2012年高考数学《立体几何初步》专题 空间直线学案

1 第第 2 2 课时课时 空间直线空间直线 1 1 空间两条直线的位置关系为 2 2 相交直线 一个公共点 平行直线 没有公共点 异面直线 不同在任 平面 没有公共点 3 3 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相 4 4 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 那么这两角 5 5 异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线 作用 判定两条直线是 异面直线 6 6 异面直线的距离 和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线 两条异面直线 的公垂线在 的长度 叫两异面直线的距离 例例 1 1 如图 在空间四边形 ABCD 中 AD AC BC BD a AB CD b E F 分别是 AB CD 的中点 1 求证 EF 是 AB 和 CD 的公垂线 2 求 AB 和 CD 间的距离 证明 证明 1 连结 CE DE BEAE BDAD BCAC DEAB CEAB AB 面 CDE AB EF 同理 CD EF EF 是 AB 和 CD 的公垂线 2 ECD 中 EC 4 2 2 b a ED EF 2 2 2 b a 变式训练变式训练 1 1 在空间四边形 ABCD 中 AD BC 2 E F 分别为 AB CD 的中点 EF 3 求 AD BC 所成角的大小 解 解 设BD 的中点 G 连接 FG EG 在 EFG 中 EF 3 FG EG 1 EGF 120 AD 与 BC 成 60 的角 例例 2 2 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点 如图 SA SB SC 且 ASB BSC CSA 2 M N 分别是 AB 和 SC 的中点 求异面直线 SM 与 BN 所成的角 基础过关基础过关 典型例题典型例题 A E B C F D B M A N C S 2 证明 证明 连结 CM 设 Q 为 CM 的中点 连结 QN 则 QN SM QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角 连结 BQ 设 SC a 在 BQN 中 BN a 2 5 NQ 2 1 SM 4 2 a BQ a 4 14 COS QNB 5 10 2 222 NQBN BQNQBN QNB arc cos 5 10 变式训练变式训练 2 2 正 ABC 的边长为 a S 为 ABC所在平面外的一点 SA SB SC a E F 分 别是 SC 和 AB 的中点 1 求异面直线 SC 和 AB 的距离 2 求异面直线 SA 和 EF 所成角 答案 答案 1 a 2 2 2 45 例例 3 3 如图 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N P 分别为 A1B1 BB1 CC1的中点 1 求异面直线 D1P 与 AM CN 与 AM 所成角 2 判断 D1P 与 AM 是否为异面直线 若是 求其距离 解 解 1 D1P 与 AM 成 90 的角 CN 与 AM 所成角为 arc cos 5 2 2 是 NP 是其公垂线段 D1P 与 AN 的距离为 1 变式训练变式训练 3 3 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BCA 90 M N 分别是 A1B1和 A1C1的中点 若 BC CA CC1 求 NM 与 AN 所成的角 解 解 连接 MN 作 NG BM 交 BC 于 G 连接 AG 易证 GNA 就是 BM 与 AN 所成的角 设 BC CA CC1 2 则 AG AN 5 GN B1M 6 cos GNA 10 30 562 556 例例 4 4 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是正方形 PA 底 面 ABCD AE PD EF CD AM EF 1 证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线 2 若 PA 3AB 求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值 1 证明证明 EF CD AM CD A C B N M A 1 C1 B 1 P C1 D1 M B1A1 D N C BA C D B E F A M P 3 A B C D A1 B1 C1 D1 E F AM EF 又 AM EF AMFE 为平行四边形 AB PA AB AD AB 面 PAD AB AE 又 AE MF AB MF 又 AE PD CD AE AE 面 PCD AE PC MF PC MF 为 AB 与 PC 的公垂线 2 设 AB 1 则 PA 3 建立如图所示坐标系 由已知得AE 0 10 9 10 3 AB 1 0 0 面 MFEA 的法向量为k 0 1 3 AC 1 1 0 cos 10 5 AC 与面 EAM 所成的角为 2 arc cos 10 5 其正弦值为 10 5 变式训练变式训练 4 4 如图 在正方体 1111 DCBAABCD 中 E F 分别是 1 BB CD 的中点 证明FDAD 1 求AE与FD1所成的角 1 证明证明 因为 AC1是正方体 所以 AD 面 DC1 又 DF1 DC1 所以 AD D1F 2 取 AB 中点 G 连结 A1G FG 因为 F 是 CD 的中点 所以 GF AD 又 A1D1 AD 所以 GF A1D1 故四边形 GFD1A1是平行四边形 A1G D1F 设A1G 与 AE 相交于 H 则 A1HA 是 AE 与 D1F 所成的角 因为 E 是 BB1的中点 所以 Rt A1AG ABE GA1A GAH 从而 A1HA 90 即直线 AE 与 D1F 所成