 22 23 n m mmnn 151111113 3235572121 22 23 nnnn 15513 362 21 22 23 7 6 nnn 对于 n 1 不等式显然成立 所以 对任意 nN 21212 12212 nn nn SSSS aaaa 3212124 1234212 nn nn SSSSSS aaaaaa 222 11121 1 1 1 41244 41 4 41 nn n 222 11121 41244 41 44 41 nnn n n 111 4123 nn 题型 2 反证法 例 3 2010 江西理数理 22 证明以下命题 1 对任一正整 a 都存在整数 b c b c 使得成等差数列 222 abc 2 存在无穷多个互不相似的三角形 其边长为正整数且 nnnn abc 成等差数列 222 nnn abc 解析 作为压轴题 考查数学综合分析问题的能力以及创新能力 1 考虑到结构要证 类似勾股数进行拼凑 222 2acb 证明 考虑到结构特征 取特值满足等差数列 只需取 b 5a c 7a 对一切正整 222 1 5 7 数 a 均能成立 结合第一问的特征 将等差数列分解 通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三 角形 再证明互不相似 且无穷 证明 当成等差数列 则 222 nnn abc 2222 nnnn bacb 分解得 nnnnnnnn babacbcb 选取关于 n 的一个多项式 做两种途径的分解 2 4 1 n n 222 4 1 22 22 22 22 n nnnnnnn 2 4 1 n n 对比目标式 构造 由第一问结论得 等差数列成立 考察 2 2 2 21 1 4 21 n n n ann bnn cnn 三角形边长关系 可构成三角形的三边 下证互不相似 任取正整数 m n 若 m 相似 则三边对应成比例 n 222 222 21121 21121 mmmmm nnnnn 由比例的性质得 与约定不同的值矛盾 故互不相似 11 11 mm mn nn 点评 本题证明推出的结果是与题设矛盾 例 4 11 陕西理 21 设函数定义在上 导函数 f x 0 1 0f 1 fx x g xf xfx 1 求的单调区间和最小值 g x 2 讨论与的大小关系 g x 1 g x 3 是否存在 使得对任意成立 若存在 求出的 0 0 x 0 1 g xg x x 0 x 0 x 取值范围 若不存在 请说明理由 分析 1 先求出原函数 再求得 然后利用导数判断函数的单调性 单调 f x g x 区间 并求出最小值 2 作差法比较 构造一个新的函数 利用导数判断函数的单调 性 并由单调性判断函数的正负 3 存在性问题通常采用假设存在 然后进行求解 注 意利用前两问的结论 解 1 为常数 又 所以 1 fx x lnf xxc c 1 0f 即 ln10c 0c lnf xx 1 lng xx x 令 即 解得 2 1 x g x x 0g x 2 1 0 x x 1x 当时 是减函数 故区间在是函数的减区间 0 1 x 0g x g x 0 1 g x 当时 是增函数 故区间在是函数的增区间 1 x 0g x g x 1 g x 所以是的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 1x g x 所以的最小值是 g x 1 1g 2 设 1 lngxx x 11 2lnh xg xgxx xx 则 2 2 1 x h x x 当时 即 1x 1 0h 1 g xg x 当时 0 1 1 x 0h x 1 0 h 因此函数在内单调递减 h x 0 当时 0 01x 1 h xh 1 g xg x 当时 0 1x 1 h xh 1 g xg x 3 满足条件的不存在 证明如下 0 x 证法一 假设存在 使对任意成立 0 0 x 0 1 g xg x x 0 x 即对任意有 0 x 0 2 ln lnxg xx x 但对上述的 取时 有 这与 左边的不等式矛盾 0 x 0 1 g x xe 10 ln xg x 因此不存在 使对任意成立 0 0 x 0 1 g xg x x 0 x 证法二 假设存在 使对任意成立 0 0 x 0 1 g xg x x 0 x 由 1 知 的最小值是 g x 1 1g 又 而时 的值域为 1 lnlng xxx x 1x ln x 0 当时 的值域为 1x g x 1 从而可以取一个值 使 即 1 1x 10 1g xg x 10 1g xg x 这与假设矛盾 10 1 1 1g xg x x 不存在 使对任意成立 0 0 x 0 1 g xg x x 0 x 题型 3 数学归纳法 例 5 11 湖南理 22 已知函数 g fx 3 xxxx 求函数 h g 的零点个数 并说明理由 xfxx 设数列满足 证明 存在常数 n anN 1 0 aa a 1 nn f ag a M 使得对于任意的 都有 nN n aM 解析 I 由知 而 且 3 h xxxx 0 x 0 0h 则为的一个零点 且在内有零点 1 10 2 620hh 0 x h x h x12 因此至少有两个零点 h x 解法 1 记 则 1 2 2 1 31 2 h xxx 1 2 2 1 31 2 xxx 3 2 1 6 4 xxx 当时 因此在上单调递增 则在内 0 x 0 x x 0 x 0 至多只有一个零点 又因为 则在内有零点 所以 3 1 0 0 3 x 3 1 3 在内有且只有一个零点 记此零点为 则当时 x 0 1 x 1 0 xx 当时 1 0 xx 1 xx 1 0 xx 所以 当时 单调递减 而 则在内无零点 1 0 xx h x 0 0h h x 1 0 x 当时 单调递增 则在内至多只有一个零点 1 xx h x h x 1 x 从而在内至多只有一个零点 综上所述 有且只有两个零点 h x 0 h x 解法 2 记 则 1 2 2 1 h xx xx 1 2 2 1xxx 3 2 1 2 2 xxx 当时 因此在上单调递增 则在内 0 x 0 x x 0 x 0 至多只有一个零点 因此在内也至多只有一个零点 h x 0 综上所述 有且只有两个零点 h x II 记的正零点为 即 h x 0 x 3 000 xxx 1 当时 由 即 而 因此 0 ax 1 aa 10 ax 33 211000 aaaxxx 由此猜测 下面用数学归纳法证明 20 ax 0n ax 当时 显然成立 1n 10 ax 假设当时 有成立 则当时 由 1 nk k 0k ax 1nk 知 因此 当时 成 33 1000kkk aaaxxx 10k ax 1nk 10k ax 立 故对任意的 成立 nN 0n ax 2 当时 由 1 知 在上单调递增 则 0 ax h x 0 x 0 0h ah x 即 从而 即 由此猜测 下 3 aaa 33 211 aaaaaa 2 aa n aa 面用数学归纳法证明 当时 显然成立 1n 1 aa 假设当时 有成立 则当时 由 1 nk k k aa 1nk 知 因此 当时 成立 33 1kkk aaaaaa 1k aa 1nk 1k aa 故对任意的 成立 nN n aa 综上所述 存在常数 使得对于任意的 都有 0 max Mx a nN n aM 例 6 2004 年辽宁卷 已知函数 设 2 2 3 xxxf 2 1 0 1 a 1nn afa 证明 Nn 1 1 n an 证明 1 当时 由题设 又 1 n 2 1 0 1 a 2 1 11 1 1 1 n 所以成立 1 1 0 n an 当时 2 n 12 afa 而 2 2 3 xxxf 6 1 6 1 3 1 2 3 2 x 所以 不等式也成立 12 1 3 1 6 1 12 afa 2 假设时 不等式成立 而 2 kkn 1 1 0 k ak 3 1 1 1 k 的对称轴是 则 f x 在上是增函数 6 1 3 1 2 3 2 xxf 3 1 x 3 1 0 由 3 1 1 1 0 k ak 得 1 1 k faf k 即 2 1 1 1 2 3 1 1 kk ak 注意到结论右边的目标式 凑式变形 有 2 1 2 1 2 4 2 1 1 2 3 1 1 2 1 2 1 22 1 kkk k kkkkk ak 可见时 不等式也成立 1 kn 由 1 和 2 知 时 恒成立 Nn 1 1 n an 点评 上述证明中 把数列值的大小变化与函数值的大小联系起来 再用函数的单调 性渡过关卡 充分体现了数列与函数的紧密关系 实际上 数列就是函数的特例 另外 上面第一步中 验证后 又验证 是为了能够对假设1 n2 n 应用上函数的单调性 而之后的变形 只要明确目标式 就顺理成章了 2 kkn 题型 4 放缩法在证明不等式中的妙用 例 7 11 年湖北理 17 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的 车流速度 v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的的车流 密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 当车流密度不超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当20 200 x 时 车流速度 v 是车流密度x的一 次函数 当0 200 x 时 求函数 v x 的表达式 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观点的车辆数 单位 辆 每小时 f xxv x 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 本小题主要考查函数 最值等基础知识 同时考查运用数学知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解 由题意 当0 20 60 xv x 时 当20 200 xv xaxb 时设 再由已知得 1 2000 3 2060 200 3 a ab ab b 解得 故函数 v x 的表达式为 60 020 1 200 20200 3 x v x xx 依题意并由 可得 60 020 1 200 20200 3 xx f x xxx 当0 20 xf x 时 为增函数 故当 20 x 时 其最大值为 60 20 1200 当20 200 x 时 2 11 200 10000 200 3323 xx f xxx 当且仅当 200 xx 即 100 x 时 等号成立 所以 当 100 xf x 时 在区间 20 200 上取得最大值 10000 3 综上 当 100 x 时 f x 在区间 0 200 上取得最大值 10000 3333 3 即当车流密度为 100 辆 千米时 车流量可以达到最大 最大值约为 3333 辆 小时 例 8 1 已知 ABC 的三边长为a b c 求证 1 sinsinsin 2228 ABC 证明 由 2 2sin1cos 2 A A 及余弦定理有 222222 2 2sin1 2222 Abcaabca bcbcbc 同理可得 sin 22 Aa bc sin sin 2222 BbCc acab 1 sinsinsin 2228222 ABCabc bcacab 2 设a b c d都是正数 ab bc ca 1 证明 3abc 证明 2222 222abcabcabbcca 222 1 3 2 3 3 abbccaabbcca abbccd 当且仅当时取等号 3abc 3 3 abc 点评 综上可知 用扩大或缩小分式的分母或分子的方法 用添项或合项的方法 用 某些函数的单调性和函数值的有界性等方法进行放缩来推理有关不等式 都是一些常用的 放缩手段 难点在于放缩程序的调控 应多思 多想 多练 多总结 题型 5 典例不等式证明 例 9 若 求证 ab 00 ab 33 2 ab 2ab 1 证法一 综合法 abab 002 33 ababa bab a bab ab ab ab abab ab abab 333322 22 33 233 2338 336 32 3 302 即 又ab 0 ab abab ab 2 22 1 证法二 换元法 判别式法 设为方程的两根 则ab xmxn 2 0 mab nab ab mnmn abab aabb ababab m mn 00 00401 2 3 3 2 3322 2 2 且 2 n m m 2 3 2 3 将 2 代入 1 得 即 m m m 2 2 4 3 2 3 0 m m 3 8 3 0 即 m380m 2 ab2 由 得2 m4 2 m 又mn 2 4 即 44nn 1 ab1 点评 换元法主要有三角代换 均值代换两种 在应用换元法时 要注意代换的等价 性 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式 则考虑用判别式法证 证法三 放缩法 abab 002 33 22 3322 abab abababababab ab 于是有63 ab ab 从而83233 22333 ab aba bababab 所以ab 2 下略 点评 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一 放缩要有的放矢 目标可以从 要证的结论中考查 证法四 比较法 abab ababababab 33 3 2222 22 4442 8 3 8 0 2 ab ab 对任意非负实数 有 ab abab 33 3 22 abab abab 002 1 22 33 33 3 即 ab 2 1ab 2 以下略 点评 比较法证不等式有作差 商 变形 判断三个步骤 变形的主要方向是因式分 解 配方 判断过程必须详细叙述 证法五 反证法 假设 则ab 2 abab aabbabababab abab 33222 32 ab1 又abab aabb 3322 abababab 22 32 23 ab 33 2 22 43 ab 因此 前后矛盾 故 ab 1ab 2 以下略 点评 有些不等式 如果不易从正面证明 可以考虑反证法 凡是含有 至少 唯 一 或含有其他否定词的命题 适宜用反证法 例 10 11 年安徽理 19 设 1 1 xy 证明 111 xy yxxy yx